沉箱基礎對搖板式波浪能裝置水動力性能影響研究

汪俊有，李愛軍，劉 勇

(中國海洋大學 山東省海洋工程重點實驗室，山東 青島 266100)

近年來，海洋波浪能的開發與應用已經成為很多沿海國家的重要課題。目前已有大量形式的波浪能發電裝置被開發出來。其中，底部鉸接浮力擺式波浪能裝置因具有頻率響應范圍寬、可靠性好、常規海況下轉換效率高、建造成本低等優點而引起廣泛關注。

Evans[1-2]采用理論解析方法分析了各種振蕩式波浪能轉換裝置的能量俘獲效率。Evans和Porter[3]分析了無基礎底座的搖板式波浪能轉換裝置的水動力性能，考慮了懸掛式搖板和底鉸式搖板兩種裝置。但是隨后對于搖板式波浪能轉換裝置的研究較少，直至2000年以后，搖板式波浪能裝置技術才不斷得到重視。Caska和Finnigan[4]研究了底鉸圓柱型浮力擺式波浪能轉換裝置的能量俘獲效率。Flocard和Finnigan[5]采用物理模型試驗方法進一步研究了圓柱型底鉸搖擺式波浪能轉換裝置的水動力性能，驗證了Caska和Finnigan[4]的理論解。趙海濤等[6]通過建立頻域解析解研究了鉸接于海床的搖板式波浪能裝置的能量俘獲效率。后來，趙海濤等[7]又從時域角度出發，進一步研究了搖板式波浪能裝置的水動力性能。Renzi和Dias[8]基于勢流理論建立了波浪與帶有垂直薄板基礎的浮力擺式波浪能裝置相互作用的半解析解，分析了不同參數對裝置能量俘獲效率的影響。Gomes等[9]通過數值模擬方法研究了規則波與不規則波作用下三維底鉸矩形薄板式波浪能轉換裝置的能量俘獲效率。Noad和Porter[10]采用多項Galerkin方法建立了波浪與帶有垂直薄板基礎的三維搖板波浪能轉換裝置相互作用的解析解，并分析了裝置的水動力特性。

工程應用中，可以考慮將搖板式波浪能裝置鉸接在沉箱基礎上，便于工程施工，并有可能提高裝置的能量俘獲效率。帶有沉箱基礎的搖板式波浪能裝置已經被應用于青島市大管島海域，Xu等[11]針對該波能裝置的沉箱基礎穩定性問題開展了物理模型試驗研究，對比分析了矩形和圓柱型兩種不同沉箱基礎的受力特性。為研究帶矩形沉箱基礎的搖板式波浪能裝置的水動力性能，將建立解析解，重點探討沉箱基礎對裝置能量俘獲效率的影響。研究結果可為實際工程設計提供科學指導。

1 數學模型

1.1 邊值問題

圖1為帶有矩形沉箱基礎的搖板式波浪能裝置簡化示意。沉箱基礎的高度和寬度分別為a和2b，沉箱上表面與靜水面的距離為d=h-a。矩形截面搖板鉸接于沉箱基礎的上表面，密度為ρ0(低于海水密度ρ=1 023 kg/m3)、厚度為2δ，搖板鉸接中心處與沉箱基礎左邊緣的距離為l。建立直角坐標系xoz，使得x軸與靜水面重合，方向水平向右為正，z軸與沉箱中垂線重合，方向豎直向上為正。搖板的轉動中心坐標為(x0，z0)=(l-b，-d)。搖板密度小于海水密度，因此在沒有波浪作用時，搖板處于豎直狀態。忽略搖板在靜水面以上部分的質量，則靜止狀態下搖板的重心與浮心坐標相同，為(xc，zc)=(xb，zb)=(l-b，-d/2)。

圖1 帶有矩形沉箱基礎的搖板式波浪能裝置簡化示意Fig. 1 Sketch of flap wave energy device with a rectangular caisson foundation

