BFO-PSO算法下的彈性波數(shù)值模擬

趙平起， 何書梅， 倪天祿， 趙明， 張家良， 吳吉忠,2，魏朋朋， 李聞達， 白文磊*

1 中國石油大港油田分公司， 天津 300280 2 東北石油大學， 大慶 163318 3 中國科學院地質(zhì)與地球物理研究所， 北京 100029 4 中國科學院地球科學研究院， 北京 100029 5 中國科學院油氣資源研究院重點實驗室， 北京 100029 6 中國科學院大學， 北京 100049

0 引言

地震波正演模擬是地震勘探反演和成像的基礎和關鍵，提高彈性波數(shù)值模擬的精度和效率具有非常重要的理論和工程意義.目前廣泛運用于地震波數(shù)值模擬的方法主要是有限差分法(Chu and Stoffa，2012；Di Bartolo et al.，2012；Yan et al.，2016；Yang et al.，2017；Liang et al.，2018；He et al.，2019；杜澤源等，2019；Miao et al.，2020)，其適用于GPU并行計算，計算速度快并且易于編程實現(xiàn).

應用有限差分算法進行彈性波數(shù)值模擬時，使用差分算子來代替微分算子，因而必然會產(chǎn)生數(shù)值誤差，如果忽略這一誤差，將會嚴重影響數(shù)值模擬的精度，導致彈性波數(shù)值模擬過程中出現(xiàn)數(shù)值頻散問題(Chu and Stoffa，2012；王之洋等，2015).為了解決差分算子頻散問題，可以在數(shù)值模擬時選擇主頻較低的子波，較小的離散網(wǎng)格間距，或者優(yōu)化差分算子.然而，隨著子波主頻的降低，高頻成分缺失，由此也將導致地震反演和成像的分辨率大大降低；而減小離散網(wǎng)格的間距則會增加計算量，對于大模型來說，由此帶來的計算量、存儲量問題進一步制約勘探技術的發(fā)展(王之洋等，2015；He et al.，2019；劉立彬等，2020).優(yōu)化差分算子，提高低階數(shù)差分算子的精度，可以在不增加計算量，保證計算效率的同時，減小差分算子對微分算子的逼近誤差，從而避免數(shù)值模擬過程中的數(shù)值計算誤差，因此，優(yōu)化有限差分算子在彈性波動方程的數(shù)值求解中具有非常重要的意義.

Chu和Stoffa(2012)指出，根據(jù)Taylor級數(shù)展開，可以使用二項式窗函數(shù)截斷偽譜法的空間褶積序列推導得出有限差分算子，然而由于截斷效應存在，頻譜泄露不可避免，為了減弱頻譜泄露，可以選擇優(yōu)化的窗函數(shù).應用窗函數(shù)法優(yōu)化有限差分算子，其主要目標是設計一種通帶窄，阻帶衰減大的窗函數(shù)，以盡可能的減弱截斷所導致的頻譜泄露(王之洋等，2015；Wang et al.，2017；Ren et al.，2018)，然而，不可忽略的問題是，窗函數(shù)的通帶寬度與阻帶衰減是相互矛盾的，很難同時滿足通帶窄、阻帶衰減大的要求.因此，另一種更常用的優(yōu)化有限差分算子的方法是最優(yōu)化方法(Liu，2013；Zhang and Yao，2013；Yang et al.，2017；He et al.，2019；Miao and Zhang，2020)，通過構(gòu)造包含有限差分系數(shù)的目標函數(shù)，將有限差分算子的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多參數(shù)優(yōu)化問題，進而應用最優(yōu)化算法進行優(yōu)化求解.Zhang和Yao(2013)首次使用模擬退火算法優(yōu)化有限差分算子.He等(2019)將Remez交換算法應用于常規(guī)網(wǎng)格和交錯網(wǎng)格的有限差分算子優(yōu)化.Miao和Zhang(2020)基于L1范數(shù)構(gòu)造了包含有限差分系數(shù)的目標函數(shù)，并應用交替方向乘子算法(ADMM)獲得了優(yōu)化的有限差分算子.

