深埋地下結構地震反應分析的局部反應加速度法

許紫剛，杜修力，徐長節,3，吳 曄

(1. 華東交通大學江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，江西，南昌 330013；2. 北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；3. 浙江大學濱海和城市巖土研究中心，浙江，杭州 310058)

21世紀是地下空間開發和利用的大時代，目前地下空間的開發和地下結構的建設已進入快速發展的高峰期[1?2]。長久以來，地下結構被認為受土體約束作用明顯，地震作用不會影響其安全性能，地下結構的早期設計也未對地震作用給予足夠的重視[3]。1995年阪神地震震害調查表明：地下結構同樣面臨十分嚴峻的地震威脅。針對此次地震中出現的大開地鐵車站的整體塌毀破壞，世界范圍內的地震工程領域專家和學者開展了大量的試驗和數值研究，并取得了一系列進展[4?5]。

在地下結構抗震設計方法方面，不僅有嚴格的土-結構整體動力時程分析方法[6?7]，還有實用的簡化分析方法[8]。后者通過靜力學理論近似地解決動力學問題，在一定程度上反映地下結構在地震作用下的受力特點，實用性較強。劉晶波等[8]和許成順等[9]總結了地下結構工程上常用的抗震簡化分析方法，包括地震系數法、自由場變形法、柔度系數法、反應位移法、反應加速度法以及Pushover分析方法，并結合具體工程實例探討了各簡化分析方法與整體動力時程分析方法計算結果之間的差異。其中，反應位移法和反應加速度法具有相對嚴格的理論基礎[10?11]，是目前地下結構抗震設計中應用最為廣泛的方法，也是《城市軌道交通結構抗震設計規范》(GB 50909?2014)[12]推薦采用的方法。針對反應位移法和反應加速度中存在問題和局限性，國內外學者開展了一系列改進研究。李英民等[13]和李亮等[14]改進了反應位移法中地基彈簧剛度的求解問題，進一步簡化了計算過程。劉晶波等[15]提出的整體式反應位移法、陳之毅等[16]提出的整體強制反應位移法、許紫剛等[17]提出的廣義反應位移法和韓潤波等[18]提出的邊界強制反應位移法成功解決復雜斷面地下結構的抗震分析難題。反應加速度法建立土-結構整體分析模型，既可以規避地基彈簧引起的計算誤差，又可以適用復雜斷面形式地下結構，是精度較高的簡化分析方法。劉如山等[19]采用先對一維自由土層反應剪應力沿鉛直向微分，然后再將其作為水平體荷載離散到有限元節點上的加載方法，提高了計算精度。董正方和王君杰[20]通過近似考慮場地影響，對反應加速度法中的地震動參數進行了修正。此外，Liu等[21]將反應加速度法進一步拓展到非線性階段，提出了地下結構的Pushover分析方法。

上述的簡化分析方法多適用于埋深不是很大的地下結構，但當前的城市地下結構逐漸呈現埋深更大化、斷面復雜化、空間立體化等特點，例如我國最大埋深的地鐵車站已達到100 m左右。因此，針對深埋地下結構提出實用性強、精度高的簡化分析方法也是十分必要的。本文在傳統反應加速度法的基礎上，選取結構及其周邊范圍部分土體進行分析，提出局部反應加速度法。采用有限元軟件ABAQUS對某圓形斷面的隧道結構開展數值計算，以動力時程分析方法為基準，對比分析了局部反應加速度法計算結果，驗證了新方法在城市深埋地下結構抗震設計方面的可行性和有效性。

1 傳統反應加速度法

《城市軌道交通結構抗震設計規范》(GB 50909?2014)[12]指出，采用傳統反應加速度法進行隧道或地下車站結構橫向地震反應分析時，計算模型底面可取設計地震作用基準面，并將其作為固定邊界；頂面取地表面，并將其作為自由面；側面邊界到結構的距離取結構水平有效寬度的2倍～3倍，并將其作為水平滑移邊界，如圖1所示。

