多視角深化線性代數矩陣教學的探索

摘 要：矩陣知識是線性代數的重要內容，但矩陣知識往往比較抽象，不好理解和把握。通過多視角的分析講解，使矩陣知識和其他相關知識聯系起來，可以降低部分矩陣運算的難度，拓寬學生解題的思路，加深學生的理解和記憶。

關鍵詞：代數運算;矩陣運算;綜合除法;逆矩陣;特征值

線性代數是高等院校開設的一門重要基礎數學課。線性代數具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性，學好線性代數對培養學生嚴密的邏輯思維能力有著重要的作用。而矩陣知識是線性代數的核心內容之一，線性代數中行列式、線性方程組、二次型、線性變換、線性空間等的內容都是以矩陣為重要工具，因此，矩陣知識的教學效果在線性代數的教學中具有重要意義。但矩陣內容相對獨立，教師在教學過程中很容易將它孤立起來，機械地、照本宣科地實施教學，不利于學生的理解和掌握。針對如何提高矩陣教學的效果，深化學生的理解，本人在多年的教學實踐基礎上，從多個視角去探索矩陣教學，取得了一定的教學效果。所謂多視角，就是指不局限于一個角度或一種方法，而是從不同的角度或方法對矩陣知識進行講解。特別是結合知識之間的相似性和相關性，通過矩陣知識和其他數學知識的相同點或者是矩陣知識和其他數學知識的關聯性，深化對矩陣知識的基本內涵、運算方法和規律的理解，起到降低矩陣知識的難度，拓寬學生的思路，加深學生的理解和記憶的作用。

一、結合代數運算與矩陣運算的相同點分析講解

運算是數學的基本概念和基礎內容，矩陣是線性代數的基本概念和基礎內容，因此，矩陣運算理論是線性代數的重要理論之一，并且也是非數學專業線性代數的重要教學內容。如何深化對矩陣運算的理解，可以結合代數運算和矩陣運算的相同點去講解。因為，矩陣的加法、減法是通過對應位置的元素來進行的，從某種角度來說，是與數的加、減一致的，因而，代數運算與矩陣運算有一定的相同點。在矩陣運算中，矩陣的逆運算，轉置運算，伴隨矩陣的運算經常聯系到代數知識，因而，可以把代數運算的一些運算規律的形式，運用到矩陣中。借助代數的運算規律，可以很好地歸納矩陣的運算規律，使得矩陣的運算規律易記，易掌握，從而加深學生對矩陣運算的理解和把握。

比如，在代數的運算中有倒數運算：11a=a。經過兩次相同運算，結果不變，還是a。矩陣運算中也有類似運算：（A-1）-1=A，（AT）T=A。即A的逆矩陣A-1，再求A-1的逆矩陣是A;A的轉置矩陣是AT，再作轉置運算就是A。

又如，數的運算中有乘方運算：（xn）m=（xm）n，從形式上看，互換m，n的位置后，值不變。在矩陣運算中也有類似運算，例如，（A-1）*=（A*）-1，互換-1，*的位置后，矩陣的值不變;（AT）*=（A*）T，（AT）-1=（A-1）T也有相同的結論。其中A*是A的伴隨矩陣，AT是A是轉置矩陣。

此外，如果自然數k與矩陣的逆，轉置，伴隨矩陣的運算結合，也有如下運算規律：

（Ak）-1=（A-1）k，（Ak）*=（A*）k，（Ak）T=（AT）k

k分別與T，-1，*互換位置后，矩陣的值不變，其中k是整數。

依據以上分析，我們就可以概括出T，-1，*，k次冪運算規律，總結如下：

（1）抵消運算：（A-1）-1=A，（AT）T=A;

（2）乘方運算：（A-1）*=（A*）-1，（AT）*=（A*）T，（AT）-1=（A-1）T;

（3）互換位置：（AB）-1=B-1A-1，（AB）T=BTAT，（AB）*=B*A*;

（4）k次冪：（Ak）-1=（A-1）k，（Ak）*=（A*）k，（Ak）T=（AT）k。

二、深化逆矩陣的求解方法

逆矩陣概念是一個重要概念，逆矩陣計算是矩陣內容的重點和難點。在教學中加強逆矩陣計算的講解，不但是計算本身所必需，也可加深對矩陣知識的理解和掌握。如何就逆矩陣作深入的講解，需要從多個角度或多種方法去分析，這樣才會有更好的效果。

逆矩陣的計算，教科書講得比較多的主要是以下三種方法，且這三種方法運用得也比較多。

一是定義法，對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使AB=BA=E，則稱A矩陣是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。對于問題中出現矩陣等式的，在證明矩陣可逆時，定義法是比較常用的一種方法。

二是公式法，即用公式求逆矩陣。

定理n階方陣A可逆的充要條件為|A|≠0，且A-1=A*|A|，其中A*是A的伴隨矩陣。

這種方法計算量較大，通常運用在理論上或求階數較低方陣的逆矩陣。

三是初等行變換法。設A是n階矩陣，構造n×2n階矩陣（A E），然后對其施以初行變換將矩陣A化為單位矩陣E，則上述初等行變換同時也將其中的單位矩陣E化為A-1，即：

