基于模糊關系與模糊推理的教師年終考核

孫梅霞，王吉華，郭棟，曲金玉

(1. 山東理工大學 學報(自然科學版)編輯部, 山東 淄博 255049；2. 山東理工大學 交通與車輛工程學院, 山東 淄博 255049)

教師考核是學校一項重要工作，涉及因素較多，且評價指標和評價結果均具有模糊性，為使考核科學合理，近年來學者采用模糊綜合評價方法，獲得了很多應用成果。一級模糊綜合評價是確定評價因素權重模糊子集和單因素模糊判斷矩陣，并將兩者合成，得到評價結果模糊集；而多級模糊綜合評價分不同層次，從低層次到高層次按一級評價的方法依次進行綜合評價[1-3]。為適應復雜多因素的考核，學者先利用層次分析法得到多因素權重模糊集,然后利用模糊綜合評價方法進行評價[4-8]。另外，在多因素綜合評價中，林偉[9]利用遺傳算法得到多因素權重，尤游等[10]利用計算信息熵權重的熵權法計算多因素權重。綜上所述，在各種綜合評價中可使用多種方法得到相應層的因素權重模糊集，再進行專家或者評價者打分或評等級方法得到模糊判斷矩陣，然后兩者合成進行綜合評價。但在計算因素權重模糊集和模糊判斷矩陣時，若都利用專家組或評價組進行，特別是多級評價時各級均需重復同樣步驟，將很大程度增加工作量和延長評價時間；并且文獻評價的方法均是從綜合評價過程和步驟進行闡述，并沒有詳細分析其原理。因此，本文首先從模糊關系及其合成角度分析模糊綜合評價原理，然后基于模糊推理進行討論，最后通過某高校年終考核實例，提出計算模糊判斷矩陣的簡便且實用的方法。

1 模糊關系及其合成

1.1 模糊關系定義

定義1 論域U和V的笛卡爾乘積U×V上的模糊子集R稱為U到V的模糊關系，記為R(u,v)：

(1)

由模糊集合定義可知，模糊子集R表示了U×V的每個元素對(u,v)到區間[0,1]的一個確定數值的映射關系，這個數值就是u和v的關系程度。

若U和V均為有限集，則R可表示成矩陣形式。設U={u1,u2，…，un}和V={v1,v2，…，vm}，則R=(rij)n×m，rij∈[0,1]，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。為方便說明，將U和V的元素u和v分別標在矩陣旁邊對應的行和列處，即為

(2)

從式(2)可以看出，R的每一行元素分別表示論域U中某個ui對論域V中各個vj的關系程度，為模糊向量，稱為模糊關系R在ui處的截影，記為R|ui。根據模糊集合定義，每一行截影R|ui均為論域V上的一個模糊集合，則模糊關系R又可定義為論域U到V上模糊冪集F(V)的映射f的象集合，即

(3)

式中：u∈U；f(u)∈F((V)，則R=f(U)。

在模糊綜合評價中，論域U為因素集，論域V為評價集，每一行截影R|ui為單因素ui在評價集V上的模糊集，通過求出各個因素對V中各評價等級的隸屬度即可得到模糊判斷矩陣。

1.2 模糊關系合成

定義2 設論域U、V和W上的模糊冪集分別為F(U)、F((V)和F((W)，模糊關系R∈F((U×V)、S∈F((V×W)、T∈F((U×W)，則稱T為模糊關系R和S的合成，記為T=R°S，T仍為一模糊關系，根據模糊關系定義，T為模糊集合，則其隸屬度函數μT(u,w)為

(4)

式中∨、∧分別表示取大和取小運算。

定義3對于論域U到V的模糊關系R(u,v)，U中的元素u稱為關系R的主，U稱為關系R的主集；V中的元素v稱為關系R對應于u的從，V稱為關系R的從集。u為關系R的發起者，v為關系R對應于u的接受者。

據定義3，關系R、S和T分別是其主ui∈U、vj∈V和ui∈U到其從vj∈V、wk∈W和wk∈W的模糊隸屬度構成的集合，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;k=1,2,…,l。

T=R°S=

(5)

在模糊關系合成過程中，關系合成路徑如圖1所示，由式(4)可知，主從對的隸屬度μT(ui,wk)是通過關系R的主ui對R的所有各從v1～vm的關系隸屬度與關系S的對應各主v1～vm對S從wk的關系隸屬度一一作比較后分別取小，然后再在m個取小值中取最大值而得到。 圖1中粗線是主從對(u1,w1)關系合成路徑從而得到其隸屬度μT(u1,w1)。

