別讓粗心成為借口
——初中數學直觀錯誤淺析

□永安市第一中學附屬學校 魏蘭

一、對數學概念理解的膚淺性

由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理沒有深刻的理解，僅僅停留在表面概括上，無法把握事物的本質。因此學生在分析和解決數學問題時，往往只善于處理一些直觀的或熟悉的數學問題，而對那些間接使用定理的數學問題，往往不能抓住其本質。

例題一：6a-a=6

對于剛從小學升上初中的學生來說，減去即等于消失，所以這樣的錯誤并不少見，他們沒有意識到6a是6個a，而只是簡單地讓字母a 去除。同時，6a 減a 也涉及合并同類項的概念，正是由具有抽象性的字母計算來代替具體數字的一個重要概念。初中學生正處于經驗型思維到邏輯型思維轉換的過程，無法將抽象的概念運用于實際的題目中，往往做題時還是依賴自己的直觀感知。甚至到了初三，這樣的問題還會出現，個別學生會犯這樣的錯誤

二、僅憑直觀，粗淺判斷

在解決數學問題時，經常會產生一些直覺是正常的，有時還是很可貴的，但是數學是一門嚴謹的科學，產生直覺后還要周密地思考、嚴謹地推理、精密地計算，否則以眼睛的直覺代替理性的思維就很可能會出現錯誤。

例題二：如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,D為△ABC內一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°后得到CE，連接BE，若∠DAB=10°，則∠ABE是 A. 75°B.78°C.80°D.90°

因為其中說明了是旋轉線段CD，應該是得到△BEC 全等于△ADC，從而得到∠EBC=∠DAC=40°，可是學生只是根據看到圖形，經過最簡單的直觀判斷，選D的人居多。天文學家開普勒曾經說過：“當知識通過感官被直接提供給心靈時，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的。”教師要時刻教育學生確定事物的本質，不能只靠感覺，應該多一些理性的思考。

三、受思維定式的影響

學生受先前形成的知識經驗、習慣的影響，容易形成認知的固定傾向，從而影響后來的分析判斷，形成思維定式。在環境不變的條件下，定式會使人能夠應用已掌握的方法，迅速解決問題，但是如果環境改變，也會影響人們的創造性。

例題三：一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機選擇一條路徑，那么它獲得食物的概率是多少？

圖1

圖2

圖1和圖2看上去圖形非常類似，只不過圖1有六個樹枝，而圖2 有七個樹枝。但是他們的概率卻完全不一樣。圖1 找到食物的概率是而圖 2 找到食物的概率是學生通常用求圖1 的概率方法來做第二幅圖的題目，卻得出了錯誤答案。沒有意識到圖1中每個樹枝是等可能性的，而圖2卻不是。學生常常尋求表面上相似的東西，而忽略結構上、本質上的差異，最終導致理解錯誤。因此作為教師要引導學生在學習時，首先應該明白對一個問題不要急于按原先的套路求解，應該從模仿的路子跳出來，避免按部就班，而要先仔細地觀察，學貴存疑，小疑則小進，大疑則大進，這才有可能讓學生針對性地解決問題。

四、知識的負遷移

知識的負遷移是學生形成思維障礙的重要原因，面對一個新的數學問題，學生首先是聯想與之形似或意似、且熟悉的問題，然后遷移解決問題的方法，將當前的問題與頭腦中已有的知識經驗之間建立起某種聯系。這種以類比、聯想為基礎的思維活動，如果伴隨著突破或者創新，那么就是課改所倡導的創新思維能力。如果只是一味地機械照搬，那么思維會呈現呆板，產生錯誤。如學習了有理數加法法則對乘法法則的學習會產生負遷移，學習同底數冪的乘法對冪的乘方產生負遷移。

五、分析問題不夠全面

由于初中學生的年齡小，知識面較為狹窄，邏輯思維能力較為薄弱，分析問題時通常不夠全面細致，而且通常在潛意識中容易出現臆斷，造成解題過程中常常出現顧此失彼的現象。在學生進入初中高年級以后，數學知識點的面加寬、難度明顯增大，而且有些問題已帶有開放性的特征，如果學生一味依靠模仿與死記硬背的學習方法就難以奏效。表現在數學習題的解題中，就是缺少開放性思維方法，思路較為狹窄，往往就是顧此失彼，或者是解答過程簡單化。

例題四：（17 年福建）如圖，矩 形ABCD中 ，AB= 6,AD= 8P,E分別是線段AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形。

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形時，求AP的長；

△PCD是等腰三角形有三種情況PC=PD，CP=CD，DP=DC但是很多學生會被原題中給出的圖形固定住思維，負略了P、E是可以動的，只考慮了DP=DC。

數學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，思維的嚴密性是學好數學的關鍵之一。教師在授課過程中應該有意識地強調和培養學生思維的嚴密性，不要受現有圖形和既定做法的影響。

六、將圖形當成已知條件

將圖形中出現的貌似的形狀當成條件來解答，這在初中，尤其低年級學生群體中更是屢見不鮮。由于年齡段的特征，初中學生的智力還處于較為低級的階段，對新生事物的認識、理解能力較差，而直觀感知的能力卻較強，他們常常會將圖形中出現的類似等邊三角形、直角三角形的圖形當成已知條件來應用，教師應該及時提醒、糾正，引導學生由形象思維向抽象思維過渡。

例題五：已知：AB 是⊙O 的直徑，AB=4，∠ABC=30°，D 是BC中點且過點D 作DE⊥AC。求證：DE與⊙O相切。

這道題學生做輔助線通常是連接AD，然后說明因為AB為直徑，所以∠ADB=90°，但是實際上題目沒有任何語句說明點D 在圓上，這個結論是需要證明的。但是學生就是將圖中看到的當成了已知條件，想當然地認為，點D已經在圓上了，忽略了對它的證明過程。

上述這些錯誤在學生的數學學習過程中并不少見，學生經常僅靠直觀判斷犯想當然的錯誤，當代科學家波普爾認為：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素。”因此教師在教學過程中應不斷地分析教材、研究學生，將那些容易出錯的問題作為范例，認真上好錯例分析課，直擊要害，讓學生體驗錯誤，探究癥結所在。而且應力爭在課堂上給學生的不是一道題目的正確答案，而是一種思維方法，讓學生發現錯誤的所在以及錯誤發生的原因，從中吸取教訓，舉一反三。在辨析錯因、啟發糾錯的過程中，培養學生思維的嚴密性、廣闊性、深刻性和創造性，讓學生在錯誤中尋求正確的方向，反思錯誤的原因。然后對癥下藥，形成正確合理的認識，找到知識的薄弱環節并盡快彌補，力求在以后的解題中少出現錯誤或不出錯，這也是學生反思成長的過程。

教師應該盡量在教學過程中培養學生的科學理性思維。初中學生的理性思維發展是靠數學來完成的。特別是學生的思維正處于從直觀歸納向邏輯抽象思維轉變的階段。后續的高中數學學習對思維嚴謹性、邏輯性的要求更高，而且數學的理性思維方式遠遠超過了數學試題的本身，廣泛應用于自然科學甚至人文科學和社會科學中，也對學生今后生活長期發揮積極的作用。所以不能只靠眼睛看到的表面現象來直觀判斷事物的屬性，應該學會更深入理智地思考問題的本質，這才是學習數學帶給學生真正的意義。