基于多項式優化的車輛自主換道軌跡規劃＊

施衛，夏濤

（江蘇理工學院 汽車與交通工程學院，江蘇 常州 213001）

前言

車輛換道在駕駛過程中是非常普遍的，數據表明交通事故中有一部分的原因就是車輛進行車道更換引起的。因此，對于車輛進行自主換道的研究就顯得十分重要了。換道軌跡的規劃是車輛能否自主換道的基礎和關鍵，精準合理的換道軌跡有助于車輛安全平穩地完成換道操作。目前國內外學者對換道軌跡規劃進行了許多研究，Margolis 等人[1]考慮直接施加轉彎和制動力的點質量簡化模型，最優控制用于求解換道平均曲率半徑最小化問題，從而規劃出一條避免碰撞的換道最佳路徑。張志超等人[2]通過將車速、換道的橫向距離和橫向最大加速度作為參數，創新地設計出X-Sin 函數換道軌跡曲線，將得出的軌跡與其他換道軌跡進行比較，X-Sin 換道曲線擬合度更高。長安大學王暢等人[3]提出七次多項式模型來對車輛換道軌跡進行規劃，結合換道時初始和結束邊界條件對初始表達式進行運算，得到換道軌跡的函數表達式。

本文在比較其他換道軌跡方法的基礎上，建立基于五次多項式的換道軌跡規劃模型，根據換道初始時刻和結束時刻車輛狀態量進行軌跡求解運算，得出一條光滑連續且符合實際的軌跡曲線。同時考慮到換道的舒適性和效率性，建立了軌跡優化函數，通過引入k1 和k2 兩個權重系數進行分析，得出了不同權重比下的換道最優時間，使得車輛的換道軌跡更加優化。在Carsim/Simulink 中對建立的換道軌跡模型進行仿真驗證。

1 基于多項式的換道軌跡模型設計

1.1 換道場景假設

由于城市交通道路環境復雜多變，給研究帶來很大的困難，故本文對交通道路環境作出了簡化，只考慮交通流密度比較低的城市雙車道環境下的某些情況，不考慮行人、障礙物及紅綠燈對自主換道的影響，從而減小了研究難度。如圖1 就是簡化下的一個普遍的城市道路雙車道換道場景。

圖1 城市雙車道換道場景示意圖

如上圖所示，B 車為自主換道車輛，B1 和B4 分別為當前行駛車道上前車和后車，B2 和B3 分別為目標車道上的前車和后車。當B 車滿足換道條件下，從當前行駛車道左轉駛入目標車道，正好行駛到車B3 和車B2 之間，從換道開始到換道結束沒有與任一車輛發生碰撞，則換道完成。

1.2 換道軌跡數學模型建立與求解

如圖2 所示為換道車輛的換道初始時刻和結束時刻的狀態圖，車輛從圖示初始狀態位置換道到結束狀態位置，以初始位置車輛的質心為坐標原點，x 軸正方向為縱向行駛方向，y 軸正方向為橫向行駛方向，假定車輛在車道中行駛時都是沿著車道中心線，并且車輛在換道過程中橫向運動和縱向運動相對獨立，互不影響。

圖2 車輛換道場景狀態變化圖

換道初始時刻的車輛狀態的各個參數可以由車載傳感器獲取，其參數為：初始縱向位置x（t0），初始橫向位置y（t0），初始縱向速度，初始橫向速度，初始縱向加速度初始橫向加速度初始狀態的各個參數值為：

換道結束時刻的車輛狀態的各個參數是由車輛自身屬性、道路條件和目標期望共同決定的，其參數為：結束時縱向位置x（te），結束時橫向位置y（te），結束時縱向速度結束時橫向速度，結束時縱向加速度，結束時橫向加速度。

結束狀態的各個參數值為：

式中：te為換道結束所用時間，Xe為車輛換道結束時縱向總位移，vxe為換道結束時的縱向速度，h為換道橫向總位移。

本文選取五次多項式函數來描述車輛換道的橫縱向運動，其函數為：

式中：x（t）、y（t）分別為在t 時刻車輛的縱向行駛距離和橫向行駛距離，ai、bi（i=0，1，2，3，4，5）為多項式系數。

將式（1）和式（2）得到的12 個已知條件代入到式（3）中可得：

為了求解式（3）和（4）的軌跡函數，用矩陣來進行計算，可以簡化運算過程。令a=[a5a4a3a2a1a0]T，b=[b5b4b3b2b1b0]T，X=[0vx00Xevxe0]T，Y=[0 0 0h0 0]T。

由a=M-1X，b=N-1Yb，可求解到換道軌跡函數：

由換道軌跡（5）可以發現，整個換道過程換道軌跡與換道總時間te、換道橫向總位移h、初始縱向速度vx0和結束時的車輛縱向速度vxe有關。由于車輛橫向換道總位移即車道寬度h取得是定值3.75m，并且因為換道過程換道時間較短，這里為了簡化分析，假定換道過程中車輛的縱向速度不發生改變，即vx0=vxe，所以現在只有換道總時間和車輛的縱向速度影響著換道軌跡形狀。

