從距離空間完備性角度探討實數完備性理論

胡永模，張 海

（安慶師范大學數理學院，安徽安慶 246133）

實數集有一條重要的性質，即滿足柯西準則的序列必收斂，這一性質本質上是實數集的完備性。同樣，在“數學分析”課程中，實數集還有另外的完備性基本定理，如閉區間套定理、聚點定理和有限覆蓋定理，其相關理論是經典分析學的基礎。一般在實數集中敘述序列的收斂性或者滿足柯西準則都離不開兩個實數在數軸上的距離，所以在一般抽象集合上引進元素間的距離，就得到了距離空間的概念。此時，距離空間也有收斂點列與滿足柯西準則的點列概念，當然也就有距離空間的完備性。實數空間是完備距離空間最簡單的例子。本文從距離空間的完備性來闡述實數集完備性定理的成立。下面從以下幾個方面研究如何理解距離空間的完備性。

1 距離空間完備性的定義

定義1[1-2]設(X,ρ)為任意一個距離空間，{xn}?X為任意一個點列，

（1）如果存在x0∈X，滿足，則稱點列{xn}在X中收斂到x0；

（2）若對任意的ε＞0，存在自然數Nε，當m,n＞Nε時，恒有ρ(xm,xn)＜ε，則稱點列{xn}是柯西點列。若X中任一柯西點列都在(X,ρ)中收斂，則稱(X,ρ)為完備的距離空間。

注由“泛函分析”課程中賦范線性空間理論可知，任何有限維賦范線性空間一定是完備的距離空間，(?,ρ)就是一個典型的完備的距離空間，其中ρ(x,y)=|x-y|，?x,y∈?。特別地，有理數全體按照絕對值距離所構成的距離空間不完備，原因是有理數點列的極限e不是有理數。

2 完備距離空間的柯西收斂準則

實數集有條重要性質，即實數列收斂的柯西收斂準則，在“泛函分析”中，一般抽象的距離空間中的收斂點列一定是柯西點列。這樣，由距離空間完備性的定義，可得到在一般抽象的完備的距離空間中的柯西收斂準則。

定理1（完備距離空間的柯西準則）在完備的距離空間(X,ρ)中，點列{xn}收斂的充要條件是{xn}是(X,ρ)中的柯西點列，即對任取的ε＞0，存在自然數Nε，當m,n＞Nε時，恒有ρ(xm,xn)＜ε。

應用這個定理自然就得到實數集上的柯西收斂準則，而無需像“數學分析”中那樣進行長篇證明，原因只有一個，那就是實數集按絕對值距離構成一個完備的距離空間。

3 完備距離空間的閉球套定理

在完備的距離空間中成立閉球套定理，類似于實數集上的閉區間套定理，證明方法也是類似的。

定理2[3]（完備距離空間的閉球套定理）設(X,ρ)為完備的距離空間，{xn}?X，n=1,2,3,…。閉球序列滿足條件S1?S2?S3?…?Sn?…，其中n=1,2,3,…，且εn→0(n→∞)，則必有唯一的一點。

下面應用定理2證明“數學分析”課程中“實數集的閉區間套定理”，過程簡單，也很自然。

定理3[4]（實數集的閉區間套定理）設[an,bn]（n=1,2,3,…）是一列有界閉區間，滿足：

（Ⅰ）?n∈N，都有an≤an+1＜bn+1≤bn，即，則在實數集中存在唯一的ξ∈[an,bn]（n=1,2,3,…）。

證明考慮完備的距離空間(?,ρ)，其中ρ(x,y)=|x-y|，?x,y∈?。令

4 完備距離空間中的聚點定理

在實數集上，任何有界集中的點列都存在收斂的子列，這就是實數完備性定理中的聚點定理。“泛函分析”課程中，滿足聚點定理的集合稱為列緊集。同樣，在一般抽象的距離空間中也有有界集。

