機械載荷作用下梯度多孔材料圓板非線性力學行為的研究

孫昊棟馬連生王婭娟陳思陽

（1.河西學院，張掖 734000；2.蘭州理工大學，蘭州 730050）

梯度多孔材料因其在厚度方向上孔隙率的變化，致使其材料性能也沿厚度方向連續變化。這種材料性質使得梯度多孔材料結構具有許多優異的力學性能。Magnucka-Blandzi[1]研究了邊緣簡支的圓形多孔板在徑向均布壓縮和均布載荷（壓力）作用下的力學特性。Jabbari等[2]研究了壓電層對板屈曲載荷、壓電層-多孔板厚度比以及孔隙率變化的影響，并基于Sanders非線性應變-位移關系，將計算結果與均勻的、非線性、對稱分布的圓形板進行了比較。Khorshidvand[4]研究了均勻徑向載荷作用下多孔材料圓板的屈曲力學行為，并分析了多孔板厚度比、孔隙率等對結果的影響。Feyzi和Khorshidvand[5]研究了多孔材料性質對多孔圓板過屈曲行為的影響。Mojahedin等[6]基于經典版理論，研究了多孔材料固體圓板的熱穩定性和力學穩定性。基于高階剪切變形板理論，文獻[7]研究了多孔材料固體圓板在徑向載荷作用下的屈曲問題。孫昊棟[8]研究了梯度多孔材料性質、邊界條件以及載荷等因素對結構單元力學性能的影響。

1 基本方程

假設圓柱坐標系(r,φ,z)的原點在圓板的圓心，rφ平面置于圓板未變形時的幾何中面，z軸垂直于圓板的幾何中面。梯度多孔材料圓板半徑為b，厚度為h。圓板承受均布徑向載荷p和橫向面內載荷q。

設梯度多孔材料的孔隙率沿厚度方向按以下兩種模型的方程變化[9]。

根據Zhang和Zhou[10]引入的物理中面概念，梯度多孔材料圓板的物理中面為：

運用能量法推導出梯度多孔材料圓板的控制方程以及邊界條件，并退化到經典板理論下的控制方程及邊界條件，用打靶法求解無量剛控制方程，得到了徑向載荷與面內橫向載荷共同作用時圓板非線性力學行為的數值解。

無量綱控制方程及邊界條件為：

2 數值結果與分析

圖1給出了對稱材料模型下圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時，中心撓度隨橫向載荷變化的曲線。圖1中實線表示e0=0（各向同性材料）時的彎曲路徑，虛線表示e0=0.5時的結果。可以得出，當徑向載荷為定值時，圓板中心撓度隨橫向載荷的增大而增大。孔隙率越大，中心撓度增長越快，與曲線的變化趨勢一致。此外，邊界條件對結果也有顯著影響。

圖1 圓板中心撓度隨橫向載荷的變化曲線（對稱材料模型）

圖2給出了非對稱材料模型下，圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時中心撓度隨橫向載荷變化曲線。可以看出，非對稱材料模型下，圓板的穩定性更低。它的變化趨勢與對稱材料模型下的結果是相同的。

圖2 圓板中心撓度隨橫向載荷的變化曲線（非對稱材料模型）

圖3給出了對稱材料模型下，圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時中心撓度隨徑向載荷變化的曲線。同樣的，圖3中實線表示e0=0（各向同性材料）時的結果，虛線表示e0=0.5時的結果。從圖3可以看出：當橫向載荷為零時，圓板發生過屈曲變形；橫向載荷不為零時，圓板發生彎曲變形；在徑向載荷作用之始，圓板已經發生彎曲變形。

圖3 圓板中心撓度隨縱向載荷的變化曲線（對稱材料模型）

圖4給出了非對稱材料模型下，梯度多孔材料圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時中心撓度隨徑向載荷變化的曲線。圓板中心撓度的變化趨勢與對稱材料模型下的結果一致，但是圓板的穩定性相對較低。

圖4 圓板中心撓度隨縱向載荷的變化曲線（非對稱材料模型）

3 結論

（1）孔隙率對圓板的穩定性有顯著影響。當徑向載荷為定值時，圓板的中心撓度隨著橫向載荷的增大而增大。相對于非對稱材料模型，對稱材料模型下圓板的有效剛度大，穩定性高。

（2）邊界條件對圓板的穩定性有重要影響。當橫向載荷為零時，圓板發生過屈曲變形；橫向載荷不為零時，圓板發生彎曲變形；在徑向載荷作用之始，圓板已經發生彎曲變形。