一類時滯異質網絡的擬同步控制

趙曼宇，葉 軍

南京郵電大學 理學院，南京210023

近10年來，復雜網絡由于其應用廣泛而受到人們極大關注[1-2]。如通信網絡、電力系統網絡、萬維網、神經網絡等都可以用復雜網絡模型來表示。在復雜網絡動態行為研究中，同步性是多個學科的研究重點。到目前為止網絡同步的研究已經提出多種同步模式，如指數同步[3]、完全同步[4]、簇同步[5]、有限時間同步[6]、擬同步[7]等。

在研究復雜網絡同步問題中，由于網絡的復雜性，僅依賴網絡自身的耦合實現同步是很困難的，因此為了實現同步提出了多種控制方法。如自適應控制[8]、脈沖控制[9]、牽制控制[10]、采樣控制[11]等。隨著數字電路技術和計算機網絡技術的迅速發展，數字設備逐漸取代實際工業系統中的連續時間設備。因此，采樣控制由于其離散性、減少信號傳輸、降低通信成本等特點被廣泛應用于實際系統中。在許多實際系統和信息網絡中，時滯現象是不可避免的且會隨時間發生變化，而時滯的存在會導致系統不穩定，性能下降，因此對時滯現象的研究具有重要意義。有大量文獻研究了含時滯的復雜網絡同步問題。

文獻[12]研究了具有恒定時滯的復雜網絡在非周期采樣控制下實現指數同步的問題。文獻[13]研究了一類具有通信時滯的復雜網絡在記憶采樣控制下實現擴展耗散同步的問題。文獻[14]研究了具有時變耦合時滯的復雜網絡在含恒定信號傳輸時滯的采樣控制下實現指數同步的問題。通過構造含有更多時滯信息以及采樣間隔信息的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函獲得了保證系統同步的穩定性判據。文獻[15]研究了具有變時滯和擾動的不確定性模糊系統在記憶采樣控制下的魯棒H∞穩定性問題。

含時滯的網絡同步問題的研究已經取得了很多進展，但大多數研究都是關于同質系統，即所有節點都具有相同的動力學系統。然而在實際系統中，由于外部干擾、系統突變、參數不確定性和個體差異等因素可能會導致網絡系統的異質性。因此對節點動力學不同的異質網絡的研究具有重要意義。近年來，異質網絡發展迅速。文獻[16]研究了基于輸入飽和采樣控制下異質網絡實現擬同步的問題。文獻[17]研究了異質二階多智能體系統在具有輸入時滯以及無輸入時滯采樣控制下實現Leader-following擬一致性的問題。文獻[18]研究了在具有脈沖控制的DOS攻擊下，異質非線性多智能體系統實現擬同步的問題。文獻[19]研究了具有時變通信的連續時間廣義馬爾可夫切換異質網絡的擬同步問題。

綜合以上文獻，本文擬考慮同時含有時變時滯、輸入時滯、異質等因素的非線性復雜網絡。研究內容包括：建立含時變時滯的異質非線性復雜網絡模型，設計含輸入時滯的采樣控制協議，利用Lyapunov穩定性理論及線性矩陣不等式方法給出系統實現擬同步的充分條件，并推廣了同質的情況。

1 預備知識和模型描述

1.1 符號說明

Rn和Rn×n分別表示n維實列向量的集合和n維實矩陣的集合；I n∈Rn×n表示n×n的單位矩陣；AT表示矩陣A的轉置；‖?‖是定義為的歐式范數；diag{…}表示對角矩陣；A＞0表示矩陣A是正定矩陣；λmax(A)和λmin(A)分別表示矩陣A的最大和最小特征值；?在對稱矩陣中指的是對稱元素；?指的是克羅內克積。

1.2 引理

引理1[20]對于任意矩陣，標量τ＞0(0≤τ(t)≤τ),以 及 可 導 函 數x(s)有，其中

引理2[21]設z∈W[a,b)且z(a)=0，對于任意的n×n維矩陣R＞0，有下面不等式成立：

引理3[22]二次函數f(x)=a2x2+a1x+a0其中a2,a1,a0∈R，?x∈[0,h]，如果（1）f(0)＜0，（2）f(h)＜0，（3）-h2a2+f(0)＜0成立，則f(x)＜0。

