艦船磁場垂向分量推算其三分量的傅里葉方法?

王 鯨 禤予文 楊明明

（1.中國人民解放軍92601部隊 湛江 524009）（2.中國人民解放軍91388部隊 湛江 524022）

1 引言

艦船磁場是艦船的重要物理特征，是艦船隱身性能的重要指標之一。現代水中兵器和航空磁探測一般使用艦船磁場在艦船坐標系下的投影來作為觸發、控制引爆和探測的信號源［1］。艦船磁場在相應坐標系下的投影分別稱為磁場成為磁場縱向分量、橫向分量和垂向分量，統稱為磁場三分量，在艦船磁性處理中需要對磁場三分量進行測量以提高艦船磁隱身性能。

采用三分量磁傳感器進行艦船磁場三分量的測量是最為直接的方法，但三分量磁傳感器造價成本高、技術復雜、安裝要求高，實際使用中存在測量前需檢測調整其三軸正交性等不便。而單分量磁傳感器的成本和安裝要求低，且不需要調整正交性，使用方便，但其只能獲取艦船磁場的某一分量，需要由該分量推算其他分量。針對上述問題，文獻［2～3］分別從艦船磁場的Laplace方程出發，建立了磁場垂向分量與其他兩個分量的積分表達式，實現了由磁場垂向分量推算磁場縱向和橫向分量。

上述方法存在測量面的剖分，復雜的積分奇異處理和大量的積分計算等不足。為此，本文引入空間二維傅里葉變換，建立相應的推算模型，可避開積分奇異處理和積分計算。在此基礎上，探討測量面長度和寬度對推算方法的影響，確定適用性條件。

2 基于傅里葉變換的推算方法

2.1 磁場三分量的頻率域關系

如圖1所示，艦船下方某無限大平面S將場域空間分成兩部分V1和V，所有的磁源（包括鐵磁物質和傳導電流）都被限制在V1內。

圖1 磁源與場域位置示意圖

V可以看成是由兩個閉合面限定的區域（S和伸展到無限遠的S∞），該區域內沒有電流分布（J=0），則標量磁位φ(x，y，z)滿足拉普拉斯方程：

由式（12）可以看出磁場三分量的空間傅里葉變換存在點對點的簡單線性關系，即經空間二維傅里葉變換后的磁場某分量在每一波數（u或v或）處的能量值僅與其他分量在該波數相對應波數的能量值有關。上述推導過程是建立在測量點位于xoy平面內的，即空間二維傅里葉變換是針對x和y坐標進行的，波數u和v的取值與x和y坐標有關，因此由磁場的Bx或By分量無法直接由式（12）計算Bz分量。若測量發生在yoz平面內則可由Bx計算By或Bz，若測量發生在xoz平面內則可由By計算Bx或Bz，此時式（12）相應的變換為

由 Bx計算 By或 Bz：

由 By計算 Bx或 Bz：

2.2 基于空間傅里葉變換推算的離散模型

從上面的分析不難看出，在頻率域內實現磁場單分量之間推算的重點是二維傅里葉變換及其反變換。為了便于計算機上實現，需要將式（2）離散化。

假設磁場測量位于如圖2所示，全部磁場測量位置形成采樣間隔均勻的（2M+1）X（2N+1）點陣，依據文獻［4］，可將式（2）離散化為：

圖2 測量位置示意圖

其中B和FB分別為某磁場分量及其傅里葉變換 ，W2M+1為 常 數e-i2π/(2M+1)，W2N+1為 常 數e-i2π/(2N+1)，um和 vn的取值滿足 Nyquist采樣定理要求，具體為

在測量得到磁場垂向分量后由式（13）和式（14）進行傅里葉變換后，逐頻率點（波數）由式（12）計算磁場x，y分量的傅里葉變換，再進行傅里葉反變換即可求得該分量磁場值。

3 數值算例分析

采用單個長旋轉橢球體來模擬艦船總體磁場特性，以數個磁偶極子來模擬艦船局部磁場是艦船磁場建模常用的方法，稱為混合陣列模型［5］，本文采用參數如表1中的橢球體和磁偶極子開展數值算例分析。測量面中心坐標為（0，0，20）測量面在x方向的長度Lx和y方向的長度Ly分別為200m和150m，測量點在x方向和y方向的間距分別為5m和7.5m。

表1 磁模擬體參數表

數值分析的具體過程：1）由磁模擬體參數計算各測量點的磁場值作為理論值，在磁場垂向分量的理論值上疊加幅值為±10nT的隨機噪聲作為其測量值；2）由磁場垂向分量的測量值采用上述基于空間二維傅里葉變換的數值模型計算磁場縱向分量和橫向分量，記為磁場推算值；3）比較分析磁場推算值與理論值的差異。比較結果見圖3～圖6，可以看出：在測量面的中心較大區域內，推算值與理論值吻合較好。為消除隨機測量噪聲的干擾，經多次計算后發現：Bx和By的相對均方差［6］分別不超過2.5%和1.5%。圖7和圖8分別為y=0米測線的Bx和x=0m測線的By的最大相對誤差［6］，從圖中可以看出，在測量面的邊緣區域誤差較大，在測量面的中心區域最大誤差不超過5%。

圖3 Bx理論值與推算值比較圖

圖4 Bx理論值與推算值（y=0m）比較圖

圖5 By理論值與推算值比較圖

圖6 By理論值與推算值（x=0m）比較圖

圖7 Bx最大相對誤差（y=0m）圖

圖8 By最大相對誤差（x=0m）圖

采用本文方法進行磁場分量推算時，主要存在兩類方法誤差：一是窗效應誤差，由于采用有限區域內的求和帶代替無限區域的積分，出現類似于時頻信號頻譜分析時，對信號有限截取相當于加了矩形窗，從而產生頻譜泄露誤差；二是邊緣效應誤差，磁場測量值的離散傅里葉變換需要在波數域采樣（um和vn取離散值），求測量值傅里葉變換的過程中磁場值經過周期性復制延拓，參與變換的信號是由居于中心的實測值和無限多個分布在其周圍的“虛像”構成，而傅里葉反變換隨距離衰減，距離“虛像”越遠的地方越小，因此測量面邊緣距離“虛像”越近，誤差較大。降低兩類方法誤差的途徑主要為盡可能增大測量面，一般需要在感興趣的區域外各增加30%的區域作為測量面。圖9為Ly=150m，相對均方差隨Lx的變化圖，圖9為Lx=200m，相對均方差隨Ly的變化圖，從圖中可以看出，相對均方差隨Lx或Ly的增大而減小，這是因為隨測量面的增大，參與傅里葉變換的磁場信息多，頻譜泄露誤差小。

圖9 相對均方差隨Lx的變化圖

圖10 相對均方差隨Ly的變化圖

4 結語

本文基于空間二維傅里葉變換建立了由磁場某分量推算其矢量的方法，該方法無需測量面單元剖分、復雜的積分計算以及積分奇異處理。利用磁橢球體和磁偶極子混合陣列模型的數值分析算例驗證了方法的可行性，結果表明推算精度較高。初步探討測量面長度和寬度對推算方法的影響，分析表明該方法要求測量面足夠大。考慮到實際的艦船磁場測量方式，本文方法更適合于動態磁性檢測方式下的磁場分析場合。下一步，針對固定式消磁設施中磁場面較窄、磁場信息獲取有限等實際，引入擴邊和內插等處理手段，改善和提高本文方法的適用性，并開展實驗驗證研究。