非線性差分方程的幾種特殊求法

◎ 王君玉

非線性差分方程廣泛出現在自然科學領域，在物理學、化學、生物學、生態學、工程學中都有著重要的應用，因此如何求非線性差分方程的解是學者普遍關注的問題，對解常見的線性差分方程問題又較成熟的方法，筆者介紹非線性差分方程的幾種特殊求法。

一、不動點法

若f(α)=α，則稱α為f(x) 的不動點，用不動點法可把非線性差分方程化為等差、等比數列或某些可求解的遞推關系，達到求解目的。

評注:分式差分方程由于它形式的特殊性，在求其通解時它的不動點也必定會有一些更巧的用處，我們可以找出不動點、xn和xn-1之間的等量關系，然后再由遞歸的方式來計算它的通解。

根據此類方法，筆者編出以下題。

二、取對數法

運用取對數方法，可將含有指數或根式的遞推式轉化為等差、等比等數列求解。

評注:對于指數式或根式的差分方程，兩邊取對數，可把其化為一階線性差分方程，求得通解后再轉化為題目所求數列的通項。

根據以上方法，筆者編出以下題

例4 解差分方程

解設zn=lnxn，兩邊取對數，我們得到

三、代換方法

1.三角代換

運用三角代換，可將差分方程中的分式或根式等化簡，使問題便于求解。

評注:根據此類差分方程的特點，暗含某些三角公式的運算形式，應用三角代換后，可去除差分方程中的根式，類比公式即可得出所要求的通項公式。

根據此類方法，筆者編出以下題.

2.分式代換

運用分式代換，可以將復雜的差分方程轉化為較簡單的差分方程，以便求解。

根據此類方法，筆者編出以下題

評注:對于較復雜的差分方程形式，可將其用適當的分式代換，變為常見的差分方程形式予以解決。