角位移矢量性的進一步探討

王靖洲

(貴州省凱里學院 理學院，貴州 凱里 556100)

1 問題的基本分析和推導

角位移和角速度是否是矢量，以及為什么有限轉(zhuǎn)動的角量不是矢量，而無限小轉(zhuǎn)動的角量卻是矢量，很多文獻[1-8]都進行了分析解答.這些文獻主要都從矢量加法應該滿足交換律來論證.

對先后兩次轉(zhuǎn)動若用矢量A、B表示，結(jié)果則為A+B，當把轉(zhuǎn)動的次序交換，結(jié)果則為B′+A′，最后如果得到A+B≠B′+A′，則因為不滿足加法交換律，從而得出有限轉(zhuǎn)動不是矢量.文獻中主要用兩個方法進行論證.一是通過直觀圖形中位形來表示，從而得出是否滿足矢量交換律[1].二是利用張量計算公式，最后比較計算結(jié)果.典型的計算如下所述[2].

(1)

(2)

把式(1)代入式(2)，得

(3)

(4)

(5)

(6)

把式(5)代入式(6)得

(7)

(8)

轉(zhuǎn)動次序交換后的兩結(jié)果不相等：

(9)

但當假設φ→0、θ→0，則有sinφ→φ，cosφ→1，sinθ→θ，cosθ→1，于是式(4)和式(8)分別為：

(10)

(11)

此時仍然有

只有再次略去二階無窮小φ·θ→0時，才有

(12)

所以有限轉(zhuǎn)動不是矢量，無限小轉(zhuǎn)動在忽略二階以上的無窮小時，滿足交換律，因此，無限小轉(zhuǎn)動是矢量.并且由式(10)和式(11)還看出，在忽略二階以上無窮小時，當去掉轉(zhuǎn)動張量主對角線上元素后，轉(zhuǎn)動張量是反對稱的.

2 數(shù)學分析和結(jié)論

從張量計算形式來看，對兩個有限轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動效果相加，對應兩個轉(zhuǎn)動矩陣的相乘.而對于兩個真矢量的相加，是簡單的求和運算，是真正的相加，滿足交換律.例如對于任意兩個真矢量，

C=x1i+y1j+z1k,D=x2i+y2j+z2k

則

C+D=(x1+x2)i+(y2+y2)j+(z2+z2)k

(13)

也可以表示為矩陣形式：

C+D≡D+C

(14)

也有：

C+D≡D+C

(15)

由式(4)、式(8)可見兩次轉(zhuǎn)動的“相加”，對應矩陣的乘法，需要9個數(shù)來描述.由矩陣的乘法也可知，一般是不滿足對易性的，A·B≠B·A，并且還可能出現(xiàn)A≠0，B≠0，但A·B=0的情形.所以矩陣乘法時，它們的位置很重要，并不能保證一定滿足交換律.

3 物理分析及意義

根據(jù)前面的分析，整理成下面3個物理問題，幫助初學者徹底弄清轉(zhuǎn)動的物理實質(zhì)：

1) 為什么矢量加法必須滿足交換律？加法交換律的物理實質(zhì)是什么？

2) 描述轉(zhuǎn)動要用張量，滿足什么條件時又會變?yōu)橐粋€矢量?

3) 這樣的矢量有什么特性，它的物理本質(zhì)是什么?

對于問題1)，首先有必要回顧一下矢量的定義.接觸得多的矢量的一種定義是：既有大小，又有方向，運算遵守平行四邊形法則的物理量.在接觸到張量概念后，矢量還定義為：一個由3個數(shù)唯一確定的不變量，它不會隨著坐標系的變化而變化.這種定義指出了“量”的顯著特征就是不隨坐標系的變化而變化，便于從標量、矢量、張量角度進行概念的延伸.當兩個矢量相加時，相當于將一個矢量沿著另一個矢量平移，在平移過程中，由于坐標軸不會隨著平移而變化，且相對獨立，(見式(11)與圖1)，所以“和”的3個數(shù)由原矢量對應的3個數(shù)分別求代數(shù)和.代數(shù)和是滿足加法交換律的.矢量加法就是矢量平移，加法交換律就是平移的次序無關性.平移次序無關性的物理本質(zhì)，就是空間對平移是均勻的、各向同性的.

圖1 坐標平移

對于問題2)，先回顧一下張量的一個性質(zhì)：任何張量都可以被表示成對稱張量與反對稱張量之和.

Tij=Sij+Aij

(16)

對于Sij，通過選取恰當?shù)淖鴺讼担梢詫崿F(xiàn)對角化，對角線上3個元素對應3個坐標軸，從而等效為一個矢量，這稱為化張量到主軸.

對于反對稱張量Aij，取其各元素為

并且由定義有a12=-a21，a13=-a31，a23=-a32.

6個元素中兩兩相關，所以只有3個數(shù)是獨立的，有成為矢量的可能性.把符號代入為

(17)

為得到反對稱張量與矢量的可能對應關系，比較一下張量乘法與矢量乘法的結(jié)果.

