細分析，巧變換，妙求值

■夏曉靜

三角函數的求值問題是每年高考的必考內容。解答這類問題,可利用“平方關系式”“和角公式”“倍角公式”等進行變換求值。下面對“變式、變角與變名”等方法在解題中的運用加以歸納,希望對同學們解決三角函數求值問題有所幫助。

一、觀察結構,通過“變式”,求三角函數的值

例1 已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=_____。

分析：將所給的兩個等式分別兩邊平方,借助sin2α+cos2α=1即可得到結果。

解：已知兩個等式的兩邊分別平方可得

評析：觀察所給等式的結構特征,發現具有輪換對稱關系,利用“兩邊平方”相加,可得到所求三角函數的值。

二、分析角度,依據“變角”,求三角函數的值

(1)求cos2α的值。

(2)求tan(α-β)的值。

分析：(1)利用已知角α,可求出cos2α的值;(2)把所求角α-β轉化為2α-(α+β)求解。

評析：此題屬于求三角函數值中的“給值求值”型,解題的關鍵是要找到已知角與所求角之間的關系,從而達到解題的目的。

三、緊扣函數名稱,嘗試“變名”,求三角函數的值

例3 求(tan10°-3)·sin40°的值。分析：利用“切化弦”及特殊角的三角函數求值。

評析：利用“切化弦”將函數名稱統一為正弦和余弦,再引入輔助角公式,可將問題化簡到底。本題屬于“給角求值”型,題中給出的角都是非特殊角,通過尋找非特殊角與特殊角之間的關系,從而達到求值的目的。

提示：因為5sin(α+2β)=7sinα,所以5sin(α+β+β)=7sin(α+β-β)。

由兩角和與差的正弦公式可得5sin(α+β)cosβ+5cos(α+β)sinβ=7sin(α+β)cosβ-7cos(α+β)sinβ,即sin(α+β)cosβ=6cos(α+β)sinβ,其中cosβ,cos(α+β)均不為0。

上述方程兩邊同除以cosβcos(α+β),可得tan(α+β)=6tanβ。故原命題成立。