圖1 反應加速度法計算模型Fig. 1 Calculation model of response acceleration method (RAM)

反應加速度法的基本思想是土-地下結構體系在地震作用下受力以體積力為主，土層與地下結構之間存在著動力相互作用，土層對地下結構的約束作用不可忽略。因此，反應加速度法通過對各土層和地下結構按照其所在的位置施加相應的水平有效慣性加速度來實現整個土-結構體系中施加水平慣性體積力，各土層的有效慣性加速度可通過一維土層地震反應分析獲得。

2 局部反應加速度法

2.1 理論分析

從圖1所示的反應加速度法力學模型可以看出，在水平地震作用下，土-結構體系所受的慣性力可以看作三部分慣性力的組合，即上部土體慣性力、下部土體慣性力以及含結構土體慣性力。當地下結構埋深較大或者基巖面較深時，采用反應加速度法進行地下結構橫斷面抗震設計將需要花費較大的計算代價。例如文獻[22]中盾構隧道埋深為40 m(約隧道直徑的6倍)，地表至計算基巖面的深度為100 m(約隧道直徑的15倍)。若采用傳統的反應位移法，則需要通過多次有限元計算確定彈簧剛度；若采用傳統反應加速度法，則需要確定每一土層單元的加速度值。計算成本較高，文獻[22]雖提出采用復變函數理論求解土體彈簧剛度，但該成果不適用復雜場地條件的情況。

采用傳統的反應加速度法分析深埋地下結構的地震反應時，需首先進行場地地震反應分析，后將所得加速度值施加到每一層土體單元上。這樣不僅需要建立龐大的模型，同時也需要逐層施加土體慣性力，建模過程復雜且計算效率不高。

本節試圖對傳統反應加速度法進行適當的改進，如圖2所示，在結構往上和往下一定位置處分別取兩個隔離面，上、下兩個隔離面則將土-結構體系分成三個隔離體，地表面至上隔離面的區域定義為上部土體、上隔離面至下隔離面的區域定義為含結構土體，下隔離面至計算基巖面的區域定義為下部土體。對三部分隔離體分別進行受力分析：上部土體除受相應位置土層的慣性力以外，還受上隔離面位置的土層剪力；含結構土體除受相應位置土層的慣性力以外，還受上、下兩個隔離面位置的土層剪力；下部土體除受相應位置土層的慣性力以外，還受下隔離面位置的土層剪力。上隔離面對上部土體作用的土層剪力和其對含結構土體作用的土層剪力是作用力與反作用力的關系，兩者大小相等、方向相反，下隔離面處的土層剪力亦是如此。

圖2 反應加速度法受力分析Fig. 2 Force analysis of RAM

2.2 力學模型

為解決復雜斷面地下結構地震反應分析的問題，許紫剛等[17]提出了廣義反應位移法，其計算模型如圖3所示。廣義反應位移法是取結構周邊一定范圍內土體作為廣義子結構，并按傳統反應位移法的地震荷載進行受力分析。由于選取的土體范圍有限，廣義反應位移法也需要和傳統反應位移法一樣在廣義子結構的周邊設置地基彈簧。進一步地，如果廣義反應位移法的土體范圍選的足夠寬，則可以較為真實地反映地下結構所受到的土體約束情況，此時即使不設置地基彈簧也可以獲得較為真實的地震反應。

綜合圖2所示的含結構土體的受力分析和圖3所示的廣義反應位移法計算模型，本節提出局部反應加速度法計算模型，如圖4所示。和傳統反應加速度法模型一致，局部反應加速度法計算模型左、右兩側面邊界到結構的距離取結構水平有效寬度的2倍～3倍(B=2D～3D)，并將其作為水平滑移邊界。結構上、下也各取一定高度范圍內的土體(3.3節將進一步討論計算模型高度的影響)，將模型底面固定，模型頂面自由。需要說明的是，在本文方法中，當分析模型總高度一定時，結構上部和下部土層的厚度取為一致。局部反應加速度法的地震荷載包括模型頂面的土層剪力，結構和局部土體的慣性力。

