變質率呈兩參數Weibull分布的肉類商品庫存管理
——考慮庫存水平臨界點

張 源

（1.上海外國語大學賢達經濟人文學院，上海 200083；2.中國社會科學院工業經濟研究所，北京 100732）

隨著中國供給側結構性改革的深入落實和市場環境日趨復雜的變化，保持健康高效的庫存水平成為諸多企業提升運作管理的重點之一。對經營肉類商品的企業來說，需考慮商品的需求不確定性和易變質性。由于肉類商品效用隨時間推移而降低，且產生額外腐壞成本，因此，如何確定肉類商品的最優訂貨量和訂貨周期以實現最低庫存成本，兼具理論及應用價值。

1963年，Ghare等［1］首次提出變質商品庫存模型。之后的50多年，國內外學者結合各類商品提出多種約束條件下的庫存模型。Covert等［2］采用兩參數Weibull分布函數描述商品變質率；Philip［3］在之后提出三參數Weibull分布的商品變質率模型。隨后，Jalan等［4］基于服從兩參數Weibull分布的變質率，構建線性需求下的庫存管理模型。Chakrabarty等［5］則基于服從三參數Weibull分布變質率的商品，提出相應的庫存控制模型。徐賢浩等［6，7］從變質期類型的角度，將變質商品的庫存模型分為2種，即固定變質期和隨機變質期。有學者將肉類商品歸類為固定變質期商品，認為其變質率保持恒定，并在既定時間后效用為0。本研究認為鑒于在倉儲過程中受不同溫度、氣候、濕度和儲存方式的影響，商品在庫存過程中發生變質的時間和程度是不確定的?，F有文獻中，隨機變質期通常涉及2種變質率類型，即服從時變函數的變質率以及服從Weibull分布的變質率。其中，前者描述隨時間推移變質率升高的情況；而后者一般應用于初期變質率較大的情況。本研究認為根據肉類商品的特性，無論是冷鮮肉還是冷凍肉，均應屬于服從Weibull分布的變質商品類型，即前期變質速度較快，后期變質速度逐漸放緩，最終商品效用趨近于0，而不同溫度下的儲存方式決定其變質率的大小程度。與此同時，鑒于肉類商品的變質類型主要指其腐壞過程，即物理性變質，而價值性變質通常只在市場價格大幅波動時或因庫存積壓而進行折價銷售時較為明顯，本研究僅考慮商品的物理性變質現象。因此，本研究基于EOQ模型的理論基礎，引入庫存水平臨界點，只考慮庫存量低于臨界點的情況，結合中國肉類商品銷售的運營現狀，建立變質率呈兩參數Weibull分布的庫存管理模型，并進行算例分析，以期為中國當前優化肉類商品供應端提供可行的分析手段和參考建議。

1 問題描述與模型假設

1.1 基本假設

根據對中國部分城市肉類商品銷售市場的調研結果，基于單一企業的庫存管理問題展開研究，引入如下基本假設條件：a.該公司僅經營一種特定的肉類商品；b.商品發生變質且變質率服從兩參數Weibull分布；c.變質過程是不可逆的；d.庫存采購提前期為0；e.庫存補充速率無窮大；f.不允許發生供貨短缺；g.不存在價值性變質。

1.2 符號表示

構建模型涉及符號及定義如表1所示。

表1 構建模型涉及符號及定義

2 模型構建

本研究假設商品的變質率服從兩參數Weibull分布。兩參數Weibull分布的概率分布函數F（t）和密度函數（ft）分別為：

由式（1）、式（2）可得，服從兩參數Weibull分布的變質率：

式中，a為尺度參數，0≤a＜1，其中，a=0表示不發生變質；b為形狀參數，b≥0。圖1是服從兩參數Weibull分布的變質率-時間關系。由圖1可知，形狀參數存在5種情況：①0＜b＜1，變質率與時間變量為負相關，表示變質率在訂貨周期初期較高，隨著時間推移而逐漸降低；②b=1，變質率為常數，變質率與時間變量不相關；③1＜b＜2，變質率與時間變量為正相關，且變質率增高的速率在逐漸降低；④b=2，變質率與時間變量為線性相關；⑤b＞2，變質率與時間變量為正相關，且變質率增高的速率在逐漸增大。本研究結合企業實際運營中大多數物理性變質商品的變質特征，僅考慮b≥1的情況，即變質率隨時間的變化逐漸增加。

圖1 服從兩參數Weibull分布的變質率-時間關系

鑒于部分企業實際經營活動中，往往存在庫存水平臨界點，一旦隨著庫存降低并小于臨界點時，商品的需求率將保持恒定。根據調研結果，大部分肉類經營企業并不存在面對商品需求隨庫存降低而顯著變化的情況。本研究只考慮庫存消耗速度保持不變的情況，即將庫存量低于臨界點作為假設條件，因此，可以構建模型在Q≤L的條件下，庫存消耗速度不隨庫存降低，消耗率維持在庫存臨界點時的水平，庫存狀態方程為：

