基于尖點突變的城市交通狀態(tài)演化研究

邵子怡，張林,2，吳昊

(1.華北理工大學 建筑工程學院，河北 唐山 063210；2.中美城市交通研究中心，河北 唐山 063000)

隨著我國經濟的高速發(fā)展和城市化進程的加快，交通擁堵已經成為制約城市發(fā)展的一大頑疾。道路交通系統(tǒng)是一個復雜的非線性系統(tǒng)，實測交通流數據在擁堵發(fā)生時刻會出現非連續(xù)的“突變”現象。此現象是在交通暢通狀態(tài)到交通擁擠狀態(tài)的過渡時期形成的。而傳統(tǒng)的交通流理論模型：Underwood指數模型、Greenshield線性模型、Greenberg對數模型，均為建立在二維平面基礎上的3個參數模型。這些模型無法解釋在交通流數據中出現的“突變”現象。法國數學家Thom在20世紀70年代基于奇點理論和穩(wěn)定性理論建立了7種突變模型，并用于研究不連續(xù)變化的現象。1978年Dendrinos是第一個將突變理論應用到交通流這一領域的人，他將二維的突變模型用來描述速度-流量關系曲線[1]。另一個模型是由Navin于1986年提出的，他認為三維的突變模型適用于描述3個變量[2]。張亞平和張起森對實測數據進行變換之后，應用尖點突變去描述交通流3個參數的關系，并驗證了尖點突變應用于交通流預測的可行性[3]。姜璐等總結了初等突變理論在社會科學中的2種應用途徑并以燕尾突變?yōu)槔?，給出了具體的分析步驟和突變特點[4]。YiShui等分析在快速路上的交通擁堵與交通瓶頸的關系，并得出交通運行狀態(tài)會在較短時間發(fā)生突變并導致擁堵的結論[5]。上述研究只是將實例數據做了簡單特征分析，預測未來交通流，但未采用尖點突變理論做系統(tǒng)的關聯闡述，并對交通由暢通流-擁堵流的演變過程進行分析研究。該研究從交通流的實際交通數據出發(fā)，對交通流作擁堵分析，并將其與尖點突變理論結合，從流量、占有率、速度3個參數對城市交通狀態(tài)的演化做詳盡分析。

1交通流的擁堵特性

1.1 數據樣本分析

該項研究利用無人機航拍的方式對唐山市路北區(qū)西山道與學院路交叉口于2019年11月21日和2019年11月22日的6:30～8:00早高峰時段進行車流量采集。北新道與建設路均為雙向8車道，統(tǒng)計時間間隔為5 min，分別對流量、速度和占有率進行統(tǒng)計，并對數據進行了相應的預處理，剔除了冗余、無效的數據。表1所示為高峰時段部分流量、速度、占有率的統(tǒng)計情況。

表1 數據樣本示例

1.2 交通流擁堵分析

根據交通擁堵發(fā)生的頻率可以將其分為常發(fā)性擁堵和偶發(fā)性擁堵，常發(fā)性擁堵在設計學因素的影響下可以分為結構性擁堵和非結構性擁堵。交通道路設計結構性缺陷(分段限速、車道變窄等)不明顯存在的情況下導致的常發(fā)性擁堵，其主要原因是交通需求與交通供給不平衡。為了更形象、直觀地描述交通流三項參數與尖點突變之間的關系，繪制出占有率-流量、流量-速度和占有率-速度之間的關系圖。

圖1所示是占有率-流量關系的二維圖。觀察圖1可得，交通狀態(tài)在非擁堵狀態(tài)和擁堵狀態(tài)比較集中，而非擁堵和擁堵狀態(tài)的銜接是不連續(xù)的，表現為交通狀態(tài)的突跳性。由此可見，交通狀態(tài)突跳性的變化與尖點突變理論的突變性是一致的。

圖1 占有率-流量關系圖

圖2所示是流量-速度關系的二維圖。觀察圖2可得，同一流量值可能對應2個速度值，同一流量值的上半部分對應的是擁堵狀態(tài)對應的速度，下半部分是非擁堵狀態(tài)對應的速度，這體現了交通狀態(tài)的多態(tài)性。由此可見，交通狀態(tài)的多態(tài)性與尖點突變理論的多模態(tài)性是一致的。

圖2 流量-速度關系圖

圖3所示是占有率-速度關系的二維圖。觀察圖3可得，該區(qū)域的數值較為集中，是因為駕駛員具有較強的時間概念以減少道路上的延誤。在原點周圍占有率-速度出現了明顯的跳躍變化，由非擁堵的平衡狀態(tài)跳躍到擁堵的平衡狀態(tài)，這體現了交通狀態(tài)的不可達性，與尖點突變理論中的不可達性是一致的。