假定流體無黏且不可壓縮、流體運動無旋，可以用速度勢Φ(x，z，t)描述整個流體運動。在振幅為A、圓頻率為ω的線性波作用下，速度勢可以表示為:

Φ(x，z，t)=Re[φ(x，z)e-iωt]

(1)

(2)

(3)

為了研究問題方便，將整個流域分割為4個區域：區域1(-h≤z≤0，x≤-b)、區域2(-d≤z≤0，-b≤x≤l-b-δ)、區域3(-d≤z≤0，l-b+δ≤x≤b)和區域4(-h≤z≤0，x≥b)。速度勢滿足以下邊界條件：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，下標j表示區域j；k0是以下色散方程的正實根。

ω2/g=k0tanh(k0h)

(9)

在相鄰區域的公共邊界和搖板表面，速度勢還滿足以下邊界條件：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

基于以上控制方程和邊界條件，可以求解得到散射勢和輻射勢，并計算得到搖板所受的激振力矩和輻射力矩：

(20)

(21)

當搖板做單位幅值擺動時，附加質量μ和輻射阻尼ν可由下式計算：

(22)

1.2 能量俘獲效率

搖板在波浪作用下的運動方程為：

[-ω2(M+μ)-iω(B+ν)+C]θ=FS

(23)

其中，B為波浪能裝置PTO(Power Take-off)系統的機械阻尼；M為轉動慣量;C為恢復力矩。M與C分別表示為：

(24)

(25)

波浪能裝置的轉換能量：

(26)

波浪能裝置的能量俘獲效率：

(27)

其中，PW表示一個周期內沿波浪傳播方向通過單位寬度垂面的波浪能量；Cg是波群速度，表示為：

(28)

(29)

將式(29)代入式(26)得到最大轉換能量為：

(30)

2 速度勢求解

2.1 繞射問題

當搖板固定時，波浪繞射問題等同于入射波在直墻前臺階地形的散射問題，此時流域3和4的速度勢均為0，只需要在流域1和2中求解。

通過分離變量方法[13]，滿足控制方程(3)和邊界條件(4)～(7)的散射勢可表示成：

(31)

(32)

ω2/g=-kntan(knh)，n=1，2，……

(33)

ω2/g=λ0tanh(λ0d)=-λntan(λnd)，n=1，2，……

(34)

垂向特征函數Zn(z)和Yn(z)為：

(35)

(36)

將速度勢表達式(31)和(32)代入式(10)，再在兩邊同時乘以垂向特征函數Ym(z)，并沿水深對z積分后，可得：

(37)

類似地，將速度勢表達式(31)和(32)分別代入式(11)、(12)和式(16)，然后利用特征函數Zm(z)和Ym(z)的正交性，可得：

(38)

(39)

截斷n和m到M項，聯立線性方程組(37)～(39)，利用高斯消去法可求解出待定系數Rn、An和Bn。將散射勢(32)代入式(20)可求得搖板所受的波浪激振力矩：

(40)

(41)

無量綱波浪激振力矩定義為：

(42)

2.2 輻射問題

滿足控制方程(3)和邊界條件(4)～(8)的輻射勢可表示成：

(43)

(44)

(45)

(46)

將速度勢式(43)和(44)代入式(10)、(11)、(12)和(18)，利用垂向特征函數的正交性，可得如下線性方程組：

(47)

(48)

(49)

類似地，將速度勢式(45)和(46)代入式(13)、(14)、(15)和(19)，利用垂向特征函數的正交性，可得線性方程組：

(50)

(51)

(52)

截斷n和m到M項，聯立求解方程組(47)～(49)可求得搖板左側子域內的輻射勢，聯立求解方程組(50)～(52)可求得搖板右側子域內的輻射勢。將輻射勢(44)和(45)代入式(21)和(22)，可得到搖板所受的輻射力矩、單位幅值擺動而產生的附加質量和輻射阻尼：

(53)