(18)

(19)

取相反數(shù)，在物理上意味著方向相反.只一個坐標軸反向時，被稱為反射.當所有坐標軸都取反向時，被稱為反演.從式(18)、式(19)以及行列式的結(jié)果得出，兩個矢量乘法次序的交換，全部分量都反號，等價于反演.如圖2所示：圖2(a)為原坐標系，且x、y、z的方向遵循右手螺旋關系，當反演后變?yōu)閳D2(b)，此時不遵循右手螺旋關系，而遵循左手螺旋關系，說明反演讓坐標系的螺旋關系發(fā)生改變.再讓Oyz平面繞x軸順時針轉(zhuǎn)動180°，變?yōu)閳D2(c).(a)與(b)所有軸都反向，是反演關系.(a)與(c)只是x軸反向，是反射關系.(b)與(c)是轉(zhuǎn)動關系.(a)是右手螺旋，(b)和(c)都是左手螺旋.左右手對稱性也被稱為宇稱，可見反射和反演改變宇稱，但轉(zhuǎn)動不改變宇稱.在坐標系宇稱是否變化上，反射與反演等價.

圖2 坐標系類型及變化

現(xiàn)在可以回答問題2)：轉(zhuǎn)動張量只在反對稱時候，就能變?yōu)橐粋€形式上的、只需要3個數(shù)描述的量，相當于矢量.

為了弄清這樣的矢量有什么性質(zhì)特點，有必要把標量、矢量、張量三種量重新定義為：標量是僅需一個數(shù)就能唯一確定的不變量，矢量是用3個數(shù)確定的不變量，張量是至少要9個數(shù)確定的不變量.這三種量都有一個統(tǒng)一的特性：不變性.在坐標變換時，它們分量雖然會變化，但是“總量”不變.并且會保持變換規(guī)律不變，也把這一標準作為一個量是否是張量的標準.有時把標量、矢量當成是張量的特例，統(tǒng)稱為張量.

因為轉(zhuǎn)動張量等價于兩矢量的叉乘，所以為了得到轉(zhuǎn)動張量的性質(zhì)特點，可以通過兩矢量的叉乘在坐標變換下的特點為例進行分析研究.假設存在矢量A、B，且定義它們的叉乘，即A與B叉乘有C=A×B，用分量表示為Ci=AjBk-AkBj，且設坐標變換為

(20)

通過比較先進行坐標變換再叉乘、先叉乘再進行坐標變換的結(jié)果，來研究C的特點.

先坐標變換再叉乘的運算過程如下：

根據(jù)張量的運算法則：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

先叉乘再坐標變換的運算過程如下 ：

C1=A2B3-A3B2

(27)

C2=A3B1-A1B3

(28)

C3=A1B2-A2B1

(29)

(30)

由式(27)至式(30)，得到

(31)

(32)

(33)

可見在同一坐標變換方式下，只是由于運算的次序不同，而得到兩組互為相反數(shù)的結(jié)果，說明由C=A×B定義的“矢量”C，不滿足真矢量在坐標變換下的不變性，因此不是一個真矢量，被稱為贗矢量、軸矢量，而真矢量也被稱為極矢量.

為什么此例中坐標變換后會是這樣的結(jié)果，下面從分析坐標變換本身入手.由式(20)知a21=-1，其坐標變換為x→-y′，a13=1對應坐標變換為z→x′，a32=1對應y→z′，如圖3所示最終由圖3(a)變到圖3(d)，可認為經(jīng)歷了繞y軸轉(zhuǎn)90°到圖3(b)圖所示，再繞x軸轉(zhuǎn)90°到圖3(c)圖，再沿Oxy平面反射.再如圖4所示，初態(tài)(a)和末態(tài)(d)分別與圖3的(a)與(d)相同，經(jīng)歷的過程不同.先反演圖4(b)圖，再繞y軸轉(zhuǎn)90°至圖4(c)圖，再繞x軸轉(zhuǎn)90°.除了轉(zhuǎn)動，還有反演或反射，正是反演(反射)的存在，導致變換規(guī)律的變化，從而C不是矢量.同時還可發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)動的次序是不變的，都是先繞y軸轉(zhuǎn)，再繞x軸轉(zhuǎn)，否則圖3和圖4不能得到一致的結(jié)果.

把反對稱張量退化成一個矢量來表示，當存在反演(或反射)時，坐標系的螺旋性必定發(fā)生變化，變換規(guī)律也一定發(fā)生變化，所以它不是一個真矢量，是一個贗矢量.這就是轉(zhuǎn)動矢量不是真矢量、矩陣乘法運算不對易的本質(zhì)原因：空間對于轉(zhuǎn)動，有左旋和右旋的區(qū)別.

圖3 aij對應的坐標變換1

圖4 aii對應的坐標變換2

4 結(jié)論與展望

文獻1中兩個例子：有限轉(zhuǎn)動和無限小轉(zhuǎn)動，恰好是前者改變了螺旋性，后者沒有，所以得到前者不是矢量、后者是矢量的結(jié)論.在有限轉(zhuǎn)動例子中，若按順序輪換x→y、y→z、z→x式的轉(zhuǎn)動，即先繞x軸，再繞y軸，或先繞y軸，再繞z軸，或先繞z軸，再繞x軸，所得結(jié)果就會完全一致了.

對此，嚴格地講矢量加法的交換性對轉(zhuǎn)動不能成立.應該讓學生明白，轉(zhuǎn)動張量或矩陣乘法不對易的根本原因是：空間對轉(zhuǎn)動具有右手螺旋和左手螺旋差異.

弄清物理本質(zhì)是物理教學的核心要義，只有在弄清物理本質(zhì)的基礎上，學生才可能對物理問題進行深層次地思考與創(chuàng)新，而不是簡單地只對計算結(jié)果的認同.