應用最優(yōu)化方法優(yōu)化有限差分算子，其目標是在保證精度誤差的同時，獲得最大的譜覆蓋范圍(Liu，2013；Zhang and Yao，2013；He et al.，2019)，常規(guī)有限差分優(yōu)化方法往往難以兼顧精度和譜覆蓋范圍兩個方面，尤其是在高波數(shù)情況下，難以滿足數(shù)值模擬精度的要求.因此，需要尋求一種更適用于高維多參數(shù)問題的快速收斂且易于跳出局部極值的高效優(yōu)化算法.

啟發(fā)式優(yōu)化算法是目前廣泛應用的一種優(yōu)化算法(雷秀娟等，2012；Beheshti and Shamsuddin，2013；Pillay，2016；Qu et al.，2015；Li et al.，2016；Hussain et al.，2018)，不同于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，啟發(fā)式算法通過在解空間范圍內(nèi)隨機搜索以獲得最優(yōu)結(jié)果，是一種基于概率計算的領域隨機搜索算法，該類算法主要包括：模擬退火算法(SA)，粒子群算法(PSO)，遺傳算法(GA)，等等.相比于其他算法，PSO算法在迭代更新時利用了當前最優(yōu)解的信息，從而可以更快收斂到最優(yōu)解(Kennedy and Eberhart，1995；Hazra and Sinha，2011；Jadoun et al.，2015)，然而，PSO算法的全局搜索能力對初始參數(shù)的要求較高，當初始參數(shù)隨機性較大時，算法很容易陷入局部極值，尤其是對于一些參數(shù)維度較高的問題、多峰問題和病態(tài)問題，會出現(xiàn)過早收斂甚至難以收斂的問題.細菌覓食算法(BFO)是一種仿生類算法(Passino，2002；李珺等，2013；Daryabeigi and Dehkordi，2014)，其模擬大腸桿菌覓食行為，算法主體結(jié)構(gòu)包括三層循環(huán)，分別對應趨化、復制、驅(qū)散三個步驟，具有較強的并行搜索能力，同時，驅(qū)散操作加強了搜索的隨機性，從而有助于提高算法的全局搜索能力，然而，BFO算法包含三層循環(huán)嵌套，使得算法結(jié)構(gòu)相對復雜，引入了較多參數(shù)，導致算法的收斂速度較慢.因此，結(jié)合PSO算法和BFO算法的思想，使其優(yōu)勢互補，提升性能，改進算法可以在快速收斂的同時搜索到全局最優(yōu)解，以同時滿足有限差分算子對精度和頻譜覆蓋范圍的要求.

本文提出一種BFO-PSO算法下的有限差分優(yōu)化方法，并采用優(yōu)化的有限差分算子進行彈性波數(shù)值模擬.針對PSO算法全局搜索能力較弱的問題，引入BFO算法中的趨化、復制、驅(qū)散三個步驟，形成BFO-PSO混合優(yōu)化算法；構(gòu)造包含有限差分系數(shù)的目標函數(shù)，并運用BFO-PSO混合優(yōu)化算法求取全局最優(yōu)解，獲得優(yōu)化的有限差分算子，通過理論頻散分析，比較優(yōu)化性能；進而應用此優(yōu)化的差分方法分別在層狀介質(zhì)模型和復雜模型上進行彈性波數(shù)值模擬，對比分析合成地震記錄.

1 理論分析

1.1 BFO-PSO算法下的有限差分算子優(yōu)化

根據(jù)采樣定理，連續(xù)信號f(x)的一階空間導數(shù)可以表示為(Chu and Stoffa，2012)：

亞當·斯密認為，人類的“愛”是“有層次的”，而自由市場通過平等自愿的交換，讓人們能夠“以自私為目的，達成利他的結(jié)果，最終使每個人都互惠互利”。從制度經(jīng)濟學的角度看，破除以地方政府為代表的政府機會主義，重塑政治生態(tài)，有耐于持之以恒、與時俱進地優(yōu)化“規(guī)則”。正如布坎南所指出的那樣：“要改變一種游戲或競賽的結(jié)果，改變參加競賽的人并不重要，而改變競賽規(guī)則最為重要?！?/p>

(1)

其中，Δx為空間采樣間隔，Δx/π為Nyquist波數(shù)，fn=f(nΔx).

