整合多版本教材,培養學生高階思維能力
——以分式方程的增根及其與無解的關系為例

◎ 黃 欣

一、兩個版本教材相關知識呈現及整合

1.魯教版八年級數學(2014 年版)上冊39 頁(節選):

方程兩邊都乘x-2，得

1-x=-1-2(x-2)

解這個方程，得

x=2.

你認為x=2 是原方程的根嗎?

x=2 不是原方程的根，因為它使得原分式方程中分式的分母的值為零。像這樣，在方程變形中如果產生了不適合原方程的根，那么我們稱它為原方程的增根.”

2.人教版八年級數學(2013 年版)上冊150 頁(節選):

“我們再來討論一個分式方程

去分母，得整式方程x+5=10

解得x=5

將x=5 代入原分式方程檢驗，這時分母x-5 和x2-25 的值都為零，相應的分式無意義。因此，x=5 是整式方程x+5=10的解，但因使原方程中的分式無意義，而不是原分式方程的解.實際上，這個分式方程無解.”

3.整合兩個版本教材，定義增根概念.

增根的定義:一般地，解分式方程時，去分母后所得的整式方程的解有可能使原分式方程中分母為零，我們把這種情形下的未知數的值叫作分式方程的增根。簡言之，增根就是去分母后整式方程的解但又使原分式方程分母為零的未知數的值.分式方程增根和無解兩個概念既有聯系更有區別，如因增根導致了原方程無解，以致很多同學就想當然地認為方程無解就是因為增根，這就讓學生產生了認知沖突。

二、課堂教學實施片段

1.引入新知，激起求知欲

師:同學們都會解分式方程了，知道解分式方程的一般步驟。有些好學的同學問過老師一個問題:什么叫分式方程的增根，今天我們揭開它的面紗。(PPT 出示魯教版八年級數學(2014 年版)上冊39 頁)的“議一議”)。

生:方程無解，有增根，增根是x=5.

師:為什么說方程有增根，增根是x=5 呢?

生:根據老師講增根的定義知道，整式方程的解x=5 代入到分母，使得分母為零，所以是分式方程的增根，所以原分式方程無解。

師:那分式方程無解和增根是一個意思嗎?

設計意圖:通過解方程讓學生復習解分式方程的步驟，并初步熟悉增根的概念，也為后面進一步的問題——增根與無解的關系探究做好鋪墊。最后一問，學生“眾猜紛紜”，順勢提出問題1.

2.問題探究，激起深思考

問題1:分式方程無解就一定有增根嗎?

小組代表分享解方程過程:

解:去分母得整式方程

(x-2)2+4x+4=4-4x2化簡得x2=-4＜0

因為任何一個數的平方是大于等于零的，所以這個整式方程無解，所以原分式方程也就無解。

師:非常棒，完全正確。這個分式方程無解，有增根嗎?

生:分式方程化為的整式方程都沒有解，原方程當然就沒有增根啦。

師:給你點贊! 看來分式方程無解可能是整式方程無解導致的，這時原分式方程沒有增根卻是無解的。

歸納總結:去分母后整式方程的無解也可以導致原分式方程的無解，因此“無解的分式方程不一定有增根”。

設計意圖:這是對無解與增根的初步探討，讓學生明白無解的源頭并非只是增根。有利于學生的批判意識和發散性高階思維的培養。

師:由以上探究我們知道了分式方程無解也可能由整式方程無解導致的。結合以上兩道題，我們明白了無解不一定有增根，接下來我們探討下面問題。

問題2:有增根的分式方程一定無解嗎?

先獨立完成，然后“兵教兵”，最后師生共同完成:

解:兩邊乘以最簡公分母(x+1)(x+2)=x2+3x+2，得整式方程

(x+6)(x+2)-(2x2+11x+14)+(2x+1)(x+1)化簡得

x2=1

解得x=±1，

師停頓后問:

x=±1 都是原分式方程的解嗎? 如何檢驗?

小組代表:x=1 是原分式方程的解。應為當x=-1 時(x+1)(x+2)=0，故x=-1 是原方程的增根，所以不是原分式方程的解，但當x=1 時(x+1)(x+2) ≠0，所以綜上x=1是原分式方程的解。

師:從這道方程看出盡管整式方程的一個解x=-1 是分式方程的增根，但另一個解x=1 確實是分式方程的解，說明分式方程有增根也可能有解，所以“分式方程有曾根不一定無解”。

同學們看完之后是否明晰了對增根及其與無解關系的理解呢，也可以自己舉出些例子來。

設計意圖:問題2 是對問題1 的反向拓展，僅僅借助問題1 學生對分式方程的無解還很片面。將分式方程轉化來的整式方程進行特別的研究，體現了對分式方程求解過程性深層分析。問題1 和問題2的所給的兩道方程去分母后轉化的整式方程的特點剛好相反，形成鮮明的對比，學生對分式方程的解答步驟的完整性要求理解更透徹，對無解和增根的關系更明確。明白增根、無解以及兩者之間的關系后，讓學生自己構造方程，以培養學生開放性和建構思維。

3.逆向發問，促高階思維發展

已知關于x的分式方程則a取何值時，

(1)分式方程有增根?

(2)分式方程無解?

設計意圖:給出一個含字母系數的分式方程，對增根和無解進行對比逆向設問，有利于在概念比較辨析中鞏固新知理解，至此，學生對分式方程的無解和增根的關系有了全面而深刻的認識。同時滲透了分類討論思想，發展學生高階思維能力。

三、教學反思與啟發

1.養成課程資源開發與利用的意識。對于學生提出的疑惑問題，而現版本上的課本沒有，老師要學會查閱資料，尤其是全國各個版本教材，我們都應該取去涉獵研究，求同存異，結合學生的問題資源，整合不同版本教材資源，為提高學生從事數學學習和教師從事教學活動的質量服務。

2.突破教材局限，設置層次性問題，讓學生在解題過程中明晰概念從而應用概念解題，發展學生高階思維。解分式方程這塊內容各個版本教材敘述相對“淺嘗輒止”，但在實際教學中，如果老師干巴巴的“照本宣科”灌輸給學生解分式方程的一般步驟，學生就好比是流水線上生產工人，知道按“程序”操作，知其然不知其所以然，失去理解學習和高階思維發展的機會。于是我通過自己設計的層次性問題，讓學生在解決具體問題過程中，明晰概念，理解解分式方程的步驟和依據，清楚來龍去脈，促進學生高階思維發展。