把準乘法意義，透析分配律

王艷

[摘 要]在乘法分配律教學中，要基于問題表象，引導學生對問題的根源深究不放，建立模型，訓練學生的應用意識，促使學生的學生自發地運用數學規律分析問題，從而達到靈活解題的目的。

[關鍵詞]乘法意義;分配律;建立模型

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0064-02

學完乘法分配律之后，學生總會出現一些令人始料未及的錯誤。原因無非是學生對乘法分配律的理解只是局限于套用公式和模仿操作，沒有做到心領神會、融會貫通，只看到表面現象，而沒有領悟其精髓。

以蘇教版教材為例，關于乘法分配律的內容是這樣編排的：首先結合具體的問題情境，指引學生采用兩種截然不同的路徑解決問題，指示學生根據兩道算式代表的含義以及得數，溝通兩種算法之間的內在關聯，然后將它們用等號連接起來;接著出示各種不同的問題情境，指示學生如法炮制，寫出類似的等式，并布置學習任務，讓學生分組合作探究，探查這些等價算式的共性，鼓勵學生自主探尋規律;最后用字母代數來抽象提煉，總結出純粹的數學規律。但是，如此亦步亦趨、循規蹈矩的教學的直接后果是，學生只看到字符的形式變換，無法洞察形式變化背后隱藏的數理。

一、教材例題分析及改進[夾克衫65元，褲子45元，T恤32元][買5件夾克衫和5條褲子一共要付多少錢？]

蘇教版教材的例題以購物為情境，求5件夾克衫和5條褲子的總價，即5套衣服的總價，可列式：5×65+5×45=5×（65+45）。課堂上，學生有生活經驗作支撐，加上教師的循循善誘，能夠了悟兩個算式之間的邏輯關系，也能照貓畫虎仿制出類似的等式，并有模有樣地提煉出字母代數式。但這只是通過一個實例得出的結果，與教師的暗示和主導分不開，屬于不完全歸納，而數學結論的推導需要更加嚴密的證明，要讓學生對整個推導原委了如指掌。倘若學生只是機械記憶“乘加乘”等一些表面現象，遇到稍加變換的形式時（如99×98+98）就會思維堵塞。因此，如果只抓住情境不放，而沒有算理的融入，學生對乘法分配律的理解就會浮于表面。如何在脫離情境的算式中，重建乘法分配律的“真元”？

行為1：編兒歌、找比喻。如“我拿（瓷碗+竹筷）=我拿瓷碗+我拿竹筷”，這樣的比喻并不能從本質上揭示規律，也許學生當時心血來潮猛然理解，但隨著時間的推移，激情退卻，對這個規律的印象會慢慢變淡。

行為2：有教師試圖從現實情境的事例和乘法運算性質兩個方面雙管齊下，引導學生學習乘法分配律。講評例題時，除了講解5件夾克衫的總價加上5條褲子的總價等同于5套服裝的總價外，還用乘法的意義來加以鞏固，誘導學生接受“5個65加5個45，可將相同數量5提取出來，按照套裝來買，即5×（65+45）”。詳細琢磨，這種做法對四年級學生而言，理解起來難度頗大。因為學生只有“3只企鵝+4只企鵝=7只企鵝”的簡算經歷，即同類量只需要累加數目即可，很少涉及把非同類量配套“搭售”的做法，即3只小企鵝+3只小鴕鳥=3對（小企鵝+小鴕鳥）。這種方法并不符合學生的已有知識經驗，因此學生很難真正悟透分配律的精要。

如果既依仗生活情境，又憑恃意義“A個幾+B個幾=（A+B）個幾”來研習分配律，那么，對于蘇教版教材的例題則需要進行適當改造。改造后的情境圖如下：

[教學片段一]