將x=0代入公式(1)并截斷，可推導得出一階空間導數(shù)的有限差分算子：

(2)

對公式(2)左右兩端同時應用Fourier變換，可推導出：

(3)

其中，kx為波數(shù).

根據(jù)公式(3)，可得出有限差分算子的頻散關系：

(4)

式中，考慮波數(shù)趨于0的情況，滿足：

進一步，應用最優(yōu)化算法優(yōu)化有限差分系數(shù)，可以構(gòu)造目標函數(shù)為：

(5)

因此，本文結(jié)合BFO算法的全局尋優(yōu)能力，將BFO算法的趨化、復制、驅(qū)散三個步驟引入PSO算法中的粒子速度和位置更新策略，以形成BFO-PSO混合優(yōu)化算法，進一步應用BFO-PSO算法對包含有限差分系數(shù)的目標函數(shù)(公式(5))進行求解，從而得到精度誤差較小且頻譜覆蓋范圍較大的有限差分算子.

PSO算法是一種基于概率計算的領域隨機搜索算法，種群中的每一個粒子都代表目標函數(shù)的一組解，在該算法中，每個粒子都以隨機的方式向當前最優(yōu)粒子的方向移動，從而使得整個種群向最優(yōu)解的方向運動，進而實現(xiàn)在目標函數(shù)解空間范圍內(nèi)以隨機搜索的方式求解最優(yōu)解.常規(guī)PSO算法的粒子速度和位置更新策略如下：

(6)

為了克服PSO算法對初始參數(shù)的高度依賴性以及難以跳出局部極值的缺陷，本文在PSO算法的粒子速度和位置更新方式中增加BFO算法的趨化、復制、驅(qū)散三種步驟，以提高算法在鄰域搜索時的隨機性，形成BFO-PSO混合優(yōu)化算法，從而提高PSO算法的全局搜索能力，降低算法對初始參數(shù)的依賴性，同時進一步提高算法的收斂速度.

首先引入趨化步驟，在粒子速度和位置更新過程中，粒子種群向著全局最優(yōu)解的方向運動，但是，對于一些參數(shù)維度較高的問題、多峰問題和病態(tài)問題，粒子種群很容易趨向局部最優(yōu)，從而導致算法全局搜索能力較差.為了避免這一問題，在粒子位置更新時增加隨機方向性，使粒子隨機地向一個方向運動或者翻轉(zhuǎn)，從而增加粒子種群在全局范圍內(nèi)的搜索隨機性，使其具有跳出局部最優(yōu)的能力，增加算法收斂到全局最優(yōu)解的概率.引入趨化步驟的粒子位置更新公式為：

(7)

其次是復制步驟，將BFO算法中細菌優(yōu)勝劣汰的繁殖過程引入到PSO算法粒子速度和位置更新策略中，對種群中的每個粒子計算適應度值，并根據(jù)目標函數(shù)要求按照從優(yōu)到劣的順序?qū)ζ渑判颍⑴判蛟谀┪驳囊话敕N群粒子淘汰，而將剩余的種群粒子進行完全復制，使得種群大小不變.通過這一步驟，可以保證粒子種群在每一次迭代更新時都向著部分較優(yōu)解的方向運動，從而有效提高粒子種群向最優(yōu)解方向移動的速度，提高算法的收斂速度.

最后是驅(qū)散步驟，為了進一步放置粒子種群過早的收斂到局部最優(yōu)位置，避免種群粒子聚集在局部極值位置處，按照一定的概率將種群粒子隨機移動到解空間中的新區(qū)域，以此提高算法在鄰域內(nèi)搜索的隨機性，從而增加粒子種群的隨機性，避免種群過早的收斂到局部極值，提高全局搜索能力.

根據(jù)上述分析，將BFO算法的趨化、復制、驅(qū)散三種步驟引入PSO算法，改進PSO算法的粒子速度和位置更新策略，形成BFO-PSO混合優(yōu)化算法，算法流程圖如圖1所示.