圖3 廣義反應位移法計算模型Fig.3 Calculation model of generalized response displacement method (GRDM)

圖4 局部反應加速度法計算模型Fig.4 Calculation model of local response acceleration method (LRAM)

2.3 實施步驟

和傳統反應加速度法、廣義反應位移法的實施步驟相比，局部反應加速度法有所差異，其具體實施步驟如下：

1)選取適當的土體計算范圍。根據地下結構橫斷面的實際尺寸選擇結構周邊區域合理范圍的土體作為局部反應加速度法的土-結構體系。

2)求解自由場水平地震反應。采用等效線性化程序SHAKE91或EERA等方法對自由場模型進行水平地震作用下的一維土層地震反應分析，求解局部土體對應高度位置的加速度，以及局部土體頂面位置處的土層剪力。

3)建立局部反應加速度法力學分析模型。按圖4所示局部反應加速度法模型施加步驟2)所確定的地震荷載，進行靜力計算。

從上述局部反應加速度法的力學模型和實施步驟可以看出，該力學模型比廣義反應位移法和傳統的反應加速度法更為簡單。在荷載確定方面，傳統反應加速度法需要確定地表至基巖面處每一層土體單元的加速度值，而本文方法僅需確定結構上、下部一定區域內土體單元的加速度值；在模型建立方面，傳統反應加速度法需要建立整個龐大的有限元模型，而本文方法僅需選取結構周邊一定范圍的土體進行建模。因此，對于深埋地下結構而言，本文方法在計算效率方面要明顯優于傳統反應加速度法。

3 實例驗證

3.1 計算參數

為驗證局部反應加速度法在計算深埋地下結構地震反應的有效性，本節選取某地鐵區間隧道結構進行數值分析。該區間隧道的標準斷面形式為圓形，斷面襯砌外徑為6.2 m，內徑為5.8 m，隧道結構厚度為0.4 m。為便于計算，襯砌環假定為修正后的等剛度環，結構混凝土彈性模量取為30 GPa，泊松比取為0.2，密度為2500 kg/m3。隧道頂部埋深為38.8 m，該場地的土層情況及其物理參數如表1所示。

表1 土層參數Table 1 Physical properties of soils

隧道結構采用梁單元建模，尺寸取為內外徑的中心線，即直徑為6 m。土體采用平面應變單元建模，根據隧道結構的直徑確定土體模型的寬度，左、右兩側距離結構邊緣各取3倍結構直徑，即土體模型的總寬度取為42 m；土體模型的深度方向取值基巖面，即土體模型的總高度取為96 m。土體的動力參數采用典型的砂土和粘土的剪切模量比、阻尼比與剪應變幅的試驗曲線，如圖5所示。此外，在土和結構交界面處，結構節點和土體節點完全粘結，即假定結構與土體兩者之間不發生相對滑移。限于模型高度，圖6僅截取了部分有限元模型，隧道結構共劃分為48個單元，除隧道結構周邊范圍(12m×12m)，土體單元的網格尺寸均為1m×1 m，滿足動力分析要求。

圖5 土體本構曲線Fig.5 Constitutive curves of soil

圖6 部分有限元模型/m Fig.6 Part of the finite element model

在本節開展的數值實驗中基巖輸入地震動選用ElCentro和Loma Prieta兩條地震動，其地震動加速度時程曲線如圖7所示，通過調整輸入地震動加速度幅值使地表處的加速度峰值為0.2g。動力時程分析方法采用杜修力等[23]提出的基于等效線性化方法的整體動力時程分析方法，即不同地震動對應不同的土體等效剪切模量和阻尼比，當進行局部反應加速度法計算時，相應土體的剪切模量也采用和動力時程分析中一致的計算參數。

圖7 地震動加速度時程曲線Fig.7 Acceleration time history curves

3.2 不同部位土體慣性力作用對比

如2.1節所述，傳統反應加速度法的地震荷載按結構所在的位置可以分為三部分慣性力的組合，即上部土體慣性力、下部土體慣性力以及含結構土體慣性力。為了確定各部分慣性力對結構動力響應貢獻率的大小，本節在傳統反應加速度法計算模型的基礎上，分別單獨施加這三部分慣性力，并計算各個荷載工況下結構的反應，包括軸力、剪力和彎矩。