定義2設(X,ρ)為一個距離空間，A?X。如果存在一個固定的點x0∈X，固定的常數K＞0，使得對于任意的x∈A，恒有ρ(x,x0)≤K，則稱A是(X,ρ)中的有界集。

在一般完備的距離空間上，任何有界集中的點列是否跟實數集一樣都存在收斂的子列，即有界集是不是列緊集，回答是否定的。下面就是一個最典型的反例。

例完備距離空間(C([0,1]),ρmax)，其中|，??f,g∈C([0,1])。取，則，故{fn(x) }為(C([0,1)],ρmax)的有界點列。因為按照ρmax收斂等價于函數列一致收斂，而{fn(x) }={xn}在[0,1]上不可能一致收斂，故{fn(x) }按照距離ρmax沒有收斂的子列。

在一般抽象的完備距離空間上，只有完全有界集滿足聚點定理，其定義如下。

定義3[5]設(X,ρ)為任意的距離空間，A是X中的點集，B是A的子集。如果存在正數ε，使得以B中各點為心，以ε為半徑的開球全體覆蓋A，即，那么稱B是A的ε-網。如果對任意的ε＞0，集A總有有限的ε-網{x1,x2,x3,…,xn}?A（點的個數n可以隨ε而變），那么稱A是完全有界集。

距離空間中的完全有界集一定是有界集，反之不真。但在任何有限維賦范線性空間中，兩者是等價的，即有界集也是完全有界集。實數集上的有界集本質上是一個完全有界集。在完備的距離空間中，完全有界集是一個滿足聚點定理的集合，即完全有界集是列緊集。

定理4（完備距離空間中的聚點定理）在完備的距離空間中，完全有界點列一定存在收斂子列。

實數集是一維賦范線性空間，其上的有界點列就是完全有界點列，從而一定存在收斂子列。這樣，“數學分析”中實數集的聚點定理也是自然成立的。由上面的討論可知，滿足聚點定理的集合本質上是列緊集，只不過在完備的距離空間上，列緊集的具體表現形式為完全有界集，而在實數集這類有限維空間上，列緊集就是有界集，從這個角度來理解“數學分析”中的實數集的聚點定理就會更加透徹。

5 完備距離空間中的有限覆蓋定理

在實數集上，有限覆蓋定理和聚點定理是等價的，利用它們可以證明閉區間上連續函數的基本性質，如最大值定理和等度連續定理等等。仔細考察這些定理的證明可以發現，實數集上的有限覆蓋定理對有界閉集同樣成立，而對于一般抽象的距離空間，滿足有限覆蓋定理的集合是緊集，這是一類比有界閉集更強的集合。至于在完備的距離空間中，由于完全有界集就是列緊集，所以完全有界閉集就是緊集，從而得到完備距離空間的有限覆蓋定理。

定理5（完備距離空間的有限覆蓋定理）設(X,ρ)為完備的距離空間，A為X中任意的完全有界閉集。對于A的任意開覆蓋，那么必有{Gα}（α∈Λ）中的有限個開集{Gα1,Gα2,Gα3,…,Gαn}覆蓋A，即。

在有限維空間上，由于有界集是完全有界的，當然也是列緊的，所以有界閉集既是完全有界閉集，也是緊集。從這個角度和定理5可知，實數集上有界閉集一定滿足有限覆蓋定理。

6 結束語

本文從距離空間完備性角度重新審視實數集的完備性定理，站在距離空間的角度更有利于清晰透徹地看清實數集的本質。相應地，通過給出實數集這一具體的距離空間，距離空間中的一些抽象概念也得到更好的直觀解釋。利用有限維賦范線性空間一定是完備距離空間來研究實數列收斂的柯西準則以及閉區間套定理。在此基礎上，通過有限維賦范線性空間中的有界集就是列緊集、有界閉集就是緊集來分別闡述實數完備性定理中的聚點定理與有限覆蓋定理。利用距離空間的完備性理論審視實數空間的完備性，闡述兩者是一般與個別的關系，說明距離空間是實數空間的抽象，從而得到距離空間的很多特性都類似于實數集的結論。