注1根據文獻[22]中的證明可知，當a2＜0時，由條件（2）和（3）就可以保證f(x)＜0，?x∈[0,h]。

1.3 模型描述

本文研究由N個跟隨者和一個領導者構成的含時變時滯的非線性異質復雜網絡，N個跟隨者的動力學模型如下：

其中，x i(t)∈Rn是第i個節點的狀態變量；f i:Rn×[0,+∞)→Rn是第i個節點的非線性向量函數；A i∈Rn×n,Aτi∈Rn×n,和B i∈Rn×n是常數矩陣；τ(t)是時變時滯且滿足0≤τ(t)≤τ，τ?(t)≤u，其中τ＞0，u是常數；u i(t)∈Rn是待設計的控制協議。

領導者的動力學模型如下：

其中，A0∈Rn×n，Aτ0∈Rn×n，B0∈Rn×n是常數矩陣，x0(0)∈Rn是領導者的狀態初值。

1.4 定義與假設

假設1每個跟隨者與領導者之間至少存在一條有向路徑。

定義1非線性函數f(?):Rn→Rn滿足利普希茨條件：存在αij≥0(i,j=1,2,…,n),?y,z∈Rn使

假設2設f i(x i(t),t)=f(xi(t),t)+g i(x i(t),t),i=1,2,…,N，其中

（1）f(x i(t),t)滿足利普希茨條件；

（2）‖g i(x i(t),t)‖≤σi,σi是正常數。

假設3領導者的狀態向量x0(t)是有界的，即存在δ＞0，使得‖x0(t)‖≤δ對任意的初值x0(0)都成立。

注2假設1是網絡系統實現領導者-跟隨者同步的必要條件，假設1表明領導者可以通過有向路徑把信息傳遞給每一個跟隨者；假設2表明系統中的非線性函數滿足利普希茨條件，這在非線性系統中是常見的；在實際應用中，領導者可能是一個平衡點、周期軌道或者混沌吸引子。因此，假設3是合理的。

本文設計的采樣反饋控制如下：

根據圖理論知識可知，式中A=[aij]∈RN×N指的是加權鄰接矩陣，如果節點i可以收到節點j的信息，那么aij＞0否則a ij=0。拉普拉斯矩陣L=l ij∈Rn×n定義為：當i≠j時，。領導者的判斷矩陣定義如下：D=diag{d1,d2,…,d N}∈RN×N，當且僅當第i個節點與領導者相連時d i＞0，否則d i=0。令Hˉ=L+D，式中采樣時刻t k滿足0=t0＜t1＜…＜t k＜…考慮的采樣是非周期的，任意兩個連續采樣時間間隔在一個區間內，即t k+1-t k=h k≤h，h k＞0是采樣間隔，h是允許的最大采樣間隔，c為恒定耦合強度，η為恒定輸入時滯。

1.5 誤差系統

定義誤差向量x?i(t)=x i(t)-x0(t)

因此誤差系統為：

式中

通過文獻[16-19]對異質網絡的研究發現異質網絡很難實現完全同步。因此，引入擬同步的定義如下：

定義2[16]跟隨者網絡（1）與領導者網絡（2）實現擬同步的條件為：存在一個誤差界ε＞0，對于任意的初值x i(0),x0(0)∈Rn使得成立。

由于節點的異質性嚴重影響系統的穩定，當前的一個主要問題是如何處理由異質引起的不穩定因素，從以上分析可以看出Δ(x0,t)的存在正是導致跟隨者和領導者之間不穩定的因素，因此有必要估計‖Δi(x0,t)‖的界。由假設2和假設3可得：

其中Γ=[αij]n×n,i=1,2,…,N。

2 主要結果

本章將給出異質跟隨者網絡（1）與領導者網絡（2）在采樣控制（3）下實現擬同步的充分條件。為了簡化矩陣和向量的表示，將e i∈R9n×n,i=1,2,…,9,定義為塊輸入矩陣（如：e5=[0 0 0 0I0 0 0 0 ]T）其他符號定義如下：

定理在假設1～3的基礎上，給定正常數h,τ,u,σ1,σ2,α,如果存在矩陣P＞0,X1＞0,W i＞0 (i=1,2,…,6)，矩陣T,N,Z=diag{Z1,Z2,…,Z N}，對角正定矩陣Θ和對角實矩陣Λ=diag{b i}N＞0，使得下列線性矩陣不等式對于任意的hk∈{0,h}成立：