由I(0)=Q且I(T)=0可得，t時刻的庫存水平（5）與最優訂貨量（6）：

庫存變質成本：

庫存持有成本：

庫存管理總成本：

單位時間庫存管理成本：

對式（7）、式（8）、式（9）求導可得：

當庫存量低于庫存臨界點的條件下存在最優解T，則存在由式（11）可計算T，式（11）可化簡為：

引入函數f(T)且滿足：

對f(T)泰勒展開可得：

其中γn(T)為拉格朗日余項：

根據草圖發現，y=（fT）與x軸在x=1處附近有惟一交點，取T0=1可得：

現采用反函數多項式展開法，對超越方程進行求解（其中涉及Newton-Raphson迭代法的運用），略去拉格朗日余項后得出二次三項近似式，可作為T的近似解析解：

將T帶入式（6）可得最優訂貨量Q：

本研究僅考慮b≥1的情況，即變質率隨時間的變化逐漸增加，也即：

所以，式（21）所得到的T為全局最優解，式（22）所得到的Q即為最優訂貨量。

3 數值算例與靈敏度分析

3.1 數值算例

算例假設某肉類商品經營企業制定庫存管理計劃，所經營的商品為單一種類，且物理性變質率服從兩參數Weibull分布。庫存模型的相關參數如表2所示。

表2 庫存模型的相關參數

3.2 求解步驟

將參數值代入式（22）計算，可得最優訂貨量Q；將Q代入式（6），可得庫存補充周期T；將T代入式（7）、式（8），分別可得庫存變質成本DC和庫存持有成本HC；將DC和HC代入式（9），可得庫存管理總成本TC；將TC和T代入式（10），可得單位時間庫存管理成本AC。

經過計算，本算例中肉類商品經營企業的最優訂貨量為6.112 6 t，對應的單位時間庫存管理成本為1.931 5萬元。

3.3 靈敏度分析

本研究根據算例，通過每次只改變單一參數值，對庫存模型中的主要參數進行靈敏度分析（表3）。每次上調或下調參數值的50%或25%，分別可得參數a、b、α、β、K、h、C的變化對最優訂貨量Q和單位時間庫存管理成本AC的影響。值得注意的是在所有計算結果中，最優訂貨量并未超過庫存水平臨界點L，因此，計算結果與模型假設并無相悖。

由計算結果可知以下結論：①服從Weibull分布的變質率形狀參數b和需求率參數α、β對最優訂貨量Q和單位時間庫存管理成本AC的影響都非常大；②服從Weibull分布的變質率尺度參數a和單位商品變質成本C對單位時間庫存管理成本AC的影響非常大，但對最優訂貨量Q的影響不顯著，但兩參數對最優訂貨量Q和單位時間庫存管理成本AC的影響同步；③服從Weibull分布的變質率尺度參數a和單位商品變質成本C的變化對最優訂貨量Q的影響呈負相關，其他參數對Q的影響呈正相關；④服從Weibull分布的變質率形狀參數b對單位時間庫存管理成本AC的影響呈負相關，其他參數對AC的影響呈正相關。

根據上述結論可以看出，當腐壞速度越快，單位時間庫存管理成本越大，企業單次訂貨量也需要越大，其中，變質的尺度參數對訂貨量影響較小，而形狀參數則對訂貨量影響較大。此外，市場需求率越大，企業單次訂貨量也需要越大，單位時間庫存管理成本也越大。

表3 庫存模型主要參數靈敏度分析

本研究針對影響訂貨量較大的變質率形狀參數b展開進一步分析，將b作為變量，在給定其他參數的條件下，分別可得形狀參數與最優訂貨量和單位時間庫存管理成本的關系，如圖2和圖3所示。

由此可見，當肉類商品的變質率形狀參數增加到一定程度時，最優訂貨量的增長速度（圖2）和單位時間庫存管理成本的下降速度（圖3）均會減弱，切線斜率逐漸趨近于0，即最優訂貨量逐漸接近一個最高值，而單位時間庫存管理成本逐漸接近一個最低值。所以，當肉類商品的腐壞速度超過一個閾值時（本算例中約為b=5），最優訂貨量將基本不受腐壞速度變化的影響。

圖2 最優訂貨量-服從Weibull分布的變質率形狀參數關系

圖3 單位時間庫存管理成本-服從Weibull分布的變質率形狀參數關系

4 小結

本研究假定肉類商品物理性變質率服從兩參數Weibull分布，且不存在物理性變質，在考慮庫存水平臨界點的條件下，構建肉類商品經營企業的庫存管理模型。本研究基于前期市場調研數據，算例參數貼近于現實商業情形，為有效管理肉類商品庫存提供學術依據，也為相關企業高質量發展提供智力支持。通過實證發現，商品變質速度對企業的庫存管理策略影響較大，變質率形狀參數越大，企業單次訂貨量越大；肉類市場的需求率越大，企業單次訂貨量也越大。此外，當肉類商品的變質率超過一定程度，最優訂貨量便不再受變質速度變化的影響。

本研究所構建的庫存模型和相關建議同樣適用于符合類似物理性變質的其他商品，如水果、鮮切花、超市便當等。現實生活中，節假日等時間節點消費者對肉類商品的需求會大幅增加。因此，市場需求量的大幅波動對物理性變質商品的庫存控制影響是后續研究的方向。