圖1 BFO-PSO算法流程圖Fig.1 Flowchart of the BFO-PSO algorithm

1.2 理論頻散分析

根據(jù)公式(3)所示有限差分算子的頻散關系式，分析比較BFO-PSO算法，PSO算法以及Remez交換算法(He et al.，2019)下的優(yōu)化有限差分算子的數(shù)值頻散曲線，比較其精度誤差.

分別應用BFO-PSO算法和PSO算法對包含有限差分系數(shù)的目標函數(shù)(公式(5))進行優(yōu)化求解，以獲得BFO-PSO算法下的優(yōu)化有限差分算子.本文中，BFO-PSO算法和PSO算法的初始參數(shù)設定如下：粒子位置表示有限差分系數(shù)，并進行隨機初始化；粒子速度表示有限差分系數(shù)的調(diào)整方向；種群大小為N=300，最大迭代次數(shù)為T=1500，權(quán)重系數(shù)為ω=0.7，粒子驅(qū)散概率為0.25.

如圖2、3所示，分別為BFO-PSO算法和PSO算法優(yōu)化得到的一階空間導數(shù)有限差分算子的數(shù)值頻散曲線，其中，圖2應用BFO-PSO算法，圖3應用PSO算法，圖中黑色實線表示不同階數(shù)下常規(guī)有限差分算子的數(shù)值頻散曲線.對比分析，可以明顯看出，采用BFO-PSO算法得到的優(yōu)化有限差分算子在保證精度誤差的同時，其頻譜覆蓋范圍遠大于常規(guī)有限差分算子.8階BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子的頻散曲線甚至接近16階常規(guī)有限差分算子的頻散曲線，兩者的頻譜覆蓋范圍幾乎一致，而12階BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子的頻散曲線則遠遠優(yōu)于20階常規(guī)有限差分算子的頻散曲線，在12階時就可以滿足高波數(shù)的精度要求.

圖2 不同階數(shù)的BFO-PSO算法下的優(yōu)化有限差分算子的頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of the optimized FD operator based on the BFO-PSO algorithm for different values of N (different orders)

圖3 不同階數(shù)的PSO算法下的優(yōu)化有限差分算子的頻散曲線Fig.3 Dispersion curves of the optimized FD operator based on the PSO algorithm for different values of N (different orders)

進一步分析比較BFO-PSO混合優(yōu)化算法的全局搜索能力和收斂速度，圖4給出了BFO-PSO算法與PSO算法優(yōu)化獲得的有限差分算子的數(shù)值頻散曲線對比.可以看出，在8階、12階、16階、20階的情況下，BFO-PSO算法和PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子，其數(shù)值頻散曲線幾乎完全一致，即兩種優(yōu)化算法得到的有限差分算子是一致的.然而，當差分算子的階數(shù)繼續(xù)增加到24階時，應用BFO-PSO算法得到的優(yōu)化有限差分算子在保持精度誤差不變的同時，具有更大的頻譜覆蓋范圍.基于這一分析，可以說明，引入趨化、復制、驅(qū)散三種步驟后形成的BFO-PSO混合優(yōu)化算法很好的結(jié)合了PSO算法的快速收斂性和BFO算法的全局搜索能力，對于多參數(shù)優(yōu)化問題，BFO-PSO混合優(yōu)化算法可以快速收斂到較好的全局最優(yōu)解，就本文而言，應用BFO-PSO算法可以很快的獲得精度誤差小且適應高波數(shù)情況的優(yōu)化有限差分算子.

圖4 BFO-PSO算法與PSO算法優(yōu)化的有限差分算子的頻散曲線對比Fig.4 Comparison of numerical dispersion curves between optimized FD operator based on the BFO-PSO algorithm and the PSO algorithm

圖5為分別應用BFO-PSO算法和Remez交換算法得到的優(yōu)化有限差分算子的數(shù)值頻散曲線對比，其中，彩色實線分別對應不同階數(shù)的BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子的頻散曲線，彩色虛線分別對應不同階數(shù)的基于Remez交換算法的有限差分算子的頻散曲線.對比可得，在保證精度誤差控制在一定范圍內(nèi)的同時，BFO-PSO算法優(yōu)化后的有限差分算子具有更大的頻譜覆蓋范圍，更適用于高波數(shù)情況下的數(shù)值模擬.表1列出了應用BFO-PSO算法得到的優(yōu)化有限差分算子的系數(shù).

