Lyapunov 函數與SIR模型在復雜網絡上的分析

劉霞，王健，王軍禮，王虎

(1.山東理工大學 數學與統計學院, 山東 淄博 255049；2.北京大學 能源經濟與可持續發展研究中心，北京100871；3.國務院發展研究中心 公共管理與人力資源研究所，北京 100010；4.北京大學 北京大學深圳研究生院，深圳 518055)

圍繞傳染病模型狀態穩定性分析的研究[1-4],在預測疾病的發展趨勢和控制疾病的傳播速度等方面都起到了很大的作用，這類研究都是通過分析相應的常微分方程得到一個再生數R0[1,4],根據該參數分析疾病是否能消除?？紤]到現實網絡表現出的小世界效應[5]和無標度SF特性[6]，Barabási等[7]在SF網絡的開創性工作激發了復雜網絡中傳播動力學的廣泛研究，Pastor等[8]研究了傳染病模型SIS在SF網絡和有界SF網絡上的動力學行為。

1 網絡拓撲結構對傳播行為的影響

1.1 SIR 模型在SW網絡上的傳播

圖1 SW網絡上SIR模型的轉移

SW網絡度分布的一個顯著特點是每個節點可以近似具有相同的度，即f(k)～〈k〉，那么該模型中由S和I構成的微分方程為

(1)

本文利用Lyapunov函數直接法分析平衡點的全局漸進穩定性。

定理1 當R0>1時，系統(1)的傳染病平衡點E*是全局漸進穩定的。

證明由于E*是系統(1)的平衡點，所以

A=pbI*+β〈k〉S*I*+dS*,

(d+δ)I*=β〈k〉S*I*+pbI*。

對系統(1)，V(S,I)沿S,I的全導數為

對一切S(t),I(t)≥0,則

其中“=”成立當且僅當S(t)=S*，根據漸進穩定性定理[11],E*是全局漸進穩定的。

定理2 當R0≤1時，系統 (1) 的DFE即E0是全局漸進穩定的。

證明定義另一個Lyapunov 函數，

對系統(1)，U(S,I) 沿S,I的全導數為

從R0的表達式可知網絡的特征值〈k〉可以增大R0的值，進而加快疾病的傳播。

1.2 SIR模型在SF 網絡上的傳播

圖2 SF網絡上SIR模型的轉移

利用平均場理論給出Sk(t)、Ik(t)、Nk(t)在SF網絡上的常微分方程組

(2)

顯然θ=0是方程(3)的一個根。

2 數值模擬

針對不同的R0對SIR模型在SW網絡上的動態行為進行仿真。令A=10 個,p=0.1,b=0.06，β=0.005,d=0.008,δ=0.1, 〈k〉=5，此時R0=17.96>1,并且I*=52.46 個,選取三組初始值分析I(t)的穩定性，如圖3所示。從圖3可以看出在不同的初值下,曲線都穩定到52.46。更改參數令A=5 個,d=0.3,δ=0.5,得到R0=0.52<1,仍然用相同的三組初值來模擬，如圖3所示。從圖3可以看出，不管如何選取初始值,都趨于0，即穩定到DFE。

(a)R0>1

其次,在SF網絡上對SIR模型進行數據仿真, 令k∈[1,30],A=500 個,p=0.1,b=0.1，β=0.7,d=0.1,δ=0.2,此時R1=7.66,本文給定三組系統的初始值,I(t)的變化趨勢如圖4所示。 從圖4可以看出，不管初始值如何選取，最終總的I類人口數都穩定于一個非零值1 496，即疾病不能消除, 從而發展成傳染態；更改參數令p=0.5,b=0.06，β=0.1,d=0.03,δ=0.7，此時得到R1=0.453，由圖4可知,I類人口都趨于零，穩定到DFE, 從仿真結果可以看出相應的平衡點都是穩定的。

(a)R1>1

3 結論

針對文獻[9]的假設條件,本文更改了傳播機制,并將人口總數N推廣為關于t的函數,考慮到模型所處的網絡拓撲結構,在兩個經典的復雜網絡上分別研究了SIR模型。利用Lyapunov函數研究了SIR模型在SW網絡上平衡點的全局穩定性, 即當R0>1時平衡點E*是全局穩定點，相反, 當R0≤1時, DFE是全局穩定點；從R0的表達式可以看出, 小世界效應會加快疾病的動態過程。在SF網絡上分析SIR模型時,本文分析了模型平衡點的存在條件,得出了相應的基本再生數R1；針對SF網絡特性在構造的微分方程組中的函數θ(t)包含Ik(t)、Nk(t),需要對整個系統進行k組方程的分析才能得出全局穩定性條件,這有待于后續研究。