用二元函數極值的定義解決問題并滲透思政教育的探討

摘 要：文章從二元函數極值的定義出發，用幾個例子說明如何用定義解決一些難題。并將思政元素滲透到極值定義中，對學生處于低谷時的心理進行疏導，提升學生的抗壓能力。

關鍵詞：二元函數;二元函數極值定義;駐點;思政

中圖分類號：O172.1文獻標識碼：A

1 緒論

在一元函數極值的基礎上，我們引入二元函數的極值問題，首先給出定義。

定義1[1] 設函數z=f（x，y）的定義域為D，P0（x0，y0）為D的內點。若存在P0的某個領域U（P0）D，使得對于該鄰域內異于P0的任何點（x，y），都有f（x，y）f（x0，y0），則稱函數f（x，y）在點（x0，y0）有極小值f（x0，y0），點（x0，y0）稱為f（x，y）的極小值點;極大值、極小值統稱為極值。使得函數取得極值的點稱為極值點。

人生何嘗不像一張曲面，極大值在高峰處取得，極小值在低谷處取得。人生總會有起有落，沒有一帆風順的人生。有的學生可能已經選擇好了即將要完成的目標，而在完成目標的過程中，有心酸、有困難，此時不要輕言放棄，低谷是為了更好地迎接勝利。也許此時的你非常的無助，但是這樣的事情在人生漫漫旅途中，只能算是小小的漣漪。所以，勇敢面對，不忘初心，砥礪前行吧。

而在處理二元函數極值問題的時候，也會遇到類似這樣的問題。往往用判定駐點是否為極值點的判別方法時非常的簡單，但是，如果遇到可能的極值點是駐點，但是AC-B2=0，或者，該點根本不是駐點，我們會覺得非常的難，感覺到了解決二元函數極值問題的低谷。此時不要放棄，可以嘗試從定義出發。

下面從幾個例子來說明，怎樣從定義出發，解決二元函數的極值問題。

2 二元函數無條件極值特例

例1 求f（x，y）= x2+y2的極值。

解：因為fx（x，y）=x x2+y2，fy（x，y）=y x2+y2，函數f（x，y）在R2上除（0，0）點外均可偏導，且無駐點，故可能的極值點僅為（0，0）點。又（0，0）點為不可偏導的點，此時從定義出發進行判別。簡單易見地是，

（x，y）∈R2＼（0，0），f（x，y）= x2+y2>0=f（0，0），所以（0，0）點為函數的極小值點，且極小值為f（0，0）=0。

例1給出了對于不可偏導點處，如何判斷其是否為極值點的方法。從定義出發，借助幾何直觀、數學表達式大小關系等方法確定該點是否為極值點。

例2 已知函數f（x，y）在點（0，0）的鄰域內連續，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1。其中a為非零常數，則（0，0）是否取得極值點，如果取得，是否跟a的取值有關。

解：∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1且lim（x，y）→（0，0）x2+y2）2=0，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axy=0，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=0。

又 ∵f（x，y）在點（0，0）連續，

∴lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=0=f（0，0）。

∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1，

∴f（x，y）-axyx2+y2）2=1+α（x，y），其中lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，即f（x，y）=axy+（1+α（x，y））x2+y2）2。

在y=x上，f（x，x）=ax2+41+α（x，x）x4。當x→0時，f（x，x）=ax2+o（x2）。

在y=-x上，f（x，-x）=-ax2+41+α（x，x）x4。當x→0時，f（x，-x）=-ax2+o（x2）。

故，當x充分小的時候，f（x，y）在（0，0）點附近的值有正有負，而f（0，0）=0，故（0，0）不是函數的極值點，且其未取到極值與非零常數a無關。

例2題干中只給出了函數在（0，0）點處連續的條件，故不能用從駐點處取得極值的判別方法進行判斷。本題找出了函數在（0，0）點的某個鄰域內，既有f（x，y）>f（0，0），又有f（x，y）