(54)

無量綱附加質量μ0和無量綱輻射阻尼ν0定義為：

(55)

3 結果與討論

1.2節已經指出當PTO系統機械阻尼B滿足公式(29)時，波浪能裝置具有最佳俘獲效率。因此在算例中如果沒有特殊注明，PTO系統的機械阻尼均利用公式(29)計算。

3.1 模型驗證

為了檢驗級數解的收斂性，表1給出搖板的無量綱波浪激振力矩、無量綱附加質量μ0和無量綱輻射阻尼ν0隨截斷數M的變化情況，計算條件為：d/h=0.3、2b/h=1.0、2δ/h=0.1和l/h=0.75。從表中可以看出，計算結果隨截斷數的增大而逐漸收斂，當M=80時的計算結果可以滿足工程分析需求，因此在計算中，取截斷數為M=80。

表1 搖板的水動力參數隨截斷數M的變化Tab. 1 Variations of the hydrodynamic quantities of the flap with the truncated number M

當沉箱基礎的高度為零時(a=0)，搖板直接鉸接于海床。趙海濤等[6]研究了鉸接于水平海床上的搖板式波浪能裝置的能量俘獲效率。圖2給出了搖板輻射阻尼ν的解析解計算結果與趙海濤等[6]理論解計算結果對比，圖中計算條件為：h=10 m和2δ=2 m。如圖2所示，文中解析與趙海濤等[6]理論解的計算結果一致。

圖2 文中解析解與趙海濤等[6]理論解計算結果的對比(h=10 m和2δ=2 m)Fig. 2 Comparison between the present analytical results and the results of Zhao et al.[6](h=10 m, 2δ=2 m)

除了解析解外，還利用了邊界元數值方法[14]求解了當前的波浪繞射和輻射問題。圖3給出了解析方法計算的無量綱波浪力矩CFS、附加質量μ0和輻射阻尼ν0和邊界元方法計算結果的對比，計算條件為：2b/h=1.0、d/h=0.5、2δ/h=0.1和l/h=0.25。從圖3可見，兩種不同方法的計算結果一致。注意到，作用在搖板的無量綱波浪力矩以及無量綱附加質量和輻射阻尼均隨著波浪/振蕩頻率的增加而降低，其中輻射阻尼的變化尤為顯著。

圖3 文中解析解與邊界元數值解的對比(2b/h=1.0、d/h=0.5、2δ/h=0.1和l/h=0.25)Fig. 3 Comparison between the present analytical results and the numerical results of the boundary element method solution(2b/h=1.0, d/h=0.5, 2δ/h=0.1, l/h=0.25)

圖2和圖3中的對比結果表明文中解析解的求解過程是正確的。

3.2 結果分析

圖4給出不同沉箱基礎高度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數k0h的變化。沉箱基礎高度分別為：a/h=0.0、0.3、0.5和0.7。其它計算條件為：2b/h=1.0、2δ/h=0.1、ρ0=400 kg/m3和l/h=0.75。a/h=0.0表示搖板鉸接于海床。從圖4可以看出，沉箱基礎高度對能量俘獲效率有著顯著影響，具體表現為：俘獲效率的峰值隨著沉箱基礎高度增加而增大；對于波浪頻率滿足0.5

圖4 沉箱基礎高度對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 4 Effect of the caisson height on the capture efficiency of the wave energy device

圖5給出不同搖板到沉箱基礎左邊緣距離下波浪能裝置的俘獲效率隨波數k0h的變化。搖板到沉箱基礎左邊緣的距離分別為：l/h=0.25、0.50、0.75和0.90。其它計算條件為：2b/h=1.0、a/h=0.7、2δ/h=0.1和ρ0=400 kg/m3。從圖5可以看出，當0.54.0時(更短波浪)，搖板位置的變化對裝置性能無明顯影響。以上分析表明，搖板安裝位置是影響裝置性能的重要參數，需要根據實際海況進行選取。對于長波海域，搖板安裝在沉箱背浪側上表面更為合理；而對于短波海域，搖板鉸接于沉箱迎浪側上表面時，裝置性能更佳。

