電荷投影法在研究無限長導體薄板電荷分布規律中的應用

周群益，莫云飛，周麗麗，侯兆陽

(1. 廣州理工學院，廣東 廣州 510540；2. 長沙學院 電子信息與電氣工程學院，湖南 長沙 410022；3. 贛南醫學院 醫學信息工程學院，江西 贛州 341000；4. 長安大學 理學院應用物理系，陜西 西安 710064)

當無限長帶電薄板均勻帶電時，容易推導三維空間電場強度的公式.通過分析和作圖可以發現：均勻帶電薄板表面場強的切向分量不為零，因而這種薄板不是導體[1].

熊建平老師利用均勻帶電球面的電荷投影法推導了導體圓形薄板電荷分布的面密度公式[2]，白占武老師進一步推導了導體橢圓形薄板電荷分布的面密度公式[3].我們利用無限長均勻帶電圓柱面在水平面上的投影，推導了寬度等于圓柱直徑的無限長導體薄板的電荷面密度公式.根據導體表面是等勢面和導體薄板的邊界條件，證明電荷密度公式是唯一的.由此計算出了空間的電勢和場強等一系列結果并做了可視化處理.

1 無限長導體薄板的電荷面密度分布規律

設一個半徑為L的無限長均勻帶電圓柱面，其電荷面密度為σ0.圓柱面的截面如圖1所示，z方向垂直平面向外，代表軸線方向.圓柱面沿z方向的線電荷密度為

λ=2πLσ0

(1)

在柱內任取一點P，過點P作直線與圓周相交于點P1和P2，直線P1P2與Ox軸的夾角是φ，與兩個半徑OP1和OP2的夾角都是α.當直線P1P2繞點P逆時針旋轉角度Δφ時，點P1和P2掃過的弧長分別為Δs1和Δs2，當Δφ為小量時，過點P1和P2垂線與圓弧(切線)之間的夾角近似為α.弧長分別為：

其中，r1和r2分別表示點P到P1和P2的距離.圓柱面上與Δs1對應的無限長面元上沿z方向的電荷線密度為

其在點P產生的電場強度的大小為

(2)

方向沿著P1P2的直線.與Δs2對應的無限長面元上沿z方向的電荷線密度為

其在點P產生的電場強度的大小同樣為

(3)

方向沿著P2P1的直線.ΔE1和ΔE2在點P產生場強大小相等，方向相反，因而合場強為零.由推導過程可知：不論角φ怎么變化，上述結論均成立.因此，點P處的場強為零.與用高斯定理得到的結論一致，圓柱面是等勢面，圓柱體是等勢體.

圖1 無限長均勻帶電圓柱面的橫截面

將圓柱面上過點P1和P2的沿z方向的無限長直線投影到Oxz平面，分別與x軸交于點P′1和P′2，如果令P′1和P′2處的無限長面元的線電荷密度還是Δλ1和Δλ2，則它們在點P產生的場強分別為：

(4)

(5)

設P′1到原點的距離OP′1為l，那么投影的長度為Δl=Δs1sinθ, 考慮到上下兩個半柱面，因此，投影的電荷面密度為

(6)

這是等勢面(Oxz平面)上的電荷分布規律.

在Oxz平面上沿x軸取線元dl，則寬度為dl的無限長面元上電荷沿z方向的線密度為

(7)

Oxz平面上寬為2L的無限長平面電荷沿z方向的線密度為

這正好是式(1)的結果.根據上述分析，結合唯一性定理可知：無限長導體薄板與直徑等于薄板寬度的無限長均勻帶電圓柱面沿z方向的電荷線密度是相同的.式(6)就是無限長帶電荷導體薄板的面密度.等勢面上的場強只有垂直分量.

2 無限長帶電導體薄板的電勢和場強

線電荷密度為λ的無限長直線電荷的電勢為

(8)

其中，r0是由電勢零點確定的距離.

如圖2所示，在無限長帶電導體薄板的Oxy橫截面上取一個線元dl，寬度為dl的無限長面元的線電荷密度由式(7)決定，產生的電勢為

r是場點P(x,y)到線元的距離：

(9)

因此，導體薄板在空間產生的電勢為

(10)

這個定積分沒有精確的解析解，只能求數值解.

圖2 無限長帶電導體薄板的橫截面和電勢

場強的x分量為

(11)

場強的y分量為

(12)

這兩個定積分也沒有精確的解析解，只能求數值解.

當x=0時，可得中垂線上的電勢和場強分量:

(13)

(14)

(15)

當y=0且|x| >L時，可得板平面上板外的電勢和場強分量：

(16)

(17)

Ey(x,0)=0

(18)

當y=0且|x|

設l=Lsint，則dl=Lcostdt，板中心的電勢為

無論是用手工還是用MATLAB都可以證明：

因此

(19)

由于導體是等勢體，所以U(0,0)也是薄板的電勢.板平面內的場強為零.利用式(6)，可得導體板表面場強的大小：

Ex(x,0) =0

(20)

(21)

場強在導體上表面的方向向上，在下表面的方向向下.在x=0處，薄板兩個表面在中心處場強的大小為

Ey(0,0)=4πkσ0

(22)

各處合場強大小和方向分別為

(23)

3 電勢和場強公式的無量綱化

取L為長度單位，取σ0為面電荷密度單位，則導體薄板的無量綱的電荷密度，即：相對電荷面密度為

(24)

其中，l*=l/L.

