基于高階微分方程構(gòu)造函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小

劉前芳 何英杰 楊立敏

摘 要：等價(jià)無(wú)窮小替換是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常見(jiàn)且有效的求極限方法。針對(duì)和差運(yùn)算中的等價(jià)無(wú)窮小，或是不易找到等價(jià)無(wú)窮小的函數(shù)，通過(guò)使用洛必達(dá)法則，結(jié)合連續(xù)函數(shù)的定義，構(gòu)造具有初值條件的高階微分方程，可以找到該函數(shù)在指定過(guò)程下的等價(jià)無(wú)窮小函數(shù)，從而應(yīng)用到極限運(yùn)算或其他計(jì)算當(dāng)中。

關(guān)鍵詞：等價(jià)無(wú)窮小;洛必達(dá)法則;高階微分方程

1 緒論

微積分以函數(shù)為“體”，極限為“魂”，以極限為工具來(lái)研究函數(shù).極限是微積分的理論基礎(chǔ)，是大學(xué)數(shù)學(xué)里極其重要的一部分。求極限的方法有很多種，有定義法、有理化法、洛必達(dá)法則、中值定理等[1]，等價(jià)無(wú)窮小替換也是其中一種簡(jiǎn)便的算法。如何正確的找到已知函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小是使用這種方法過(guò)程中至關(guān)重要的一步。本文研究討論函數(shù)在滿(mǎn)足洛必達(dá)法則的使用條件下，構(gòu)造具有初值條件的高階微分方程，從而找到該函數(shù)在某個(gè)過(guò)程下的等價(jià)無(wú)窮小函數(shù)。

2 求已知函數(shù)等價(jià)無(wú)窮小問(wèn)題的刻畫(huà)

首先我們先來(lái)了解一下等價(jià)無(wú)窮小、洛必達(dá)法則以及高階微分方程的基本知識(shí)。

定義1 設(shè)在同一個(gè)變化過(guò)程下limα=0，limβ=0，limαβ=1，則稱(chēng)α與β是等價(jià)無(wú)窮小量，記作α～β[2]。

定理1 x→x0時(shí)，α（x）～α1（x），β（x）～β1（x），且limx→x0β1xα1x存在（或SymboleB@），則limx→x0βxαx=limx→x0β1xα1x[2]。

假設(shè)要求極限的函數(shù)是幾個(gè)因子相乘或相除的情形，使用定理1及乘除運(yùn)算中的等價(jià)無(wú)窮小替換定理可以簡(jiǎn)化原函數(shù)的計(jì)算，但是相加相減的情況下并不能隨意替換，否則容易出錯(cuò)。例如，x→0時(shí)，tanx-sinx是無(wú)窮小量，計(jì)算過(guò)程中容易錯(cuò)用等價(jià)無(wú)窮小代換tanx-sinx～x-x=0，這是不對(duì)的，事實(shí)上tanx-sinx～12x3。

當(dāng)然，兩個(gè)無(wú)窮小量在滿(mǎn)足特定的條件下也可以在和差運(yùn)算中做無(wú)窮小代換，很多學(xué)者也給出了相應(yīng)的總結(jié)和證明[36]。但是在實(shí)際解題過(guò)程中學(xué)生容易錯(cuò)誤的使用等價(jià)無(wú)窮小和差替代原則，而且有些函數(shù)根據(jù)它的表達(dá)式也很難通過(guò)等價(jià)變形求出該函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小.那有沒(méi)有別的方法可以求出所給函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小呢？即：已知f（x）是x→0的無(wú)窮小量，求它在x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小g（x）。

定理2（洛必達(dá)法則） limx→x0α=0，limx→x0β=0，在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)，α′、β′都存在，且β′≠0，且limx→x0α′β′存在（或?yàn)镾ymboleB@），則limx→x0αβ=limx→x0α′β′[2]。