圖5 BFO-PSO算法與Remez交換算法(He et al.，2019)優(yōu)化的有限差分算子的頻散曲線對比Fig.5 Comparison of numerical dispersion curves between the optimized FD operator based on the BFO-PSO algorithm and the Remez algorithm (He et al., 2019)

表1 BFO-PSO算法下的優(yōu)化有限差分算子系數(shù)Table 1 Optimized FD coefficients based on the BFO-PSO algorithm

應用有限差分法進行數(shù)值模擬時，差分格式的穩(wěn)定性是一個非常重要的問題.這里假定空間步長均勻，即Δx=Δz，介質(zhì)最大波速為v，時間步長為Δt，給出常規(guī)網(wǎng)格一階有限差分算子的簡單穩(wěn)定性條件(Lines et al.，1999)：

(8)

2 數(shù)值模擬與分析

2.1 層狀介質(zhì)模型

首先在應用BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子在各向同性雙層介質(zhì)模型上進行彈性波數(shù)值模擬測試，模型示意圖如圖6所示，模型上下兩層的縱波速度、橫波速度、密度分別在圖中標出，模型寬和高均為4000 m，空間步長設置為Δx=Δz=8 m，時間采樣間隔為Δt=0.0005 s.震源坐標為(2000 m,1000 m)，采用主頻為25 Hz的Ricker子波.

圖6 雙層介質(zhì)模型Fig.6 Double-layer velocity model

圖7和圖8為分別應用BFO-PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子和常規(guī)有限差分算子進行彈性波數(shù)值模擬所得到的合成波場快照的X分量和Z分

量，其中，圖7a和圖8a應用8階常規(guī)有限差分算子，圖7b和圖8b應用BFO-PSO算法優(yōu)化得到的8階有限差分算子，圖7c和圖8c應用16階常規(guī)有限差分算子.對比分析發(fā)現(xiàn)，應用8階常規(guī)有限差分算子獲得的合成波場快照，無論是X分量還是Z分量，均存在明顯的數(shù)值頻散現(xiàn)象，如圖中黑色箭頭指示.而應用BFO-PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子進行彈性波數(shù)值模擬，所獲得合成波場快照中幾乎沒有數(shù)值頻散，數(shù)值模擬的精度甚至達到了16階常規(guī)差分算子的效果.因此，采用BFO-PSO算法可以有效的提高有限差分算子的精度和效率，優(yōu)化獲得的低階有限差分算子在逼近微分算子時就具有較小的數(shù)值誤差，進而可以在不增加計算量，保證計算效率的同時，達到常規(guī)高階有限差分算子的精度，滿足高精度數(shù)值模擬的要求，有效提高彈性波數(shù)值模擬的精度和效率.

圖7 應用不同有限差分算子得到的合成波場快照(X分量)(a) 8階常規(guī)有限差分算子； (b) 8階BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子； (c) 16階常規(guī)有限差分算子.Fig.7 Synthetic wavefield snapshots (X component) using different FD operators(a) Eighth-order conventional FD operator; (b) Eighth-order FD operator optimized based on the BFO-PSO algorithm; (c) Sixteenth-order conventional FD operator.

圖8 應用不同有限差分算子得到的合成波場快照(Z分量)(a) 8階常規(guī)有限差分算子； (b) 8階BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子； (c) 16階常規(guī)有限差分算子.Fig.8 Synthetic wavefield snapshots (Z component) using different FD operators(a) Eighth-order conventional FD operator; (b) Eighth-order FD operator optimized based on the BFO-PSO algorithm; (c) Sixteenth-order conventional FD operator.

2.2 Marmousi模型

之后，我們在較為復雜的Marmousi模型上進行彈性波數(shù)值模擬，以進一步對比分析BFO-PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子在壓制數(shù)值頻散、提升彈性波數(shù)值模擬效率方面的性能.如圖9所示，為Marmousi縱波速度模型，在本文數(shù)值模擬實驗中，模型橫波速度和縱波速度的比值為vP/vS=1.7，密度設置為ρ=2000 kg·m-3.模型空間離散網(wǎng)格大小設置767×376，空間步長設置為Δx=12 m,Δz=8 m，時間采樣間隔為Δt=0.001 s，記錄時長為t=5 s.震源坐標為(4600 m,1 m)，采用主頻為25 Hz的Ricker子波.

