硬幣“跳舞”的動(dòng)力學(xué)分析

胡 立

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

跳舞的硬幣是2018年國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT2018)的一道賽題，題目翻譯為：拿一個(gè)非常冷的瓶子，把一枚硬幣放在瓶口.過(guò)一會(huì)兒你會(huì)聽(tīng)到聲音，并看到硬幣運(yùn)動(dòng).本文要解釋這個(gè)現(xiàn)象，并探究相關(guān)參數(shù)是如何影響硬幣“舞蹈”的.

到目前為止，已有不少論文從熱力學(xué)的角度對(duì)該題進(jìn)行了分析[1,2].認(rèn)為硬幣“跳舞”是因?yàn)槠績(jī)?nèi)冷空氣被外界環(huán)境加熱，氣體溫度升高過(guò)程中壓強(qiáng)也升高，到一定程度可以使硬幣一端翹起，同時(shí)還研究了硬幣“跳舞”的周期性.然而，鮮有研究者從動(dòng)力學(xué)角度入手，針對(duì)單次跳動(dòng)過(guò)程中硬幣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行討論.

基于力學(xué)常識(shí)，我們可以先對(duì)硬幣跳動(dòng)的過(guò)程做一定性分析.硬幣有一條旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的軸線，圓環(huán)狀的瓶口也有一條旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的軸線，倘若我們將硬幣放置在瓶口時(shí)兩者的中心軸線是重合的，在瓶?jī)?nèi)氣壓升高推動(dòng)硬幣向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中硬幣應(yīng)該是被整個(gè)抬起.然而，實(shí)驗(yàn)中觀察到的硬幣跳動(dòng)過(guò)程卻都是一端翹起，繞著過(guò)硬幣另一端的水平軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).這是因?yàn)槲覀冊(cè)诜胖糜矌诺倪^(guò)程中并不能保證硬幣和瓶口兩者軸線完全重合，總會(huì)有一個(gè)放置誤差Δx，導(dǎo)致在瓶?jī)?nèi)氣壓升高時(shí)硬幣更傾向于繞著遠(yuǎn)離瓶口中心的一端作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

本文嘗試從硬幣的放置誤差入手，對(duì)硬幣單次“跳舞”過(guò)程進(jìn)行分析，并就放置誤差對(duì)硬幣翹起高度的影響做進(jìn)一步探討.

1 理論模型與硬幣的運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示，我們可以構(gòu)建這樣一個(gè)模型：設(shè)瓶口內(nèi)徑為2r，一元硬幣的半徑為R，過(guò)程中硬幣翹起的角度為θ，硬幣的質(zhì)量為m，水的表面張力系數(shù)為σ.

圖1 硬幣“跳舞”的示意圖

初始時(shí)刻，硬幣水平地靜止在瓶口，其邊緣與瓶口接觸區(qū)域有一層薄薄的液膜，隨后在內(nèi)部氣壓的作用下，硬幣更靠近瓶口中心的一端迅速向上翹起，翹起至特定高度時(shí)，硬幣與瓶口間的液膜破裂，瓶?jī)?nèi)外氣體快速交換(此過(guò)程可視為絕熱膨脹)[2]，瓶?jī)?nèi)壓強(qiáng)降低，導(dǎo)致硬幣受到的向上的支持力減小，硬幣轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度方向變?yōu)橐耗て屏亚暗南喾捶较?

硬幣在液膜破裂前的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受到3個(gè)力提供力矩：豎直向下的重力、垂直于硬幣表面向上的支持力以及垂直于硬幣表面向下的表面張力[3].由于放置誤差的存在，硬幣受到的向上的支持力對(duì)應(yīng)的力臂是(R+Δx)，硬幣的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中I表示硬幣繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，p1表示液膜破裂前硬幣翹起的短時(shí)間內(nèi)瓶?jī)?nèi)外氣體壓差.由于硬幣可近似為薄圓盤(pán)，故其繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[3]

(2)

在液膜破裂后的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，硬幣的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中p2表示液膜破裂，內(nèi)外氣體交換后的短時(shí)間內(nèi)瓶?jī)?nèi)外氣體壓差(后續(xù)實(shí)驗(yàn)表明p2≠0).硬幣翹起高度可表示為H=2Rsinθ.