除了討論不同地震動作用以外，本節改變的模型參數還包括圖1所示的含結構土體的模型高度。以結構直徑為基準，設計了6種含結構土體的模型高度，分別為隧道結構直徑的2倍～7倍，含結構土體的模型高度分別為12m、18m、24m、30 m、36 m和42 m。El Centro地震動和Loma Prieta地震動作用下三部分土體慣性力對結構反應貢獻率的對比情況如圖8和圖9所示。從圖8和圖9中看出，相比于上部土體和含結構土體的慣性力作用，下部土體的慣性力對結構內力反應的貢獻較小。當含結構土體的高度為兩倍結構時，上部土體的高度最大，其慣性力作用效果也最為明顯，對結構內力的貢獻率基本在90%左右，隨著上部土體高度的不斷減小，貢獻率也在不斷減小，但從總體分析來看，上部土體的慣性力作用所占比例較大。由圖2可知，上部土體的慣性力可等效成上部土層的剪力，這一部分荷載應重點考慮在局部反應加速度法計算模型中。

圖8 El Centro地震動作用下三部分土體慣性力對結構反應貢獻率Fig.8 Contribution ratesof three partsof soil inertia force to structural responses under El Centro earthquake load

圖9 Loma Prieta地震動作用下三部分土體慣性力對結構反應貢獻率Fig.9 Contribution rates of three parts of soil inertia force to structural responsesunder Loma Prieta earthquake load

3.3 不同模型高度局部反應加速度法對比

本節主要討論不同模型高度情況下局部反應加速度法的計算精度問題，模型高度的選取與3.2節一致，即分別考慮模型高度為隧道結構直徑的2倍～7倍的計算工況，對比的基準是嚴格的動力時程分析方法。在動力時程分析方法中，模型底部取至基巖面，并在模型兩側施加人工邊界條件[7]，其中土體的材料參數同簡化分析方法所用到的材料參數完全一致，保證了二者之間的可比性。

考慮到自由場地震反應分析所得的土層加速度和土層剪力是局部反應加速度法的關鍵參數，本節列舉了結構局部區域自由場的地震反應，如圖10和表2所示。從圖10和表2可以看出，對于El Centro地震動和Loma Prieta地震動在最不利時刻，兩者的加速度分布正好方向相反，表現出自由場的水平位移分布也相反。此外，當局部反應加速度法的模型高度不同時，模型頂部的土層剪力也有一定的差異。

表2 土層剪力Table 2 Shear stressof soil

圖10 局部自由場加速度分布Fig.10 Distribution of acceleration in local freefield

將上述荷載代入局部反應加速度法計算模型中，通過靜力分析即可獲得結構的反應。將該簡化分析方法的計算結果與動力時程分析方法進行對比，這里首先定義一個內力峰值誤差如下：

式中：FLmax表示局部反應加速度法所計算的內力峰值；FDmax表示動力時程分析方法所計算的內力峰值。

圖11為結構內力峰值的誤差變化情況，對于該圓形隧道結構，動力時程分析方法和簡化分析方法所計算的內力峰值出現的部位一致，軸力和彎矩的最大值位于隧道橫斷面45°方向，而剪力的最大值則位于隧道頂部和底部。由圖11可以發現，在局部反應加速度法計算模型高度為2D時，剪力峰值較動力時程分析的計算結構要大8%左右，隨著模型高度的增加，各內力峰值的相對誤差基本呈現減小的趨勢，模型高度大于3D時，所有內力峰值的誤差基本維持在2%以內，表明局部反應加速度法具有良好的計算精度。

圖11 內力峰值誤差隨模型高度變化規律Fig.11 Errorsof peak section force changing with theheight of the model