圖9 Marmousi模型Fig.9 Marmousi model

圖10為分別應用BFO-PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子和常規(guī)有限差分算子在Marmousi模型上進行彈性波數(shù)值模擬所得到的合成地震記錄.其中，圖10a、b、c分別為應用8階常規(guī)有限差分算子、8階BFO-PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子、16階常規(guī)有限差分算子得到的合成地震記錄，圖10d、e分別為區(qū)塊1和2的放大記錄.根據(jù)合成地震記錄的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)，應用BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子得到的地震記錄具有更好的精度和效果，幾乎與16階常規(guī)有限差分算子的精度一致，而8階常規(guī)算子得到的地震記錄上則可以清晰看到數(shù)值頻散存在.因此，通過在層狀介質(zhì)模型和復雜的Marmousi模型上進行的彈性波數(shù)值模擬測試，可以充分說明，BFO-PSO算法優(yōu)化得到的有限差分算子具有較高的精度，可以有效壓制用差分算子替代微分算子時導致的數(shù)值頻散，優(yōu)化后的低階差分算子就可以達到常規(guī)高階算子的精度，從而可以有效提高對彈性波動方程求取數(shù)值解時的計算效率，降低對于計算資源的要求.

圖10 在Marmousi模型應用不同有限差分算子進行彈性波數(shù)值模擬得到的合成地震記錄(Z分量)(a) 8階常規(guī)有限差分算子； (b) 8階BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子； (c) 16階常規(guī)有限差分算子； (d) 區(qū)塊1放大記錄； (e) 區(qū)塊2放大記錄.圖(d)、(e)中，左邊為8階常規(guī)有限差分算子，中間為8階BFO-PSO算法優(yōu)化的有限差分算子，右邊為16階常規(guī)有限差分算子.Fig.10 Synthetic shot records (Z component) obtained by numerical modelling of elastic waves using different FD operators on Marmousi model(a) Eighth-order conventional FD operator; (b) Eighth-order FD operator optimized based on the BFO-PSO algorithm; (c) Sixteenth-order conventional FD operator; (d) Zoomed view of block 1; (e) Zoomed view of block 2. In (d) and (e), the left is eighth-order conventional FD operator; middle is eighth-order FD operator based on the BFO-PSO algorithm; and right is sixteenth-order conventional FD operator.

3 結(jié)論

本文提出一種BFO-PSO算法下的有限差分算子優(yōu)化方法，并應用此優(yōu)化的有限差分算子分別在層狀介質(zhì)模型和復雜模型上進行彈性波數(shù)值模擬，對比分析合成地震記錄.首先，針對PSO算法對初始參數(shù)依賴性大及算法易于陷入局部極值的缺點，引入BFO算法的趨化、復制、驅(qū)散三種步驟，以改進PSO算法的粒子速度和位置更新策略，形成BFO-PSO混合優(yōu)化算法.其次，構(gòu)造包含有限差分系數(shù)的目標函數(shù)，并應用BFO-PSO混合優(yōu)化算法求取最優(yōu)解，獲得優(yōu)化的有限差分算子，根據(jù)理論頻散曲線分析，BFO-PSO算法可以在快速收斂的同時獲得較好的全局最優(yōu)解，對于低階差分算子，在保證精度誤差的同時，有效擴大了頻譜覆蓋范圍，滿足彈性波數(shù)值模擬對高波數(shù)的要求；對于高階差分算子，BFO-PSO算法優(yōu)化得到的差分系數(shù)精度更好，即BFO-PSO算法更適用于復雜的多參數(shù)優(yōu)化問題.最后，應用BFO-PSO算法優(yōu)化后的有限差分算子進行彈性波數(shù)值模擬，對比分析合成波場快照及合成地震記錄，進一步驗證了BFO-PSO混合優(yōu)化算法獲得的優(yōu)化有限差分算子在壓制數(shù)值頻散方面的有效性，降低了彈性波動方程數(shù)值求解的誤差，提高數(shù)值模擬的精度和效率.