不規則波作用下沿岸流流速分布規律分析

王國玉，張 琪，趙銀林

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

人們對于沿岸流的研究有悠久的歷史，總結起來有以下三種研究方法：現場觀測、物理模型試驗和數值模擬。由于波浪具有瞬變性，現場觀測資金投入大且開展困難，當前最主要的研究方法為物理模型試驗和數值模擬。物理模型試驗工作主要包括Visser[1]進行的1/10、1/20兩種坡度地形的規則波沿岸流試驗；Reniers等[2]進行的高斯型沙壩規則波和不規則波沿岸流試驗；Hamilton和Ebersole[3]進行的1/30坡度地形下規則被和不規則波的沿岸流試驗；沈良朵等[4]所作的1/40、1/100兩種坡度地形的規則波和不規則波的沿岸流試驗。數學模型可分為如下兩類：一類是基于Boussinesq方程所建立的沿岸流方程，如李紹武等[5]將基于完全非線性Boussinesq方程的波浪破碎模型應用于沿岸流計算中；房克照等[6]基于高階Boussinesq水波方程，建立了波生沿岸流的時域數值模型，并分析了不同波浪入射條件對沿岸流的影響。此類模型在求解過程中需要設置造波、消波以及反射等邊界，且計算相對費時。另一類是基于輻射應力得出的近岸波生流模型，如汪求順等[7]通過SWAN模型模擬了近岸島嶼附近的波浪場，從而為沿岸流模型提供波浪條件參數；張明亮等[8]在模擬濕地海域波浪和沿岸流的運動特性時，波浪模型為潮流模型提供輻射應力、波高和周期等參數；孫濤等[9]通過求解高階近似化緩坡方程，獲得波浪場信息，通過輻射應力建立沿岸流模型。基于對模型設置和求解速度的考慮，將采用第二類數學模型分析沿岸流。雖然Longuet-Higgins[10]基于輻射應力給出流速公式，但該公式需要將波浪由深水推算至淺水。因此為了便于工程參考與應用，將給出由深水波浪要素及岸坡坡度表達的不規則波浪作用下的沿岸流流速分布規律描述。

1 模型簡介與驗證

1.1 模型簡介

MIKE 21 PMS是對橢圓型緩坡方程的拋物線近似。在求解范圍較大的波浪場時，橢圓型緩坡方程的計算工作量較大，而拋物化近似可有效地避免這一問題。一般的，橢圓型緩坡方程可以表示為：

(1)

式中：C和Cg分別為相速度和群速度；φ為平均自由面的速度勢；k為波數；W為耗散項，其數值為Ediss/E，Ediss是平均能量耗散率；ω為波浪的圓頻率。而拋物化近似的前提是假設一個主要的波浪傳播方向，如x方向，并忽略該方向上的散射和衍射以減少計算量。該模型可計算得到整個模擬區域內波高及波浪輻射應力的變化情況，而輻射應力的結果作為波生流的輸入條件，從而進行沿岸流的模擬。設置波生流的基本方程在連續性方程和動量守恒方程的基礎上進行如下假設：沿岸(y軸)方向流動均勻、穩態條件和輻射應力沿岸分布均勻。

于是x方向上的動量守恒方程可以表示為：

(2)

y方向上的動量守恒方程可以表示為：

(3)

1.2 模型驗證

數學模型的驗證基于沈良朵[4]開展的沿岸流物理模型試驗數據。試驗在55.0 m×34.0 m×1.0 m(長×寬×高)的水池中進行，試驗參數如表1所示。試驗地形坡度1/100時，水深0.18 m；岸坡坡度1/40時，水深0.45 m。岸坡模型與造波機成30°。試驗中的不規則波浪采用Jonswap譜進行模擬。

表1 試驗條件Tab. 1 Experimental conditions

由于MIKE21 PMS模塊適用于模擬大范圍區域，這里將上述物理模型按長度比尺1∶100考慮，模擬其對應的原型海岸沿岸流情況。計算區域長10 km，寬3 km。結構化網格尺度為50 m×10 m，計算域共劃分6萬個網格。波浪摩擦系數cfw取為0.002；Thornton和Guza[11]的沿岸流數值模擬表明，渦流黏度對于不規則波浪作用下的沿岸流并無顯著影響，模擬過程中渦流黏度系數取值為0.02。圖1、圖2為將數值模擬結果與物理模型試驗結果的比較。數值計算所得的波高和流速沿程分布結果與試驗數據吻合良好，并且破波點和最大流速出現的位置與試驗結果基本一致。