圖1 模糊關系合成路徑

V既是關系R的從集又是關系S的主集，是關系合成的中間通道和橋梁，對關系的合成起承接作用，模糊關系合成就是通過中間通道V在ui和wk之間先串聯后并聯的結果。串聯通道ui→vj→wk的容量由ui→vj和vj→wk二者關系隸屬度的最小值確定而取小。ui→wk的串聯通道數由V決定，共有m個，m個ui→vj→wk(j=1,2,…,m)串聯通道作并聯，主從對(ui,wk)的關系隸屬度μT(ui,wk)由m個關系隸屬度最大值確定而取大。所以式(4)也可為

(6)

在模糊關系合成應用于模糊綜合評價時，U為某評價，V為評價因素集，W為評價集；R∈F((U×V)為該評價到各因素權重模糊集，是模糊關系；S∈F((V×W)為因素集到評價集模糊關系，是模糊集；T=R°S∈F((U×W)，是該評價項目到評價集的模糊關系，得到評價等級結果，仍為模糊集。

2 模糊推理

數理邏輯用數學形式符號的方法研究推理前提和結論之間的關系。可判斷真假的陳述句為命題，推理是由已知命題(前提)得到新命題(結論)的思維過程。在各種實際評價中，常使用的是肯定前提的假言推理規則，形式如下：

(7)

在二值邏輯中，式(7)中變量x和y的真域為普通集合，其取值A和B均為確定值。在自然語言中，語言變量x和y的真域均為模糊集合，而且前提1和結論中的A和B與前提2中的A和B是不同的模糊集合，分別記為A′和B′，則式(7)轉換為：

(8)

在式(8)中的命題邏輯推理中，前提2為模糊蘊含，是模糊關系，記為R，則R=A→B。根據模糊關系、模糊向量和模糊截影的定義及其關系可知，模糊集合即為其代表的語言變量的取值到其論域上的模糊關系，則式(8)的A、B、A′和B′均可視為模糊關系，其推理過程為模糊關系合成，即

B′=A′○R=A′○(A→B)。

(9)

經過式(9)的合成，結論中關系B′的主和從分別是關系A′和模糊蘊含關系R的主和從，最后得到的結果B′仍為模糊集合。

在模糊綜合評價中，前提1中A′表示某種評價到各評價因素的權重模糊集。前提2是模糊蘊含的模糊關系R=A→B，整體關系同于一般的模糊推理。結論是某評價的評價等級結果為B′。但與一般的模糊推理有兩點區別：

1)模糊蘊含關系區別。一般模糊推理中，模糊蘊含關系是對整體而言的，在一個推理系統中是固定不變的；但模糊綜合評價中整體關系傳遞是相同的，但在某一次評價中前半部A是已知固定的，而后半部分B是變化的，因此模糊蘊含關系退化為局部的B，即從A的主到B的從的關系退化為從B的主到B的從的關系。

2)推理的輸入區別。一般模糊推理的輸入是前提1的A′，是變化的；而模糊綜合評價的前提1在某一次評價中是A，已知且固定，其輸入是前提2的模糊蘊含關系后半部分B，且對于不同評價對象，例如不同教師，是變化的。

3 教師年終考核實例

本文將模糊關系、模糊合成和模糊推理應用于教師年終考核。某高校人事部門制定了教師年度考核指標，由各學院對本學院教師實施考核。各學院依據學校考核指標和辦法制定具體得分標準和辦法，作為年終等級考核依據。由于各項指標和得分標準人為制定，評價結果是模糊概念，各種指標標準也不一致，考核采用模糊集合評價方法比較合適。

以5位教師x1～x5考核為例，依次為教授、副教授、副教授、講師和助教，評價指標確定為教學、科研、指導學生大賽和參與學科建設情況，其各項評價指標實際得分和年度應完成目標任務分值見表1。

表1 教師任務完成分值

由于職稱不同，其目標任務分值不同，為了消除職稱對考核等級的影響，取各項指標年度實際得分與目標任務分值的比值進行考察，同時規定比值大于1的按1計算，結果見表2。

表2 教師任務完成的相對比值

式(9)中A′是根據學院的人員組成和發展情況綜合考慮而確定的各指標權重模糊集，即A′=[0.5，0.3 ，0.1， 0.1]。

評價等級分為優秀、良好、合格和不合格，5位教師的模糊蘊含關系A′由表2中的任務完成相對比值根據評價等級的隸屬度函數確定，隸屬度值稱為相對隸屬度，隸屬度函數如圖2所示。

圖2 評價等級的隸屬度函數

4 結束語

本文從模糊關系、模糊關系合成和模糊推理角度分析模糊綜合評價原理和思路，定義模糊關系的主和從，有利于問題討論；分析一般模糊推理和模糊綜合評判推理關于模糊蘊含關系和輸入的區別；最后對不同職稱的教師進行實例評價。模糊綜合評價情況復雜，從不同角度分析其原理，有利于考慮各種情況并靈活應用，這是本文今后的工作。