求f（x）的等價(jià)無(wú)窮小這時(shí)就可以考慮洛必達(dá)法則。f（x）和g（x）是同一過(guò)程下的無(wú)窮小量，即f（x）和g（x）之比的極限limx→0f（x）g（x）=1，這里f（x）g（x）就是“00”型。假設(shè)f（x）和g（x）在0的某個(gè)鄰域內(nèi)有直到n階導(dǎo)數(shù)，就可以使用洛必達(dá)法則求導(dǎo)數(shù)的極限，即：limx→0f′（x）g′（x）=1，假設(shè)此時(shí)limx→0f′（x）=0，要想f′（x）g′（x）極限為1，則limx→0g′（x）=0，此時(shí)f′（x）g′（x）也是“00”型，又滿(mǎn)足了洛必達(dá)法則使用條件，再次求導(dǎo)可得limx→0f″（x）g″（x）=1。

這樣依次循環(huán)下去直到f（x）某一階導(dǎo)數(shù)limx→0f（n）（x）=C≠0，而limx→0f（n）（x）g（n）（x）=1，由此可得：limx→0g（n）（x）=C。教材上常見(jiàn)的某個(gè)函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小都是多項(xiàng)式形式，這里我們假設(shè)g（x）是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，這樣就得到了一組與g（x）有關(guān)的等式：

limx→0g（x）=limx→0g（x）′=……=limx→0g（n-1）（x）=0

limx→0g（n）（x）=C

而多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)處處連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的定義可知，它在某一點(diǎn)的極限值就等于這一點(diǎn)的函數(shù)值，即：

g（x）x=0=g′（x）x=0=……=g（n-1）（x）x=0=0

g（n）（x）=C

由此構(gòu)造出了一個(gè)高階微分方程，g（n）（x）=C，同時(shí)又有n個(gè)初值條件，可以解出這個(gè)微分方程的特解，即g（x）的表達(dá)式，也就是求出了f（x）的等價(jià)無(wú)窮小g（x）。

上述過(guò)程涉及了高階微分方程，下面我們看一下高階微分方程及其解法。

定義2 二階及二階以上的微分方程我們稱(chēng)之為高階微分方程。高階微分方程y（n）=f（x）可以通過(guò)n次積分得以解決[2]。即y（n）=f（x）式可寫(xiě)成y（n-1）′=f（x），兩邊積分，有：

y（n-1）=f（x）dx+C1

類(lèi)似地，進(jìn)一步積分：

y（n-2）=f（x）dx+C1dx+C2

如此進(jìn)行n次積分便得到式y(tǒng)（n）=f（x）的通解。

如果對(duì)應(yīng)的方程有相應(yīng)的初值條件，則可以得到y(tǒng)（n）=f（x）的特解。

上述構(gòu)造的高階微分方程g（n）（x）=C，就可以采用這種解法解出，通過(guò)例子可以深入了解這個(gè)計(jì)算過(guò)程。

例1 已知ψ（x）=ln1+x21-x，求ψ（x）在x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小ω（x）。

解 采用一般思路，ψ（x）很難通過(guò)變形找到它的等價(jià)無(wú)窮小，但是可以采用本文前面所述的微分方程構(gòu)造法，即已知limx→0ψ（x）ω（x）=1，求ω（x）。

ψ′（x）=1-x2+2x（1+x2）（1-x），ψ′（0）=1;

則ψ（x）=ln1+x21-x的等價(jià)無(wú)窮小ω（x）滿(mǎn)足ω′（x）=1

ω（x）x=0=0，解方程ω′（x）=1得通解為：ω（x）=1dx=x+C1，將ω（x）x=0=0代入通解得：C1=0。

可得：ω（x）=x，即在x→0時(shí)ln1+x21-x～x

例2 已知ψ（x）=tan2x-sinx2，求ψ（x）在x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小ω（x）。

解 已知x→0時(shí)，tan2x～x2，sinx2～x2，tan2x-sinx2是否等價(jià)于x2-x2？答案是否定的。tan2x-sinx2的等價(jià)無(wú)窮小可以采用前文所述思路，即已知limx→0ψ（x）ω（x）=1，求ω（x）。