師：你會列算式解決問題嗎？

（學生列式解答，教師選擇性展示兩種不同的方法）

3×45+7×45? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3+7）×45

=135+315? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=10×45

=450（元）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=450（元）

（引導學生解釋兩種算法的緣由）

生1：3件夾克衫的售價+7件T恤的售價=總售價。

生2：因為兩種外衣的零售價均為45元，所以可以“搭售”：3+7=10件外衣，再算總價。

師：觀察以上兩個算式，你有什么發現？

生3：我發現無論怎么算，結果不變。

師：算式不同，得數卻相同，其中究竟有什么蹊蹺？

生4：3件夾克衫的售價+7件T恤的售價=10件外衣的總價。

生5：因為兩種外衣的單件價格均為45元，因此可先獨自結算，再算總賬;也可以先匯總成交量，再算總賬，其實是一碼事。

生6：3個45元加7個45元就是10個45元。

（板書：3×45+7×45=（3+7）×45[→]3個45+7個45=10個45）

這里，既有現實購物情境的襯托，又與乘法的意義相吻合，兩個算式的等價關系被展現得淋漓盡致，在情境和算理的“兩面夾擊”下，學生理解起來不費吹灰之力。相較之下，改進后的例題比教材的例題更能做到情境與意義的完美融合。

二、剝離情境初步建立模型

[教學片段二]

師：老師提供一些算式，你能填空并陳述理由嗎？

課件出示：

（1）4×35+16×35=（4+16）×□

（2）23×C+27×C=（□+□）×C

（3）A×36+B×36=（□+□）×36

（4）A×C+B×C=（□+□）×□

（5）101×35=100×35+□×35

（6）23×34+67×35=（□+□）×□

學生獨立完成填空后，教師根據學生的回答依次呈現算式的意義。

（1）4個35加上16個35等于（4+16）個35

（2）23個C加上27個C等于（23+27）個C

（3）A個36加上B個36等于（A+B）個36

（4）A個C加上B個C等于（A+B）個C

（5）（100+1）個35等于100個35加上1個35

教師指引學生依照乘法的含義描述各個等式的意義，即“A個幾+B個幾=（A+B）個幾”。但做到第（6）題時，學生落入了教師預設的“陷阱”，有舉棋不定的，有左右為難的……正中教師下懷。此時可讓學生思考如何更改數據才能與前面的題目“接上頭”。

學生思考后對算式進行了改變：

23×34+23×35=（□+□）×□

23×34+67×34=（□+□）×□

67×34+67×35=（□+□）×□

學生在抽絲剝繭的交流活動中，摒除次要因素，弄清本質，乘法分配律的模型便逐漸清晰浮現。這實際上就是將學習數學的過程轉化為建模的過程，并在建模的摸索探究過程中訓練學生的應用意識，促使學生自發地運用數學眼光分析問題，從而達到靈活解題的目的。

三、以形輔數體悟本質

[教學片段三]

課件出示：一塊長方形綠化帶，長14米、寬8米。[ ][14][8][6]

按市政部門的要求擴建后，長擴增6米，寬不變。擴建后的綠化帶面積是多少平方米？

方法一：（14+6）×8=160（平方米）

方法二：14×8+6×8=160（平方米）

師：由此可見，（14+6）×8和14×8+6×8是相等的，因此可寫成（14+6）×8=14×8+6×8。那左邊的式子只有一個因數8，右邊的式子有兩個因數8，為何仍舊相等呢？

生：（14+6）×8表示的意義是先求擴建后的長方形綠化帶的長，再用“長×寬”求出擴建后的長方形綠化帶的面積;14×8+6×8表示的意義則是，先求原長方形綠化帶的面積，再求出新增綠化帶的面積，最后用原面積加新增面積得總面積。因此（14+6）×8和14×8+6×8相等。

以新引舊，以舊促新，使乘法分配律進一步“坐實”，讓學生感受到數學知識是一個密不可分的有機體。

[教學片段四]

出示：

98? 2? 45? 55? 2×35? 96×73? 98×35? 4×73? 99×98

假若用上述兩個數（或式子）求和，你認為哪兩個配對計算會比較簡便，并說明理由。

生1：98+2。

生2：45+55。

生3：2×35+98×35。

生4：96×73+4×73。

生5：99×98+98。

當學生列出“99×98+98”這個算式，并附加說明99個98加1個98等于100個98時，說明學生對乘分配律的內核已經掌握了。

綜上，在乘法分配律教學中，要基于問題表象，對問題的根源深究不放。同時，教師只有精準掐住教學內容的“命門”，才能對課堂教學反躬自省，設身處地地從學生角度考慮問題，了解他們的心思與疑惑，攻克教學難關。只有依靠多股力量，筑牢乘法意義的基石，把握乘法分配律的本質意義，才能讓學生真正做到得心應手、運用自如。

（責編 羅 艷）