淺談數形結合思想在初中數學教學中的應用

黃 莉

(江蘇省蘇州市吳江區震澤初級中學 江蘇 蘇州 215000)

在初中數學的教學目標中,培養學生感受數形結合的思想是很重要的,從初一的數軸開始到初三的函數,在這些知識的學習過程中時刻滲透著數形結合的思想方法。我國著名數學家華羅庚曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微；數形結合千般好,隔離分家萬事休。”故而在探索數學問題的過程中,要有意培養學生由數思形,見形思數,并善于應用數形結合的方法來解決數學中的實際問題[1]。

1.在數軸上的應用

數軸是數與圖形聯系的紐帶,在引入負數之后,為了形象的描述一個數,就可以用數軸上的點表示數,在數軸上的數是按照一定順序排列的,通過數軸上兩個數表示的點的位置關系,就可以判斷這兩個數的大小。在蘇教版七年級上冊2.3數軸中,例如：利用數軸比較-0.5和-3.5大小,此時可以讓學生在數軸上先描出表示-0.5和-3.5這兩個負數的點,觀察兩點的位置,通過在數軸上右邊的數總比左邊的數大,故而得到-0.5>-3.5,在這里借助數軸讓學生初步感受數形結合的思想。

通過數軸可以比較兩個具體數的大小,也可以比較兩個抽象數的大小,例如：點A、B在數軸上的位置如圖1所示,它們分別表示數a、b。將a、b、1、-1四個數按從小到大的順序排列起來；如將點B向右移動3個單位后,再將a、b、1三個數按從小到大的順序排列起來．本題中a、b、-1在數軸上如圖2直觀的可以看到, 通過數-1的位置通過數軸找到其相反數1的位置是本題的關鍵, 繼而得到b<-1< 1

在蘇教版七年級上冊2.4絕對值與相反數的第一課時中, 通過小明家和小麗家分別在學校的正西方3km和正東方2km, 上學所花的時間與他們家到學校的距離有關的這個實際生活中的問題引入了絕對值的概念, 讓學生更容易理解絕對值的意義。實際上為了讓學生更好的掌握絕對值, 需讓學生理解一個數是由符號和“數值”表示出來的, 其中符號代表的是在原點的左邊還是右邊, “數值”則是與原點之間的距離, 那么這個距離就是絕對值. 例如: -3.5的符號“-”代表的是在原點的左邊, 數值3.5代表的是與原點的距離是3.5, 在數軸上可以很清晰的畫出點到原點的距離, 從而讓學生明白-3.5的絕對值為3.5。通過數值讓學生更容易學會絕對值的應用,充分的體驗了數形結合思想在學習中的作用[2],并提升了學生對相關知識的自主探索的能力。

在蘇教版七年級下冊11.2不等式的解集中,把不等式的解集表示在數軸上,可以讓學生直接觀察到不等式的解集有無數多個。在蘇教版七年級下冊11.6一元一次不等式組中,眾所周知的一元一次不等式組的解集規律：同大取大, 同小取小, 大小小大取中間, 大大小小是無解[3]。此規律則是通過數軸得來的, 首先要將兩個一元一次不等式的解集都表示在同一個數軸上, 通過數軸找到并畫出兩個一元一次不等式解集的公共部分, 從而得到了一元一次不等式組的解集．在此過程中利用數軸讓學生充分掌握一元一次不等式組的解集的表達, 親身體驗數形結合思想在不等式中的應用, 為之后的學習奠定基礎。

2.在幾何問題上的應用

幾何是數學上對“形”研究的一個很重要的方面,因相比數量關系更能形象的展現出來,因此在幾何問題上應用數形結合的思想,讓學生加深對有關圖形的認識,并養成學生保持研究性學習的良好習慣,發展了學生的空間觀念,提高學生的邏輯思維能力、分析問題和解決與幾何有關問題等能力。

在蘇教版七年級下冊9.3多項式乘多項式中,例如：計算(a+b)(a+2b)時,可看為計算長是a+b,寬是a+2b的長方形的面積,如下圖：

其中①②⑥是長為a,寬為b,面積為ab的長方形,③是面積為a2的正方形,④⑤是面積為b2的正方形,所以①②③④⑤⑥的面積總和為a2+3ab+2b2,即(a+b)(a+2b) =a2+3ab+2b2, 通過利用不同的方法計算同一個圖形的面積來引導學生掌握多項式乘多項式的法則, 從形的方面直觀的體現出幾何美,并加深學生對法則的認識,提高了學生學習的積極性.在蘇教版七年級下冊9.5因式分解中,用拼圖的方式來加深學生對于因式分解的理解,明白最后的結果一定是乘積的形式.例如:因式分解a2+3ab+2b2,可借用上圖的矩形,發現矩形的面積可以用(a+b)(a+2b)來表示,即a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b).在這個過程中讓學生明白整式乘法和多項式的因式分解的聯系。

3.在函數上的應用

初中階段學習的函數包括一次函數,反比例函數,二次函數和銳角三角函數等。函數是揭示了事物的變化規律的一種有效手段,也是研究運動變化的數學模型,通過函數可以表達并探索具體問題的數量關系及變化規律,讓學生充分的體會到數量和圖形兩者之間的聯系,更深層次的感受到數形結合的思想[4]。

在蘇教版九年級下冊5.2二次函數的圖像與性質中,要引導學生利用數形結合的方法解決比較函數中的參數大小。例如:二次函數y=(x-a)(x-b)-2(a

在數軸、幾何、函數等章節的教學過程中,引導學生要善于利用數形結合的方法去思考問題,并在思想上讓學生潛移默化的感受到數形結合的思想,加深學生對數形結合思想在解題時能夠讓過程更簡潔的印象,故而可以更有效的掌握所學的知識,拓寬學生的數學思維,對學生今后的發展有一定的幫助。