從內力峰值的角度對比局部反應加速度法和動力時程分析方法的計算誤差僅能說明在結構某個別節點的計算精度，為了反映所有節點處內力是否計算準確，本節采用二階歐幾里德范數分析隧道結構所有內力的誤差值，簡稱內力二范數誤差，其計算方法如式(2)：

式中：FL表示局部反應加速度法所計算的內力值；FD表示動力時程分析方法所計算的內力值；i表示節點號；n為總節點數；FLi表示局部反應加速度法所計算的第i個節點的內力值；FDi表示動力時程分析方法所計算的第i個節點的內力值。

局部反應加速度法所計算的隧道結構內力二范數誤差如圖12所示，其隨模型高度的變化規律和內力峰值相對誤差的變化規律基本一致。當局部反應加速度法的模型高度取2D時，軸力的二范數誤差最大，約為9%，剪力和彎矩的二范數誤差也都要大于5%；在模型高度大于5D時，內力二范數誤差基本穩定，且維持在2%左右，表現出良好的計算精度。綜合圖11和圖12的對比結果，本文認為模型高度為5倍結構高度時，局部反應加速度法可以較為準確地計算結構內力反應。

圖12 內力二范數誤差隨模型高度變化規律Fig.12 2-norm errorsof section force changing with the height of the model

圖13進一步列出了El Centro地震動作用下，整體動力時程分析方法和模型高度為5D(H=2D)時的局部反應加速度法所計算的隧道結構內力圖，從圖13可以看出，此時的局部反應加速度法和動力時程分析方法所計算的內力大小和分布規律基本一致。因此，后續對局部反應加速度法的計算精度的討論也是基于模型高度為5D情況下開展的。

圖13 El Centro地震動作用下內力圖Fig.13 Internal forcediagram under El Centro earthquake load

3.4 不同結構剛度局部反應加速度法對比

為進一步探討本文提出的局部反應加速度法的適用性，本節通過改變隧道結構的剛度研究不同土-結構剛度比情況下本文方法的計算精度。原型結構的彈性模量為30 GPa，此外還設計了結構彈性模量分別取6 GPa、60 GPa、150 GPa和300 GPa的計算工況。分析誤差同3.3節一致，包含內力峰值相對誤差和內力二范數相對誤差。兩種不同誤差隨隧道結構的剛度變化情況分別如圖14和圖15所示。從圖14和圖15可以看出，隨著結構剛度的逐漸增大，內力峰值誤差和內力二范數誤差基本呈現逐漸減小的趨勢。此外還可以看出，El Centro地震動作用下隧道結構內力峰值和內力二范數誤差要略高于Loma Prieta地震動作用下的相應誤差值，但所有誤差值基本維持在5%以內，這也表明局部反應加速度法在不同土-結構剛度比工況下都能表現出較好的計算精度。

圖14 內力峰值誤差隨結構剛度變化規律Fig.14 Errorsof peak section forcechanging with the stiffnessof thestructure

圖15 內力二范數誤差隨結構剛度變化規律Fig.15 2-norm errorsof section force changing with the stiffnessof thestructure

4 結論

在我國現行《城市軌道交通結構抗震設計規范》(GB 50909?2014)[12]中的反應加速度法的基礎上，并結合廣義反應位移法的計算模型，本文提出了一種適用于深埋地下結構地震反應分析的局部反應加速度法。通過改變局部反應加速度法的模型高度以及結構剛度，研究不同工況下該方法的計算精度。具體可得到如下主要結論：

(1)在傳統反應加速度法的計算模型中，結構下部土體的慣性力作用對結構反應的貢獻較小，而結構周邊區域土體慣性力以及上部土體的土層剪力是影響結構反應的重要地震荷載。

(2)隨著模型高度和結構剛度的增大，局部反應加速度法較整體動力時程分析方法的計算精度呈逐漸減小的趨勢，誤差基本維持在5%左右。

(3)當局部反應加速度法的模型高度取為地下結構高度的5倍時，可以獲得較為準確的結構反應，建議在后續工程應用中采用該模型尺寸。