（A E）初等行變換（E A-1）

除此之外，可以用綜合除法求一類抽象矩陣的逆矩陣。因為，有一類求逆矩陣問題，未給出方陣A的元素，僅給出A滿足某些條件，要求A的某個多項式f（A）是可逆矩陣，且要寫出其逆矩陣。這類問題的一般解法是將題設條件恒等變形，使之成為一個等式，等式一邊是f（A）乘以矩陣B，另一邊是E。但是，許多參考資料只是給出f（A）乘以矩陣B的結果，并未給出計算過程。而f（A）乘以矩陣B正是解這類題的關鍵。可以用綜合除法給出計算f（A）乘以矩陣B的計算過程。

例：設方陣A滿足方程A2-A-2E=0，證明：A+2E可逆，并求它的逆矩陣。

分析：要證A+2E可逆，結合已知條件，就要對A2-A-2E=O分解出A+2E。這個問題就轉化為從多項式x2-x-2中分解出因式x+2，因此可以用綜合除法進行因式分解來解決。

所以x2-x-2=（x+2）（x-3）+4。從而A2-A-2E=（A+2E）（A-3E）+4E。

解：因為A2-A-2E=（A+2E）（A-3E）+4E=O，所以（A+2E）（A-3E）=-4E。從而A+2E可逆，它的逆矩陣是（A+2E）-1=-14（A-3E）。

三、用綜合除法求矩陣的特征值

特征值的求解也是矩陣的一個重要內容。但在教學中發現，學生對求矩陣的特征值感到困難.如求矩陣-122

2-1-2

2-2-1的特征值，許多教材上只有三次多項的分解式，沒有求分解的過程便直接得出如下結果：

A-λE=-1-λ22

2-1-λ-2

2-2-1-λ=（λ-1）2（λ+5）

如果不能求出特征向量，就不能進行矩陣的對角化等各種與特征值有關的計算。因此，求出矩陣的特征值顯得非常重要。

下面介紹用綜合除法求矩陣特征值的方法。

定理 設f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an是一個整系數多項式，如果有理數uv是f（x）的一個根（其中u，v是互質的整數），那么：

（1）v整除f（x）的首項系數a0，u整除f（x）的常數項an;

（2）f（x）=x-uvq（x），其中q（x）是整系數多項式。

矩陣的特征多項式可寫成f（λ）=A-λE，其中矩陣A的元素是整數。f（λ）的首項系數是1或1。首先，根據以上定理，f（λ）=0的根一定整除常數項。如果常數項的數值不大，可以通過試根的方法求出f（λ）=0的部分根。其次，求特征值時，不僅要求出全部特征值，還要知道特征值是f（λ）=0的幾重根。但上述定理不能解決根的重數問題。當f（λ）=0有重根時，結合綜合除法，就能確定根的重數。

例：設矩陣A=122

212

221，求A的特征值。

解 矩陣A的特征方程為：

f（λ）=λE-A=λ-1-2-2

-2λ-1-2

-2-2λ-1=λ3-3λ2-9λ-5=0

f（λ）=0可能的根是±1，±5。容易驗算λ1=5，λ2=-1是特征根。此時方程可能有重根，用綜合除法，可以求出根的重數。

從而x3-3x2-9x-5=（x-5）（x2+2x+1）=（x-5）（x+1）2。λ=-1是二重根，矩陣A的特征值是λ1=5，λ2=-1，λ3=-1。

對高于3階的矩陣，它的特征多項式是一個高次方程。可以利用上述定理先求出部分實根，結合多項式綜合除法，就可以得到方程的部分實根及其重數。

四、結語

綜上所述，多視角的矩陣教學，可以解決矩陣教學中部分難以掌握的內容，在一定程度上拓寬了學生的思路，是矩陣教學中值得探索和有效的方法。以上所列舉的三個方面的矩陣教學探索，是基于知識之間的相似性和相關性進行的。但與矩陣知識相關聯的知識點并不僅僅局限于以上提到的三個方面的分析講解，還可以結合更多相關知識進一步探索實踐。另外，多視角的矩陣教學，還可以從矩陣知識的應用性角度，深化學生對矩陣知識的認識和理解。因為，矩陣一些基本概念有很強的實際應用背景，若在講授這基本概念之前，能從實際問題出發，通過歸納總結，引申出矩陣概念，能激發學生的學習興趣。同時，矩陣知識本身也還有很強的應用性。在教學過程中，可以把矩陣的計算知識和實際應用知識或應用領域結合起來講解，同樣可以增加學生對抽象的矩陣知識的認識，從而提高學習興趣和積極性。總之，教學有法，但無常法，只有不斷總結和探索，才會取得更好的教學效果。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.線性代數[M].第六版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]徐樹方.矩陣計算的理論與方法[M].北京：北京大學出版社，1992.

[3]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].第二版.北京：高等教育出版社，2000.

[4]陳佘喜.加強線性代數教學，提高學生的數學能力[J].當代教育理論與實踐，2013，5（4）：109111.

作者簡介：潘就合（1965— ），男，漢族，廣西賀州人，本科，講師，研究方向：高等數學教育、信息文化。