圖5 搖板到沉箱基礎左邊緣距離對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 5 Effect of the spacing between the flap and the caisson’s left side on the capture efficiency of the wave energy device

圖6給出了不同沉箱基礎寬度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數k0h的變化。沉箱基礎寬度分別為：2b/h=0.5、1.0、1.5和2.0。其它計算條件為：a/h=0.7、2δ/h=0.1、ρ0=400 kg/m3和l/(2b)=0.75。從圖6可以看出，裝置的能量俘獲效率隨著波浪頻率增大呈現振蕩變化，并且沉箱基礎寬度越大振蕩現象越明顯。增加沉箱基礎寬度雖然能有效地增大裝置能量俘獲效率的峰值，但是也會明顯縮小裝置俘獲效率高于50%所對應的波浪頻率范圍。實際工程中，建議沉箱基礎寬度2b/h的取值在0.5到1.0之間較為合理。此外，采用更寬的沉箱基礎需要更高的工程成本，顯然是不明智的。

圖7給出了不同搖板厚度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數k0h的變化。搖板厚度分別為：2δ/h=0.05、0.10、0.15和0.20。其它計算條件為：2b/h=1.0、a/h=0.7、ρ0=400 kg/m3和l/h=0.75。從圖7可以看出，當k0h≤0.6時，增加搖板厚度會降低波能裝置性能；而當0.6

圖7 搖板厚度對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 7 Effect of the flap thickness on the capture efficiency of the wave energy device

圖8給出了不同搖板密度下波浪能裝置的俘獲效率隨波數k0h的變化。搖板密度分別為：ρ0=200、400、600和800 kg/m3。其它計算條件為：2b/h=1.0、a/h=0.7、2δ/h=0.1和l/h=0.75。從圖8可以看出，搖板密度對裝置性能有著顯著影響。當k0h<0.75時，選取更大密度的搖板有利于提升裝置的能量俘獲效率。搖板密度不影響俘獲效率峰值所對應的波浪頻率，俘獲效率均在k0h≈0.8時達到峰值。當k0h>1.0時，可以忽略搖板密度對波能裝置性能的影響。實際工程中，建議選取密度較大的搖板。

圖8 搖板密度對波浪能裝置俘獲效率的影響Fig. 8 Effect of the flap density on the capture efficiency of the wave energy device

需要說明的是，上述分析結果均是基于勢流理論，沒有考慮水體黏性所產生的能量耗散。然而，實際情況中，當沉箱基礎的高度較大時，沉箱迎浪側和背浪側的直角附近可能會存在較明顯的流動分離，板的搖擺運動也可能會導致水體運動產生旋渦，引起一部分的能量耗散，從而裝置的實際能量俘獲效率可能會低于解析解的計算結果。

4 結 語

基于勢流理論建立波浪與帶有矩形沉箱基礎的搖板式波浪能裝置相互作用的解析解。通過計算結果與文獻中已有結果和邊界元數值結果的對比驗證了解析解的正確性。分析了波浪入射頻率、沉箱基礎高度、沉箱基礎寬度、搖板位置、搖板厚度和搖板密度對裝置能量俘獲效率的影響，研究結果表明：

1) 具有沉箱基礎的搖板式波浪能裝置，能夠在較寬頻率范圍內具備較高的俘獲效率，說明該裝置具有可靠性好、轉換效率高的優點。

2) 當0.5

3) 當0.5

4) 適當地增加沉箱基礎寬度能夠有效增大裝置能量俘獲效率的峰值，但也會縮小裝置高俘獲效率所對應的波浪頻率范圍；建議沉箱基礎寬度為0.5到1.0倍水深。

5) 適當減小搖板厚度和增加搖板密度能夠提升裝置的能量俘獲效率。