圖3 占有率-速度關系圖

通過對3個參數之間關系的分析，表明交通狀態(tài)與尖點突變理論有著相似的特征，因此利用尖點突變理論研究交通擁堵的狀態(tài)演化具有一定的理論依據。

2突變理論

法國數學家Thom于1972年在《結構穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學》一書中關于突變原理問題進行闡述，標志著突變理論的正式誕生。突變理論是通過建立勢函數，探究突變臨界點以描述系統(tǒng)發(fā)生突變時所發(fā)生的潛在規(guī)律。該理論表明，某個因素的持續(xù)變化可能會導致整個系統(tǒng)的態(tài)勢發(fā)生突然改變。量變造成質變，事物的質變關鍵在于中間態(tài)是否穩(wěn)定，反之則會發(fā)生突變。

突變理論包含2個參數，分別是狀態(tài)變量和控制變量。狀態(tài)變量是系統(tǒng)中任何時刻的狀態(tài)都由n個給定的變量確定(n有取值范圍)?？刂谱兞縿t是系統(tǒng)中受到m個變量的控制?？刂谱兞烤褪怯绊懴到y(tǒng)形態(tài)的重要因素。在突變理論中，狀態(tài)參數與控制參數的數量分別控制在2個和4個的初等突變函數有以下7類：折迭型、尖點型、燕尾型、蝴蝶型、雙曲型、橢圓型、拋物型。針對不同系統(tǒng)，尤其是存在突變情況的系統(tǒng)，在對系統(tǒng)進行準確分析后，可以對狀態(tài)變量與控制變量的個數進行確定，再次從以上7種初等突變函數中選擇一類適合的模型，從中總結該系統(tǒng)的演化特征。

突變理論的特性主要用來分析微分動力學體系中狀態(tài)的跳躍變化，以及在光滑動力學中平衡態(tài)的分歧問題。其特性體現在以下幾個方面：

(1)突變性

對于Maxwell約定而言，系統(tǒng)總是轉移到使它的勢全局最小的平衡位置(即極小值中的最小值)，其勢的變化是連續(xù)的，但是導數變化是不連續(xù)的；對于理想延遲約定而言，系統(tǒng)在控制參數的變化時，由原來的平衡位置跳躍到局部極小或者全局極小位置，其勢的變化是不連續(xù)的。在交通系統(tǒng)中，勢函數的值隨著交通流量的增加而增加，若交通流量突然發(fā)生變化，超過突變臨界點，勢函數的數值會瞬間變小。

(2)不可達性

在系統(tǒng)中存在3種狀態(tài)之間的轉化，由穩(wěn)定平衡態(tài)—不穩(wěn)定平衡態(tài)—穩(wěn)定平衡態(tài)，系統(tǒng)從穩(wěn)定平衡態(tài)到達下一個穩(wěn)定平衡態(tài)的過程中直接跳躍了不穩(wěn)定平衡態(tài)，所以該不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)是系統(tǒng)不能達到的狀態(tài)。

(3)分歧性(發(fā)散性)

在系統(tǒng)中，狀態(tài)變量是隨著控制變量的變化而改變的。一般來說，控制變量的改變只會引起狀態(tài)變量的微小變動，但此微小變動會使其處于突變的臨界位置來回搖擺，則會導致極大改變。

(4)多模態(tài)性(雙模態(tài)性)

對于系統(tǒng)本身來說，存在的狀態(tài)可能是2個，也可能是多個，所以在改變參數時，系統(tǒng)才可能從一個穩(wěn)定位置躍遷到下一個穩(wěn)定位置，發(fā)生突變。在交通系統(tǒng)中，通暢和擁堵都是狀態(tài)的表現形式。

(5)滯后性

突變的發(fā)生是與控制變量的方向有關的。當一個局部極小與另一個局部極小相互跳躍時，控制變量所對應的點是不斷變化的，所以說當控制變量從不同方向進行改變時，發(fā)生的突變狀況是有差異的。這種情況只存在于理想延遲約定，Maxwell約定中不存在滯后情況。

在選取模型進行分析時，可以考慮系統(tǒng)中存在的狀態(tài)變量和控制變量的個數來建立合適的突變模型用于求解問題。假設系統(tǒng)的演化可以由一個狀態(tài)變量和2個控制變量來描述，并且有明顯的突變現象，則對平衡曲面的刻畫就有式(1)所示的形式。

x2+ux+v=0

(1)

由Siersma算法[6]可得，該系統(tǒng)平衡曲面方程可化為式(2)所示。

(2)

與折迭突變的平衡曲面為同一類型。

x2+v=0

(3)

由此可得，刻畫滿足式(1)的系統(tǒng)只需要1個控制變量。因此，描述上述2個控制變量和1個狀態(tài)變量系統(tǒng)的平衡曲面應為式(4)所示。

4x3+2ux+v=0

(4)

在交通系統(tǒng)中，將對速度、流量、占有率3個變量進行分析，因此，將速度作為狀態(tài)變量，流量、占有率作為控制變量，此時應該選擇1個狀態(tài)變量和2個控制變量的尖點突變模型。

3基于尖點突變的交通狀態(tài)演化研究

3.1 基于尖點突變的交通狀態(tài)演化模型建立

尖點突變勢函數為：

F(x)=ax4+bαx2+cβx

(5)