依次求ψ（x）在x=0處的各階導(dǎo)數(shù)值，直到某階導(dǎo)數(shù)不為0停止，可得：

ω（4）（x）=16

ω（x）x=0=0，ω′（x）x=0=0，ω″（x）x=0=0，ω（x）x=0=0

解方程得：ω（x）=23x4。即在x→0時(shí)tan2x-sinx2～23x4。

同樣的方法可以得到：tanx2-sin2x在x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小是13x4?？梢?jiàn)，對(duì)于某些形式非常相似的函數(shù)，它們的等價(jià)無(wú)窮小并不相同，在做題過(guò)程中并不能隨意使用等價(jià)無(wú)窮小替換，要找到合適的方法求出函數(shù)正確的等價(jià)無(wú)窮小。

3 推廣到一般形式

設(shè)limx→x0φ（x）=0，且φ（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)n階可導(dǎo)，并滿(mǎn)足φ′（x0）=φ″（x0）=φ（x0）=……=φ（n-2）（x0）=φ（n-1）（x0）=0，φ（n）（x0）=A≠0，求φ（x）的一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小，設(shè)φ（x）的等價(jià)無(wú)窮小為x的n次多項(xiàng)式函數(shù)P（x），則limx→x0φ（x）P（x）=1，那么P（x）必然滿(mǎn)足：

P（n）（x）=A

P（x0）=P′（x0）=P″（x0）=P（x0）=……

=P（n-2）（x0）=P（n-1）（x0）=0

否則limx→x0φ（x）P（x）極限不存在。

這個(gè)問(wèn)題就變成了求具有n個(gè)初值條件的y（n）=f（x）型的可降階高階微分方程的一個(gè)特解.將P（n）（x）=A兩邊積分，有：

P（n-1）（x）=Adx+C1=A（x-x0）+C1

如此共進(jìn)行n次積分便得到通解：

P（x）=An?。▁-x0）n+C1（n-1）！（x-x0）n-1

+C2（n-2）?。▁-x0）n-2+……+Cn-1（x-x0）+Cn

再將初值條件代入即得方程特解，也就是P（x）。

從而可以得到：x→x0時(shí)，P（x）～φ（x），即P（x）與φ（x）互為等價(jià)無(wú)窮小。在求極限limx→x0φ（x）f（x）時(shí)就可以轉(zhuǎn)換成求limx→x0P（x）f（x）。

4 結(jié)論

等價(jià)無(wú)窮小替換是極限計(jì)算中的一種重要方法，相乘相除時(shí)等價(jià)無(wú)窮小可以替換，加減運(yùn)算時(shí)使用等價(jià)無(wú)窮小替換要滿(mǎn)足很多條件，不能隨意替換。本文通過(guò)在已知函數(shù)滿(mǎn)足洛必達(dá)法則的使用條件下，構(gòu)造具有初值條件的高階微分方程，求解找出函數(shù)在某個(gè)過(guò)程下的等價(jià)無(wú)窮小函數(shù)，進(jìn)而可以使用該等價(jià)無(wú)窮小函數(shù)進(jìn)行其他計(jì)算。

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基金項(xiàng)目：自治區(qū)本科教育教學(xué)研究和改革項(xiàng)目（計(jì)算數(shù)學(xué)軟件及編輯軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的應(yīng)用）項(xiàng)目負(fù)責(zé)人：劉前芳

作者簡(jiǎn)介：劉前芳（1992— ），女，漢族，碩士，助教，研究方向：微分方程應(yīng)用;何英杰（2001— ），男，漢族，本科在讀，資源勘查工程專(zhuān)業(yè);楊立敏（1970— ），女，漢族，碩士，副教授，數(shù)學(xué)系主任，研究方向：toeplitz算子及油氣儲(chǔ)層模型。