多項式曲面擬合法在GPS高程擬合精度分析中的應用研究

張建威，李 江

(1.河南能源化工集團 永煤公司車集煤礦，河南 永城 476600；2.河南能源化工集團 永煤公司，河南 永城 476600)

GPS測量技術在地質(zhì)測量應用越來越廣泛，但是GPS測量高程的基準面是參考橢球面，是以GPS大地高作為標準的高程。我國測量高程系統(tǒng)是正常的高程系統(tǒng)(基準面為大地水準面)，因此，GPS測量技術不能直接應用于測量系統(tǒng)中。為了轉(zhuǎn)換大地高為正常高，國內(nèi)外學者進行了很多研究，文獻[1]對多項式曲面擬合和BP神經(jīng)網(wǎng)絡GPS高程擬合方法進行了比較研究，使用多項式曲面擬合法以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡法對地質(zhì)高程數(shù)據(jù)進行了分析、處理，然后對精度指標進行計算，最后，對擬合方法、擬合點的數(shù)量、擬合點的分布對精度的影響進行了分析。研究得出，在點的數(shù)量較多且分布都相對均勻的情況下，二次多項式曲面擬合法的擬合精度低于BP神經(jīng)網(wǎng)絡法的擬合精度；在點的數(shù)量較少且分布都相對均勻的情況下，二次多項式曲面擬合法的擬合精度高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡法的擬合精度。張紅華等[2]對GPS高程擬合方法及精度進行了分析，主要研究了加權平均法、多面函數(shù)法和二次多項式法，然后采用Matlab編程實現(xiàn)高程異常的曲面擬合。

本文主要采用多項式曲面擬合法，對GPS高程擬合精度分析進行了研究，并驗證了該方法的實用性和可靠性。

1 多項式曲面擬合法

如GPS高程點布設在一定范圍內(nèi)時，采用數(shù)學擬合的方法對定點的正常高進行求解。根據(jù)測點區(qū)域內(nèi)已知的高程異常值和大地坐標(平面坐標)，使用數(shù)學模擬法得出待定點的正常高[3-5]。

假如點的ξ與平面坐標(x，y)存在以下關系：

ξ=f(x，y)+ε

(1)

式中，ε為誤差；f(x，y)為ξ的趨勢值。

設：f(x，y)=a0+a1+a2y+a3x2+a4y2+a5xy+…，則變換為矩陣形式：

ξ=XB+ε

(2)

已知每個已知坐標點，采用最小二乘法原理，當∑ε2=min的條件下，B=(XTPX)-1(XTPξ)。

解出各ai，根據(jù)式(2)求解出待定點ξ，從而求出待定點的正常高。

1.1 二次曲面擬合方法

把高程異常視為一定區(qū)域內(nèi)各點坐標的曲面函數(shù)，根據(jù)已知的GPS高程異常點，采用二次曲面擬合方法，求解出函數(shù)的擬合系數(shù)，從而得出該區(qū)域的點平面坐標和高程異常的函數(shù)。最后，根據(jù)二次曲面擬合方法求解出其他點的正常高[6-7]。

設區(qū)域內(nèi)某點(x，y)的高程異常為ξ(x，y)，測區(qū)內(nèi)已知點為m個，平面坐標(x，y)利用二次多項式表達式為：

ξ(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x3+a4xy+a5y2

(3)

當ξ(i)=Hi-hi，i=1，2，3，…，m時，采用平差原理，列出n個誤差方程式：

根據(jù)最小二乘原理，求解得出：A=(a0a1a2a3a4a5)T。

1.2 三次曲面擬合方法

三次曲面的形式[8-9]：

ξ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+a7xy2+a8x3+a9y3

(5)

使用平差原理，得出n個誤差方程式：

根據(jù)最小二乘原理，求解得出：A=[a0a1a2a3a4a5a6a7a8a9]T。

目前多項式曲面擬合法是GPS高程擬合的熱點，該方法能夠快速、有效提高GPS高程轉(zhuǎn)換精度，也能降低外業(yè)測量的難度。

2 測量精度

為了能夠準確地對GPS的精度進行評定，適當?shù)卦黾右阎狦PS聯(lián)測點，并使其他點均勻分布在全網(wǎng)[10-12]。

(7)