對式(5)求導得到的曲面即為突變流形：

4ax3+2bαx2+cβ=0

(6)

12ax2+2bα=0

(7)

分叉集應同時滿足突變流形方程與勢函數的二階導數方程，即分叉集為突變流形的皺褶在α-β平面上的投影： 8bα3+27ac2β2=0

(8)

其中:

x——狀態(tài)變量：速度，km·h-1；

α——控制變量：流量，pcu ·h-1·lane-1；

β——狀態(tài)變量：車道占有率，%；

a、b、c——參數。

3.2 基于尖點突變的交通狀態(tài)演化模型求解

為滿足Maxwell約定，尖點突變理論應用于交通流3個參數的分析中需進行一些變換。初次變換為坐標平移，經過坐標平移之后，α-β平面中的α軸與Maxwell約定中的垂直面重合并作為區(qū)分交通流中擁擠狀態(tài)與非擁擠狀態(tài)的界限，滿足分叉的特性(如圖4所示)。

圖4 尖點突變分叉集

(1)坐標平移

(9)

其中：

xm——最大流量時最大車道占有率對應的速度，km·h-1；

αm——最大流量，pcu ·h-1·lane-1；

βm——最大流量對應最大車道占有率，%

(2)坐標旋轉

坐標平移后，需要對α軸和β軸進行旋轉，與Maxwell約定的垂直面重疊，因此可將α軸定義為區(qū)分非擁擠和擁擠狀態(tài)的界限，即：

(10)

其中：

m——圖形因子：是αm與βm的比值；

θ——旋轉角度，°。

經數據處理后，方程可寫為：

(11)

4 城市交通狀態(tài)演化分析

突變理論的應用最早的特征是Zeeman提出的“狗受到威脅時的反應”?！肮肥艿酵{時的反應”被假設為一個系統(tǒng)(比如一條狗)在遇到不同因素的情況下做出的不同反應(比如狗的咆哮、追趕)。將狗的反應定義為狀態(tài)因素，憤怒和恐懼定義為控制因素。圖5表示狗由正常到受到威脅時的若干種行為可能。

圖5 狗受到威脅時的反應

路徑L1：此路徑表示在憤怒和恐懼2種控制因素同時增加時，可能會造成的2種不同結果分別是畏縮不前(路徑L2)和產生攻擊行為(路徑L3)。

路徑L4：隨著憤怒增加，狗的回避突然轉變?yōu)楣?。當狗受到外界刺激而被激怒時，通常會保持一段時間的畏縮不前，而后突然變?yōu)楣魻顟B(tài)。一旦出于攻擊狀態(tài)，即使憤怒減小也會維持現狀。

路徑L5：此時狗處于攻擊狀態(tài)，隨著恐懼的增加，攻擊狀態(tài)會突變?yōu)槲房s不前。一旦處于畏縮不前的狀態(tài)，即使恐懼減少也會維持現狀。

“狗受到威脅時的反應”與城市交通擁堵的演化相似(如圖6所示)。在城市道路，伴隨上班高峰期的到來，車量逐漸增加，相應路段的車輛占有率也會隨之增加。與此同時，交通路徑會按照路徑L4-L5從暢通狀態(tài)過渡到擁堵狀態(tài)；若當交通流處于暢通平衡態(tài)，突然有交通事故的發(fā)生，則會導致路段占有率激增，路段通行能力大大減小，流量減小，此時交通流會按照L3-L2從暢通狀態(tài)突變?yōu)閾矶聽顟B(tài)。為預防城市道路交通擁堵的發(fā)生，提出以下建議與措施：(1)對城市道路的功能和配套設施采取科學的評估方法，使其符合當前城市道路系統(tǒng)的要求；(2)對道路等級進行重新規(guī)劃，根據周邊配套設施配置合理的道路等級比重，做到運行效率高又考慮到交通流的分流效果，最大限度的發(fā)揮道路資源；(3)通過合理的渠化設計在原有道路條件的基礎上增加道路通行能力；(4)在有效避免交通事故發(fā)生的前提下，也可提高瓶頸路口的通行能力，緩解交通擁堵的傳播。

圖6 城市交通流狀態(tài)演化

5結論

(1)闡述了道路系統(tǒng)在運行過程中具有的基本特征和運行規(guī)律，提出了基于尖點突變的城市交通狀態(tài)演化模型。通過對勢函數和分叉集的討論分析，對交通狀態(tài)進行劃分。

(2)結合“狗受到威脅時的反應”的分析對交通狀態(tài)的演化過程進行描述。發(fā)現城市道路交通狀態(tài)會存在不穩(wěn)定的突變特性。

(3)城市道路發(fā)生交通擁堵現象時，為更好地實施交通控制和擁堵疏導應從多角度出發(fā)，考慮交通流的空間特性，利用尖點突變曲面判斷城市道路交通狀態(tài)突變的關鍵節(jié)點，根據擁堵形成的消散特征實施有效、合理的疏導措施。