取無限長均勻帶電薄板的中心為電勢零點，可得r0=L/e[1].取U0=kλ=2πLkσ0為電勢單位，由式(8)可得無限長直線電荷的無量綱電勢，即：相對電勢為

(25)

其中，r*=r/L.取無量綱的坐標為

x*=x/L，y*=y/L

(26)

則導體薄板的無量綱的電勢為

(27)

設E0=2πkσ0，顯然，E0=U0/L.取E0為場強單位，則無量綱的場強分量，即相對場強的分量為

(28)

(29)

中垂線和板平面上的電勢和場強也可以做無量綱化處理.

當定積分沒有解析解時，可以用數值積分計算其值.導體的無量綱的電勢為

(30)

導體板表面無量綱的場強為

(31)

(32)

此式與無量綱的電荷面密度在數值上是相等的.

無量綱的合場強大小和方向分別為：

(33)

將公式無量綱化就能做純數值計算.利用Matlab的指令plot和surf可畫出曲線和曲面[4].

4 電勢和電場的可視化

1) 如圖3 之上圖所示，無限長帶電導體薄板的電荷面密度σ(l)在圓心處最小，隨著距離|l|的增加而增加；當l→±L時，σ(l)→+∞.這個電荷面密度是均勻分布在柱面上的電荷在板面上投影的結果，由于柱面在板面邊緣附近面積的投影趨于零，所以有σ(l)→+∞(l→±L).如圖3 之下圖所示，在板平面上，包括板內，場強的分量Ey(x,0)為零；在板的上表面，Ey(x,0+)的分布規律與電荷面密度的分布規律是相同的；在板的下表面，Ey(x,0-)的大小與Ey(x,0+)的大小相等，方向相反.

2) 中垂線上的電勢U(0,y)如圖4之上圖所示，帶電導體薄板的電勢在軸線上是尖點.當距離比較大時，中垂線上的電勢分布接近于線電荷的電勢分布.中垂線上的場強分量Ey(0,y)如圖4之下圖所示，軸線上的場強為零，在薄板兩邊的方向相反；當距離比較大時，中垂線上的場強分布接近于線電荷的場強分布.

圖3 電荷密度和板平面場強y分量的分布規律

圖4 中垂線上的電勢和場強

3) 板平面的電勢U(x,0)的曲線如圖5之上圖所示，無限長帶電導體薄板在板面的電勢是常數，說明導體表面是等勢面.當距離比較大時，板平面上的電勢接近于線電荷的電勢.板平面上的電場分量Ex(x,0)如圖5之下圖所示，板內的場強為零，板外兩邊場強的方向相反.當距離比較大時，板平面上的場強接近于線電荷的場強.

圖5 薄板平面上的電勢和場強

4) 電荷的電勢U(x,y)分布面如圖6所示，無限長帶電導體薄板的電勢是水平線，說明表面是等勢面；離電荷越遠，其電勢就越小.

圖6 電勢分布面

5) 電場的x分量Ex(x,y)的曲面如圖7所示，帶電導體薄板的Ex(x,y)在(±L,0)處的“峰”較高，而“谷”較深，這是因為電荷面密度在兩處較大.

圖7 場強的x分量的分布面

6) 電場的y分量Ey(x,y)的曲面如圖8所示，板內的Ey為零，板前后兩面的Ey形成了弧形的“峭壁”，這是因為板兩面的Ey方向相反，而在(±L,0)處的Ey較大.

圖8 場強y分量的分布面

7) 合場強E(x,y)的曲面如圖9所示，(0,0)處是鞍點；合場強在中垂線附近比較小，在板平面附近比較大，在(±L,0)處有兩個尖銳的“峰”.

圖9 合場強的分布面

8) 合場強E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如圖10所示，α在x>L的正軸上為零；α在y的正軸上為90°；α在y的負軸上為-90°；α在x<-L的負軸上發生從180°到-180°的跳躍，這是因為180°和-180°是同一個角度；α在-L

圖10 場強方向的分布面

9) 帶電導體薄板的等勢線和電場線如圖11所示，盡管薄板表面的場強不是均勻的，為了簡單起見，電場線的起點仍然均勻取在薄板的表面上；電場線垂直于薄板，等勢線包圍薄板，與電場線垂直.在較遠處，等勢線接近于圓，電場線接近直線.

圖11 無限長帶電導體薄板的等勢線和電場線

5 結束語

利用無限長均勻帶電圓柱面的投影計算無限長帶電導體薄板的電荷面密度，這是一種巧妙的幾何方法.根據曲線可以顯示電荷的分布規律，利用曲線還能顯示中垂線和板平面的電勢和場強的分布規律，利用曲面可以顯示電勢和場強的一般分布規律.利用電場線和等勢線可以驗證導體表面的面電荷分布的正確性.

利用本文的方法和結果可以深入討論導體平行板電容器的電勢和電場以及能量的分布規律.