式中，n為檢核點數(shù)。

(8)

式中，n為V的個數(shù)。

(3)GPS水準精度測定。①采用GPS水準對GPS的正常高程差進行求解，在已知點中組成閉合或符合高程導線，然后，對比分析閉合差W和允許殘差(表1)，從而對GPS水準的精確性進行衡量；②假設已知點和檢核點的距離為L，按照表1對檢核點擬合殘差的限值進行計算，來評定GPS水準達到的精度[13-15]。

表1 GPS水準限差

(4)外圍點的精度估算。對于外圍點，采用外推計算GPS水準，外推點的殘差V的估算式：

V=a+cD

(9)

式中，D為最近已知點到待求點的距離。

根據(jù)表1估算精度，為了某個外圍點趨于某一精度，對V值進行確定。

3 高程擬合流程

本文采用Matlab軟件，對高程擬合進行處理，Matlab軟件的主要功能：①Smulnk動態(tài)仿真；②文字處理；③數(shù)據(jù)可視化和分析；④符號計算；⑤數(shù)值計算。

Matlab軟件的優(yōu)點：①降低了人工處理的強度和難度；②提升了作業(yè)效率；③減小了誤差。基于Matlab軟件的高程擬合流程如圖1所示。

圖1 基于Matlab軟件的高程擬合流程

4 測區(qū)驗證

4.1 試驗區(qū)域和計算方案

(1)測區(qū)情況。為了確保GPS高程測量精度，在測區(qū)內(nèi)布置多數(shù)二級GPS控制點，聯(lián)測了19個三等水準點，采用高程擬合對控制點的正常高進行求解。然后，以三等水準點作為基礎，對21 km四等幾何水準點進行了實測，并且該水準路線通過了二級GPS點。

試驗區(qū)域的控制點布置如圖2所示，圖2中有19個點作為水準聯(lián)測點。

圖2 試驗區(qū)域的控制點布置

(2)高程擬合精度研究。為了研究起算點和高程擬合精度的擬合方法、起算點數(shù)量和空間分布的關系，采用了3種計算方案。①方案一：選取測網(wǎng)中均勻分布的19個水準點實行平面擬合。②方案二：選取測網(wǎng)中面積相對較大但是分布不均勻的15個水準點實行平面擬合。③方案三：選取測網(wǎng)中一半的11個水準點實行平面擬合。

4.2 高程擬合精度分析

3種方案下的高程擬合精度分析結(jié)果見表2。

表2 高程擬合精度分析結(jié)果

由表2可知，由于起算點的數(shù)量和分布，方案二的擬合精度顯著高于方案三的擬合精度。方案一的擬合精度高于方案三的擬合精度，三次多項式的擬合精度高于二次多項式的擬合精度。

4.3 結(jié)果分析

(1)地質(zhì)高程的擬合精度與擬合地區(qū)的地形，起算點的擬合方法、數(shù)量，起算點的空間分布有著密切的關系。在平坦地區(qū)內(nèi)，優(yōu)選起算點數(shù)據(jù)相對多、分布均勻，三次曲面模型的擬合精度高于二次曲面模型的擬合精度。

(2)多項式曲面擬合模型并非是選擇已知點越多，其擬合精度就會越高，而是根據(jù)模型，在確定一定數(shù)量的擬合點，盡量選擇已知點分布均勻且位于測區(qū)周邊。

(3)多項式曲面模型比較理想，是純粹的數(shù)學模型。在實際過程中，為了提高高程擬合精度，在后期將外界因素考慮進去，會有效降低外業(yè)成本和外業(yè)工作時間，縮短工期，提高勞動生產(chǎn)率。

5 結(jié)論

(1)分析了多項式曲面擬合法在GPS高程擬合中的應用，并得出了根據(jù)已知點求取待求點的正常高的方法。

(2)采用Matlab軟件，分析和研究了地質(zhì)高程擬合流程，然后根據(jù)測區(qū)驗證，驗證了多項式方法的使用性、有效性和實用性。