圖1 波高與流速分布比較(i=1/100, Hs=5.30 cm, T=1.5 s)Fig. 1 Comparison of wave height and velocity distribution (i=1/100, Hs=5.30 cm, T=1.5 s)

圖2 波高與流速分布比較(i=1/40, Hs=9.81 cm, T=1.5 s)Fig. 2 Comparison of wave height and velocity distribution (i=1/40, Hs=9.81 cm, T=1.5 s)

2 沿岸流流速分析方法

2.1 沿岸流流速無量綱化方法

為了便于工程應用，對沿岸流的數值模擬結果，采用如下的無量綱化[12]處理方法:

(4)

(5)

其中，V是無量綱流速，v是實際流速，H為有效波高，α為波浪入射角，X為無量綱距離，x為離開靜水岸線的距離，L為譜峰值周期所對應的波長。

同時，這里選取H/L、H/h、sinα三個無量綱化參數作為流速的影響參數可用來代表入射波浪條件和地形條件。

2.2 沿岸流流速剖面函數擬合方法

經上述無量綱化處理后，流速V與離岸距離X之間可建立函數關系。

V=F(X)

(6)

其中，F選取高斯分布函數，其函數圖像和函數表達式分別如圖3和式(7)所示。

圖3 Gauss分布函數Fig. 3 Gauss distribution function

(7)

沿岸流速的最大值A與深水波浪要素和地形坡度皆有關，可設：

A=F3(H/h,H/L,sinα,i)

(8)

其中，F3為待定的擬合函數，h為深水區域平底處的水深，i為地形坡度。圖4為岸坡坡度1/100時不同H/h條件下數值計算得到的無量綱沿岸流速最大值Vmax隨H/L和α的變化情況。

圖4 無量綱沿岸流速最大值Vmax (i=1/100)Fig. 4 Dimensionless maximum current velocity Vmax (i=1/100)

圖4中數據表明無量綱沿岸流速的最大值在每個波向下會存在一個峰值，以該峰值為分界點(M，N)，左右分別采用線性擬合，即可得到無量綱流速最大值A的表達式：

(9)

式中：假定K1(i)僅與坡度i有關，K2(i，H/h)、M(i，H/h)和N(i，H/h)均不隨波浪入射角度改變而變化。求解K1、K2、M、N后即可確定流速最大值A。

房克照等[5]通過對5種入射角的波浪分別進行模擬，認為沿岸流速最大值的位置與波浪入射角度無關。可設：

xc=F1(H/h,H/L,i)

(10)

其中，F1為待定的擬合函數。

圖5給出了坡度分別為1/100和1/40時無量綱沿岸流速最大值出現位置xc隨H/L，H/h變化的數值計算結果。

圖5 無量綱沿岸流速最大值位置xc統計Fig. 5 Position of dimensionless maximum current velocity xc

圖5中數據表明xc與H/h呈線性關系，可設：

xc=A1(H/L,i)+A2(H/L,i)·H/h

(11)

于是，求解A1，A2后即可確定流速最大值出現位置xc。

同樣，沿岸流流速分布范圍與波浪入射角無關，可設：

ωv=F2(H/h,H/L,i)

(12)

式中：F2為待定的擬合函數。

圖6給出了坡度分別為1/100和1/40時，采用高斯分布函數擬合從而得到流速分布曲線中分布寬度ωv的值。

圖6 沿岸流速分布寬度ωv統計Fig. 6 The value of ωv corresponding to the distribution curve of alongshore current velocity

類似的，ωv與H/h也呈線性關系，可設：

ωv=D1(H/L,i)+D2(H/L,i)·H/h

(13)

求解D1，D2后即可確定流速分布寬度ωv。

3 沿岸流流速分布函數

3.1 流速最大值A

對于流速最大值A的表達式，即式(9)，可采用Levenberg-Marquardt算法對數據點擬合得到以上4個待定函數的表達式：

(14)

K2=-15+500i-13 000i2+75 000i3+(23-200i)H/h

(15)

M=0.1H/h-0.03e-30i+0.02

(16)

(17)

無量綱化流速最大值A的擬合曲線與數值模擬結果的對比見圖7。圖中顯示了在波浪入射角為10°時，不同岸坡坡度和不同H/h條件下沿岸流流速的最大值隨著H/L的變化關系。隨著坡度增加，無量綱沿岸流流速的最大值由0.65增大至3.00。

圖7 流速最大值A的擬合曲線與數值模擬的數據點對比Fig. 7 Comparison between the fitting curve of the maximum velocity A and the data point of numerical simulation

