算法練習(xí)

斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，而斐波那契螺旋線是在斐波那契數(shù)列為邊長的一系列正方形中繪制一個90度的弧線，將這些弧線連接起來組成的一條漂亮的螺旋線，又稱為“黃金螺旋”。自然界中存在許多“黃金螺旋”的圖案，不得不感嘆大自然的鬼斧神工（圖1）。

先思考斐波那契螺旋線的繪制算法，需要產(chǎn)生符合斐波那契數(shù)列的數(shù)字（0，1，1，2，3，5，8，13……），這個數(shù)列可以用遞歸的方法定義F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=F（n-1）+F（n-2）。接著按這個數(shù)列繪制出對應(yīng)邊長的正方形并拼接在一起，然后繪制出對應(yīng)的弧度進行組合完成“黃金螺旋”。

接下來思考用Scratch完成這個算法需要將繪制過程分為幾個步驟。對應(yīng)分成三個步驟：1.繪制正方形;2.計算斐波那契數(shù)列;3.繪制弧線（圖2）。

開始編程，刪除小貓角色，新增鉛筆角色用于繪制正方形，在繪制前先在造型中將筆尖的位置調(diào)整到中心。初始化畫筆的粗細(xì)、角色大小、抬筆狀態(tài)。接下來考慮需要使用的變量，變量有三個：“正方形的邊長”，從圖中觀察到初始值是1;為了用遞歸產(chǎn)生斐波那契數(shù)列的數(shù)字，還需變量F1初始值0和F2初始值1。圖中有六個正方形，所以可以定義循環(huán)重復(fù)執(zhí)行6次（也可以手動輸入其他循環(huán)次數(shù)）。增加兩個自制積木：“繪制正方形”和“計算斐波那契數(shù)列”;正方形的繪制比較簡單，就不細(xì)說了，用（“正方形的邊長”×30）讓正方形大小更好看。需要注意一個細(xì)節(jié)，畫完一個正方形后下一個正方形的起點不是在上一個正方形的終點，圖2中綠色箭頭標(biāo)注的就是前三個正方形的起點，仔細(xì)分析知道畫完后還要移動兩次。繪制完一個正方形后用自制積木“計算斐波那契數(shù)列”計算出下一個正方形的邊長。到這一步結(jié)束后，我們已經(jīng)完成了所有正方形框的繪制。接下來是對弧線進行繪制了（圖3）。

正方形用藍色繪制，螺旋用紅色繪制，所以需要創(chuàng)建一個新的空白角色用于繪制螺旋線。初始化畫筆粗細(xì)、起始位置、抬筆狀態(tài)。弧線角度為90度，重復(fù)執(zhí)行10次，每次右旋轉(zhuǎn)9度。確定旋轉(zhuǎn)時移動的步數(shù)要稍微難一些。直接告訴你答案，這里用（“正方形的邊長”×30×0.154）。為什么是0.154倍呢？本來移動步長應(yīng)該為以正方形邊長為半徑的弧線長的十分之一（πr/2÷10=0.157r），不過考慮到畫筆還有3的粗細(xì)，所以經(jīng)過調(diào)整為0.154倍邊長。

“黃金螺旋”只是數(shù)學(xué)中的六大經(jīng)典螺旋之一，還有“費馬螺旋、阿基米德螺旋、雙曲螺旋”都是非常有意思的圖形，大家也可以去嘗試挑戰(zhàn)一下自己哦。