例3 求函數f（x，y）=3（x-2y）2+x3-8y3的極值，并證明f（0，0）=0不是f（x，y）的極值[2]。

解：先解方程組

fx（x，y）=6（x-2y）+3x2=0，

fx（x，y）=-12（x-2y）-24y2=0，

求得駐點為（-4，2）、（0，0）。

再求二階偏導數：

fxx（x，y）=6+6x，fxy（x，y）=-12，fyy（x，y）=24-48y。

在點（-4，2）處，AC-B2=（-12）·（-72）-（-12）2>0，又A<0，所以函數在（-4，2）處有極大值。

在點（0，0）處，AC-B2=6·24-（-12）2=0，無法判別（0，0）是否為極值點。

下面我們從定義出發，判別O（0，0）點是否為函數f（x，y）的極值點。

對于O（0，0）點的鄰域U°（O，ε）（ε<1），取點列（xn，yn）=（1n，0），當n>1ε時，（1n，0）∈U°（O，ε），f1n，0=3n2+1n3>0，從而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）>0。

取點列（x′n，y′n）=（2n-1n2，1n），當n>2ε時，（2n-1n2，1n）∈U°（O，ε），f2n-1n2，1n=-9n2+6n-1n6<0，從而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）<0。

因此，（0，0）不是函數f（x，y）的極值點。

所以，函數f（x，y）僅在（-4，2）處有極大值，且極大值為f-4，2=64。

例3不僅介紹了如何判斷駐點是否為極值點的解決方法，還給出了當出現AC-B2=0時，如何從定義出發，給出解題方法。

例4 設函數f（x，y）在（0，0）點及其鄰域內連續，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A<0。討論（〗0，0）點是否為函數f（x，y）的駐點？函數f（x，y）在（0，0）點是否有極值？如果有，是極大值還是極小值？

解：∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

∴lim（x，y）→（0，0）y=0f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

即limx→0f（x，0）-f（0，0）x2=A。

從而有limx→0f（x，0）-f（0，0）xx=A。

因此limx→0f（x，0）-f（0，0）x=0。

故fx（0，0）=0。

類似地，由lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

有lim（x，y）→（0，0）x=0f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

即limy→0f0，y-f（0，0）1-cos2y=A

運用等價無窮小性質有limy→0f0，y-f（0，0）y2=A，變形得limy→0f（0，y）-f（0，0）yy=A，所以limy→0f（0，y）-f（0，0）y=0，故fy（0，0）=0。

所以，（0，0）點是函數f（x，y）的駐點。

因為駐點是可能的極值點，所以下面判斷（0，0）點是否為函數的極值點。由于f（x，y）在（0，0）點二階偏導數未必存在，因此我們從定義出發，研究其極值問題。

∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

∴f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A+α（x，y），其中lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0。

即有：

f（x，y）-f（0，0）=（A+α（x，y））（x2+1-xsiny-cos2y）

（1）x2+1-xsiny-cos2y=x2+sin2y-xsiny2xsiny-xsiny>0（O（0，0）除外）;

（2）因為lim（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，所以根據極限的定義，對于A2>0，δ>0，對于（x，y）∈U°（O，δ），有α（x，y）

由（1）、（2）知，f（x，y）-f（0，0）<0，即存在U°（O，δ），對于任意的（x，y）∈U°（O，δ），有f（x，y）

從而，（0，0）是函數f（x，y）的極值點，且為極大值點。

例4 對于駐點處二階偏導未必存在的情況，從定義出發，給出證明。

3 結語

本文主要從二元函數極值的定義出發，用四個不同類型的例子說明，如何運用極值的定義來解決問題，并且根據極值的定義引入了思想政治元素，既能使學生聯系實際，理解極值的定義，又能從思想上對學生進行心理疏導。現在的大學生抗挫折能力較差，遇到困難，往往容易放棄，其實雨后才有彩虹。相信在高等數學的教學過程中，融入思想政治元素，會使我們的學生抗壓能力更強，變得越來越優秀。

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室.高等數學[M].第五版下冊.北京：高等數學出版社，2016：52.

[2]第十四屆江蘇省高等數學競賽本科組試題.

[3]黃正剛.解二元函數無條件極值的一個有效方法[J].大學數學，2017，33（2）：114117.

[4]韓淑霞，黃永忠，吳潔.一類二元函數極值的判別.高等數學研究，2018，2（21） ：5355.

基金項目：江蘇省2020年度高校哲學社會科學研究一般項目“新時代背景下思想政治教育融入高等數學課堂的探索與實踐”（編號：2020SJA2217）

作者簡介：肖小燕（1979— ），女，漢族，江蘇如皋人，碩士研究生，講師，研究方向：多元統計。