3.2 最大流速出現位置xc

對于最大流速出現位置xc的表達式，即式(11)，可采用類似的算法分別對參數A1，A2與H/L進行二次函數擬合，設：

A1=B1(i)+B2(i)·H/L+B3(i)·(H/L)2

(18)

A2=C1(i)+C2(i)·H/L+C3(i)·(H/L)2

(19)

Bn和Cn(n=1,2,3)與坡度i進行擬合后可得到6個關于坡度i的函數：

(20)

(21)

圖8給出了應用擬合公式計算出的xc與數值模擬數據對比。

圖8 流速最大值出現位置xc的擬合結果與數值模擬對比Fig. 8 Comparison of xc between fitting formula and numerical simulation

3.3 流速分布寬度ωv

同樣，對于流速分布寬度ωv的表達式，即式(13)，將D1，D2與H/L進行二次函數擬合，可設：

D1=E1(i)+E2(i)·H/L+E3(i)·(H/L)2

(22)

D2=F1(i)+F2(i)·H/L+F3(i)·(H/L)2

(23)

En和Fn(n=1,2,3)與坡度i進行擬合可得到6個關于坡度i的函數：

(24)

(25)

圖9給出的擬合計算得出的流速分布寬度ωv與數值模擬結果的對比表明，上述擬合公式可以近似表達出不同波浪入射條件和地形坡度下ωv的變化規律。

圖9 流速分布寬度擬合結果與數值模擬對比Fig. 9 Comparison of ωv between fitting formula and numerical simulation

4 無量綱化沿岸流流速分布函數應用

4.1 流速分布函數驗證

對應表1中另外4種波況，應用上述擬合公式可計算出沿岸流速分布公式的相應參數，進一步確定沿岸流的分布函數。圖10為公式計算、數值模擬及物理模型試驗得到的沿岸流速分布對比。圖中數據表明擬合所得的沿岸流流速分布規律與物理模型實測數據較為吻合。

圖10 擬合結果、數值模擬和模型試驗的沿岸流流速分布對比Fig. 10 Comparison of current velocity distribution between formula calculation, numerical simulation and experiment

4.2 流速分布規律分析

上述分析表明無量綱沿岸流速分布與相對波高H/h、波陡H/L、岸坡坡度i以及入射波浪角度α相關。圖11給出了不同相對波高H/h、波陡H/L、岸坡坡度i以及入射波浪角度α等參數條件下沿岸流流速分布規律的比較。

圖11 無量綱流速分布規律對比Fig. 11 Comparison of dimensionless velocity distribution along with x/L

無量綱沿岸流流速的最大值受入射波浪的相對波高、岸坡坡度以及波浪入射角度影響顯著，而受入射波浪波陡的影響相對較小。隨著相對波高和岸坡坡度的增加，沿岸流流速最大值明顯增大；而隨著波浪入射角度的增大，無量綱化沿岸流流速最大值逐步減小。

無量綱沿岸流流速最大值的出現位置與入射波浪的相對波高、波陡以及岸坡坡度密切相關，但幾乎不受波浪入射角度的影響。隨著相對波高和岸坡坡度的增大，沿岸流流速最大值的出現位置逐步向靜水岸線方向移動，而隨著波陡的增大，逐步遠離岸線。

流速分布寬度受入射波浪的相對波高、波陡以及岸坡坡度的影響顯著，但不受波浪入射角度的影響。隨著相對波高和岸坡坡度的增大，沿岸流的分布寬度明顯變窄，沿岸流表現為向岸線方向集中；而隨著波陡的增大，分布寬度逐步變廣，即沿岸流的影響范圍向著離開岸線的方向拓展。

5 結 語

對不同坡度地形下的波生沿岸流進行了數值模擬，并采用高斯分布函數對無量綱化的沿岸流流速剖面分布進行擬合，獲得了無量綱沿岸流速最大值A與其出現位置xc以及流速剖面分布寬度ωv隨著入射波浪條件和地形坡度的變化關系。

1)無量綱沿岸流的流速最大值與入射波浪條件和岸坡坡度密切相關。流速的最大值隨著相對波高和岸坡坡度的增加顯著增大，但隨著波浪入射角度的增大而逐步減小。

2)沿岸流流速最大值所出現的位置與波浪的入射角度無關，但受入射波浪的相對波高、波陡和岸坡坡度的影響較大。相對波高和岸坡坡度變大，沿岸流流速的最大值所出現的位置均向著靠近岸線的方向移動。

3)沿岸流流速分布的剖面寬度與波浪的入射角度無關，在岸坡地形較陡時，沿岸流流速剖面分布較窄，且相對波高的增加會使得沿岸流的分布向岸線方向集中。