那么，跟隨者網絡（1）與領導者網絡（2）在采樣控制協議（3）下可以實現擬同步，同步誤差上界為ε=

證明構造下面的增廣李雅普諾夫泛函

其中

對V(t)沿誤差式（4）對t求導：

給定任意的正定矩陣X1有下面不等式成立：

根據引理1可得：

式中

為了證明擬同步需要求得下面式子：

引入下面的不等式來處理和上式中的一部分積分項

應用上式及詹森不等式有下面式子成立：

由定義1和假設2可知，f(x i(t),t)滿足利普希茨條件，因此

其中Γ=[αij]n×n

給定一個對角正定矩陣Θ有下面式子成立：

給定一個對角矩陣Z和標量σ1＞0，σ2＞0可得：

把式（12）、（14）、（15）代入到式（11）中得：

其中：

根據引理3可得Ξ＜0的條件是下面兩個式子成立：

根據Schur引理可知定理中的式（8）等價于式（17）。因此，當t∈[t k,t k+1)時：

把式（18）兩邊乘eα(t-t0)從t0到t可得：

從V(t)的定義可知x?T(t)Px?(t)≤V(t)

因此，含時變時滯的異質跟隨者網絡（1）在采樣控制協議（3）下可以與領導者網絡（2）實現擬同步，且同步誤差上界為：

證明結束。

推論假設定理中的條件不變，當t→∞，Δ(x0(t),t)→0，異質網絡（1）轉變為同質網絡，其與領導者網絡（2）在采樣控制（3）下可以實現完全同步。

3 數值仿真

本章將給出數值仿真來驗證理論結果。本文選取的網絡包含1個領導者和6個跟隨者，領導者作為根節點，節點間的信息交流如圖1所示。

圖1 網絡拓撲結構圖

例1跟隨者網絡模型為：

其中，?i和?i是采樣常數，γi是模型參數，ωi是輸入擾動。因此系統（1）中相對應的參數為A i=-?i,Aτi=-?i,B i=-γi,f(x i(t),t)=sinx i,g i=-γi-1ωi(t)。假 設γi=0.01i,?i=8-i，?i=2+i，[ω1,ω2,ω3]T=[-cos(-2t)+0.2,-sin(-6t),-e-4t,-sin(-2t),-e-2t+0.6,-cos(-8t)]T領導者節點的相關參數為A0=-4，Aτ0=-7，B0=-0.03，g0=-13 cos(-4t)+6。選取耦合強度c=0.5。為了考慮時變時滯以及輸入時滯對系統的影響，取τ(t)=0.012 5+0.012 5 sin(4t),τ=0.025,u=0.05,η=0.005。參數α=30,b1=1,b2=2,b3=3,b4=3.5,b5=2.5,b6=1.5,σ1=15,σ2=5,Γ=1。根據網絡拓撲圖1可知：

通過定理解線性矩陣不等式（7）～（9）得到可允許的h的最大值為0.033。為了簡化把控制協議（3）設計為周期采樣，采樣周期為h k=0.01，同時基于定理可得：

選擇領導者的初值x0(0)=1，6個跟隨者的初值隨機選擇。根據以上給定的相關參數以及式（6），通過簡單地計算可得C1=8.038 4，C2=6.236 8，C3=4.235 2，C4=2.243 7，C5=1.672 1，C6=4.290 5，進而得到估計誤差上界ε=5.4。從圖2和圖3可以看出含時變時滯的異質跟隨者網絡（1）和領導者網絡（2）在含輸入時滯的采樣控制（3）下可以實現擬同步。

圖2 例1中x 0(t)和x1(t),x 2(t),…,x6(t)的軌跡圖

圖3 例1中實際與估計同步誤差圖

例2當Δ(x0,t)→0時，異質網絡轉變為同質網絡。同質跟隨者網絡的模型如下：

其中，A=-4,Aτ=-7,B=-0.03。

領導者的動力學模型為：

其他參數同例1，從圖4和圖5可以看出跟隨者網絡（20）與領導者網絡（21）在采樣控制（3）下可以實現完全同步。

圖4 例2中x 0(t)和x1(t),x 2(t),…,x6(t)的軌跡圖

4 結論

圖5 例2中同質系統的誤差軌跡圖

本文研究了含時變時滯的非線性異質復雜網絡在含輸入時滯的采樣控制下實現擬同步的問題。基于減少穩定性條件降低保守性的目的，在Lyapunov泛函中增加采樣信息。利用Lyapunov-Krasovskii穩定性理論和線性矩陣不等式方法得出了保證非線性異質復雜網絡實現擬同步的充分條件。并估計出實現擬同步的誤差上界。同時驗證了同質的情況，當異質網絡變為同質時是可以實現完全同步的。最后，數值仿真證明了理論結果的正確性。