2 實(shí)驗(yàn)裝置與方法

圖2是主要的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖.其中有采用亞克力材料自行制作的瓶子，并在其內(nèi)部插入采樣率為2 Hz、分辨率為0.1 Pa的壓強(qiáng)傳感器(插入壓強(qiáng)傳感器是為了探測(cè)硬幣“跳舞”過(guò)程中瓶?jī)?nèi)壓強(qiáng)的變化，尤其是瓶?jī)?nèi)外氣體交換前后的壓強(qiáng)，為數(shù)值計(jì)算提供必要參數(shù)).

實(shí)驗(yàn)時(shí)，將冷卻后的瓶子連同壓力傳感器置于溫度均勻的室內(nèi)桌面上，按一定的放置誤差Δx放置好硬幣，并采用高速攝像機(jī)對(duì)硬幣運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行錄制.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)裝置的參數(shù)為：R=12.5 mm,r=10.00 mm,m=6.05 g,水的表面張力系數(shù)σ≈72×10-3N/m.

實(shí)驗(yàn)主要分為兩部分，一是記錄硬幣翹起高度隨時(shí)間的變化，二是測(cè)量瓶?jī)?nèi)的壓強(qiáng)變化，特別是硬幣運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的壓強(qiáng)變化.因?yàn)橐耗て屏押笃績(jī)?nèi)外氣體交換十分迅速，我們可以將液膜破裂前硬幣上升過(guò)程中瓶?jī)?nèi)外壓差p1視為常量，液膜破裂后短暫時(shí)間內(nèi)瓶?jī)?nèi)外壓差p2視為常量.

由圖3可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)外氣體交換后瓶?jī)?nèi)外壓差并不為零，這與一般文章所認(rèn)為的“絕熱膨脹后內(nèi)外等壓”并不相符.另外，由于壓強(qiáng)傳感器采樣率為2 Hz的限制，我們并不能測(cè)量出硬幣舞動(dòng)過(guò)程中微小時(shí)間段內(nèi)瓶?jī)?nèi)外壓差變化的確切數(shù)值，但可以選取多次測(cè)量的極值分別作為p1和p2.顯然，測(cè)量次數(shù)越多，所得極值越逼近真實(shí)值.經(jīng)過(guò)多次測(cè)量，最終測(cè)得p1=196 Pa，p2=61 Pa.

圖3 硬幣連續(xù)跳動(dòng)時(shí)瓶?jī)?nèi)外壓差p與時(shí)間t的關(guān)系曲線

同時(shí)，多次實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，在不同的放置誤差下，硬幣翹起過(guò)程中液膜總是在同一高度H0=0.82 mm破裂，這也將成為數(shù)值計(jì)算時(shí)液膜破裂時(shí)間的重要判斷依據(jù).

3 結(jié)果與分析

如圖4所示，在給定放置誤差Δx=0.7 mm的情況下，隨著時(shí)間t的增大，硬幣翹起高度H先升高后降低，且理論與實(shí)驗(yàn)符合得較好.

圖4 硬幣翹起高度H與時(shí)間t的關(guān)系曲線

同時(shí)，實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的全過(guò)程時(shí)間比較短，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)過(guò)程中液膜破裂并不完全，瓶口與硬幣的接觸部分仍有一部分殘留的液膜.倘若在理論模型中的液膜破裂后運(yùn)動(dòng)過(guò)程也加入部分表面張力，則理論模型的全過(guò)程時(shí)間會(huì)更接近實(shí)驗(yàn)測(cè)定值.

圖5 等差地改變放置誤差Δx時(shí)H與t的理論關(guān)系曲線

在圖5中，等差地改變放置誤差Δx，發(fā)現(xiàn)硬幣所能達(dá)到的最大高度Hmax隨著Δx的增大而增大.這與我們的物理直覺(jué)是相符的，放置誤差越大，瓶?jī)?nèi)壓強(qiáng)提供的向上支持力力臂(R+Δx)越大，硬幣翹起的角加速度就越大，硬幣更容易翹起且翹起更快，進(jìn)而在液膜破裂時(shí)積累了更大的角速度，能夠達(dá)到的最大高度Hmax也隨之增大.

3 結(jié)論

本文通過(guò)提出“放置誤差”這一重要概念，從動(dòng)力學(xué)的角度，對(duì)硬幣“跳舞”的過(guò)程進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出硬幣運(yùn)動(dòng)的二階常微分方程，通過(guò)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)硬幣翹起的最大高度與轉(zhuǎn)動(dòng)全程時(shí)間都與放置誤差存在密不可分的聯(lián)系.放置誤差越大，硬幣翹起的最大高度就越大，轉(zhuǎn)動(dòng)全程所花的時(shí)間越少，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的正確性.