一種安培環(huán)路定理的講法

耿志浩

(北京化工大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100029)

在常見(jiàn)的物理教材中，處理安培環(huán)路定理證明的方法，通常有三大類：第一類[1]是僅針對(duì)無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)進(jìn)行證明，然后將結(jié)論直接推廣到任意形狀閉合載流導(dǎo)線的情形，第二類[2,3]是變換畢薩定律積分形式，應(yīng)用立體角的概念理解和計(jì)算安培環(huán)路積分；第三類[4]是利用場(chǎng)論方法，由B=×A在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格推出×B=μ0J，從而給出安培環(huán)路積分.但在面向非物理專業(yè)的大學(xué)物理教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，大都采用第一類方法對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行證明，之所以如此，是因?yàn)榻虒W(xué)實(shí)踐活動(dòng)與學(xué)生在這三類方法的數(shù)學(xué)接受程度之間，始終存在矛盾.

第一類方法數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，但在物理直覺(jué)上說(shuō)服力不強(qiáng)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)該定理理解不深.第三類方法嚴(yán)謹(jǐn)，但數(shù)學(xué)明顯超出需要.第二類方法嚴(yán)謹(jǐn)，以文獻(xiàn)[2]所展示的證明過(guò)程為代表，在數(shù)學(xué)上也是一種可行的講法，但從筆者以及幾個(gè)兄弟院校的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，要讓學(xué)生理解任意電流回路沿著任意閉合回路所掃過(guò)的面對(duì)某點(diǎn)的立體角為4π，也并非易事.其中可能涉及到引入立體角的梯度、任意電流回路所掃過(guò)的閉合曲面怎么畫(huà)，以及套連時(shí)如何判斷立體角的變化等問(wèn)題，其對(duì)學(xué)生空間想象能力和學(xué)時(shí)的要求很高，實(shí)際教學(xué)中能聽(tīng)懂的學(xué)生并不多.

本文在這里提出一種結(jié)合第一類和第二類方法特點(diǎn)的新講法，其物理直覺(jué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)的難易程度均介于兩者之間，即將證明“無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線和任意形狀安培環(huán)路的特例”改為證明“任意形狀平面載流線圈和矩形安培環(huán)路的特例”.筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐反復(fù)實(shí)驗(yàn)了該方法，證明簡(jiǎn)單，耗費(fèi)學(xué)時(shí)少，學(xué)生感到直觀易理解，供同仁們參考.

1 安培環(huán)路定理的講法

如圖1，設(shè)通有電流I的閉合平面載流線圈l1，電流方向用dl1標(biāo)示，另有垂直于線圈的矩形安培環(huán)路ABCD，記為l2，回路方向用dl2標(biāo)示，l1與l2形成套連關(guān)系.

根據(jù)畢薩定律，將磁場(chǎng)對(duì)l2的回路積分表示為

(1)

其中er為dl1指向dl2的單位矢量，r為dl2與dl1之間的距離。根據(jù)等式(A×B)·C=(C×A)·B，將式(1)變?yōu)?/p>

(2)

圖的幾何意義

(3)

圖的幾何意義

(4)

該總面元?jiǎng)t如圖3，由于假設(shè)的是平面載流線圈l1和垂直方向的矩形安培環(huán)路l2，故整個(gè)載流線圈l1所掃過(guò)的面元形狀是圖3中的左右兩個(gè)柱面的側(cè)面以及上下底面，且可根據(jù)(-dl2)×dl1判斷各個(gè)具體面的面元方向.

1) 在上下底面處，兩個(gè)柱面之間的部分(即圖3中最深色面元部分)，在線圈掃過(guò)時(shí)，會(huì)由于線圈左右兩側(cè)重復(fù)掃過(guò)該區(qū)域，且掃過(guò)的面元方向相反而抵消，故線圈掃過(guò)的全部面元對(duì)P點(diǎn)立體角有貢獻(xiàn)的只有左右兩個(gè)柱面的全部外表面.

圖的幾何意義

2) 左側(cè)柱的外表面對(duì)P點(diǎn)形成立體角時(shí)，面元法向方向全部指向柱的內(nèi)側(cè).

3) 右側(cè)柱的外表面對(duì)P點(diǎn)形成立體角時(shí)，面元法向方向全部指向柱的外側(cè).

由于左側(cè)柱不包含P點(diǎn)，所以左側(cè)柱外表面對(duì)P點(diǎn)立體角的貢獻(xiàn)為0，而右側(cè)柱包含P點(diǎn)，所以右側(cè)柱外表面對(duì)P點(diǎn)的立體角的貢獻(xiàn)為4π，故總立體角Ω=4π，代入式(4)，得

∮l2B·dl2=μ0I

(5)

容易看出，若載流線圈l1與安培環(huán)路ABCD沒(méi)有形成套連關(guān)系，比如將環(huán)路ABCD向右平移使其與線圈l1不相套連，則P點(diǎn)將完全不會(huì)被左右柱面包圍，此時(shí)總立體角Ω=0，可得

∮l2B·dl2=0

(6)

然后，可向?qū)W生表明，雖然該證明取的是矩形安培環(huán)路，但若將矩形回路彎曲一下，變?yōu)槿我庑螤畹陌才喹h(huán)路，該結(jié)論仍然成立.至此，定理講完.

2 總結(jié)

在面向非物理專業(yè)的大學(xué)物理教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，本文提出采用一種新的特例，即“任意形狀平面載流線圈和矩形安培環(huán)路”的特例，來(lái)講解安培環(huán)

路定理.該方法，一方面對(duì)立體角的數(shù)學(xué)論述更少，另一方面向一般情形的推廣，也從物理直覺(jué)上更易讓學(xué)生接受，更能加深學(xué)生的理解.筆者的教學(xué)實(shí)踐表明，該方法操作簡(jiǎn)單可行，可供大家參考.