1.3 模型仿真分析

運用Matlab 對兩種情形的換道軌跡進行研究：換道時間一定，不同的車輛縱向速度對軌跡的影響；車輛縱向速度一定，不同的換道時間對軌跡的影響。

（1）換道時間一定，這里取te=4s，縱向車速分別取15m/s，20m/s 和25m/s 三種情況。

（2）當縱向速度一定，這里取vx=20m/s，換道時間te分別取4s，5s 和6s。

由圖3 可以看出，當換道時間一定時，車輛以不同的縱向速度換道時，其軌跡也是有差別的，速度越大它的整體軌跡曲率就越小，反之越大，換道曲率過大會導致車輛發生側滑等問題，從而影響換道的橫向穩定性。從圖4 和5 可以看出，在縱向速度一定的情形下，不同的換道時間對換道軌跡和車輛橫向加速度影響較為明顯。換道時間越短，車輛的橫向加速度變化就越大，換道軌跡的曲率也就越大，所以選取合適的換道時間不僅對換道軌跡有一定的影響，也對車輛橫向加速度產生比較大的影響，并且會影響換道的穩定性與舒適性。

圖3 換道時間一定，不同縱向車速的換道軌跡圖

圖4 縱向速度一定，不同換道時間的換道軌跡圖

2 軌跡優化控制器設計

通過建立五次多項式車輛的換道軌跡，從而得出了不同的換道時間對車輛的橫向加速度[4]有比較大的影響，而換道車輛的橫向加速度對換道的舒適性有很大的關系，換道時間的長短同時也影響著換道的效率。由圖5 可知，換道時間越短，雖然換道的效率提高了，但橫向加速度的變化越陡，舒適性就會降低；相反換道時間越長，換道效率會降低，但橫向加速度變化就越平緩，舒適性就會增加。因此考慮換道舒適性與效率性[5]，建立換道軌跡評價函數，對換道時間和橫向加速度進行權衡，從而選取合適的換道時間。建立換道時間和橫向加速度的評價函數為：

圖5 換道橫向加速度隨時間變化圖

式中：te為換道完成時間，temax為換道完成的時間最大值，ay為車輛換道橫向加速度，aymax為車輛自身所能達到的最大橫向加速度。

同時考慮到舒適性和效率性，在式(6)中加入兩個權重系數k1和k2，且k1+k2=1，可以通過調整k1和k2之間的比值來權重換道時的舒適性和效率性。

通過對軌跡評價函數（7）進行最小值求解可以得到軌跡規劃優化函數：

在換道時k1和k2的大小受到車輛之間的縱向安全距離的影響，當換道車輛與附近車輛的距離較小時，則此時應該著重考慮效率性，k2的比重就會大些；反之當距離較大時，應當著重考慮舒適性，則k1的比重就會大些。k2的取值由換道車輛B 與周圍車輛間最小換道安全距離與初始縱向距離的比值來確定。

通過車輛自身的參數和道路條件，得到軌跡優化函數的約束條件：vx＜vxmax，vy＜vymax，|ay|≤aymax，0＜te≤temax。

3 仿真實驗分析

3.1 仿真參數設置

3.1.1 車輛參數設置

主換道車輛B 的參數如表1 所示，初始車道前車B1 的速度為16m/s，位置在換道車輛前方30m；目標車道前車B2的速度為22m/s，位置在換道車輛左前方35m；目標車道后車B3 的速度為20m/s，位置在換道車輛左后方30m。

表1 車輛部分參數

3.1.2 軌跡規劃參數設置

橫向位移0≤y≤3.75m，橫向加速度0≤ay≤0.4g m/s2，換道時間0＜te≤6s。

3.2 仿真實驗與分析

設置換道車輛Toyota_Prius（B）縱向以20m/s 的速度進行換道。

圖6 車輛換道過程仿真動畫

如圖7 所示為不同的權重系數k1和k2之比下的軌跡優化函數J 隨時間的變化曲線，從圖中可以發現優化函數J 曲線的最小值所對應的時間為該權重比下的最優換道時間。k1反映的是換道時的舒適性，而k2反映的是換道時的效率性，由圖所示，當權重比k1/k2的值越來越大時，函數J 的最小值所對應的最優換道時間也在隨之增大，當舒適性的比例在不斷增大時，效率性相應地減少，換道時間也就更長，與實際情況相符。

圖7 不同權重比下優化軌跡函數J 隨時間變化圖

圖8 為相同換道環境下，采用優化模型后的換道軌跡與非優化的換道軌跡對比圖。由圖可以發現，優化后的換道軌跡在完成換道時的縱向距離縮短了，換道時間也相應地減少了，表明了優化后的換道模型在考慮舒適性和效率性的同時，對于道路上的突發情況，可以更快地作出反應，從而進一步保證了換道的安全性。

圖8 優化軌跡與非優化軌跡對比圖

4 結論

由上述仿真實驗中，可以發現本文提出的軌跡規劃方法可以較好地擬合車輛的換道軌跡，通過建立軌跡優化函數使得換道更加舒適和安全，對之后的無人駕駛換道技術奠定基礎。