正常固結非飽和黏性土的三剪邊界面模型研究

胡小榮，蔡曉鋒，陳 昊,2

(1.南昌大學建筑工程學院，南昌 330031；2.江西中煤建設集團有限公司，南昌 330001)

基于傳統彈塑性理論建立的非飽和黏性土本構模型[1]需要解決屈服函數、流動法則和硬化規律這三個關鍵問題[2]，對于像非飽和黏性土這樣土性復雜的力學介質，難度在于后兩個問題。而采用邊界面模型方法則可解決這兩個問題，其原理方法也較容易，且適用于土體受到單調、循環荷載作用，此外還可解決由于加載誘發導致土的各向異性問題，因此在各種飽和及非飽和土中得到了一定的應用[3?17]。其中在非飽和土方面，文獻[13]在邊界面模型理論的基礎上引入含水率，提出了重塑非飽和黃土邊界面動力本構模型；文獻[14 ? 15]利用改變屈服面大小來體現土的結構性，并基于非飽和結構性黏土提出循環荷載下的邊界面模型；文獻[16]把BBM模型和塑性硬化準則相結合并引入邊界面理論，提出了適用黏性土特性的彈塑性雙面模型。文獻[17]在邊界面模型框架下，結合結構損傷理論和非飽和土力學，并引入移動映射中心思想，建立了適用非飽和結構性土的本構模型；建立邊界面模型的關鍵所在就是要確定邊界面方程及其隨荷載變化的演化規律。如今被普遍應用的邊界面確定方法是：先根據土體在某一應力水平下的屈服面方程來確定初始邊界面，初始邊界面在隨后的加、卸載過程中，將隨荷載變化而不斷演化得到當前邊界面。越來越多的研究者把邊界面理論與p′?q平面上的臨界狀態橢圓形屈服面方程相結合。破壞應力比M=q/p是橢圓形邊界面在其演化過程中的關鍵參數，一般是通過土的強度準則來確定。目前，研究者們提出了多種針對土體的強度準則：Druker-Prager準則、Mohr-Coulomb準則、Lade準則、SMP準則、雙剪統一屈服準則和臨界狀態橢圓屈服準則等。這些準則有的不能反映中間主應力效應，有些不能反映土體拉壓差效應，還有些不能反映土體的多樣性。而三剪統一強度準則可體現土體強度的區間效應、拉壓差效應和中間主應力效應[18]，并且通過改變中主應力影響系數該準則可對其他任何準則作非線性逼近。三剪統一強度準則已被應用于分析單調加載作用下的超固結土[19? 20]和結構性土[21]的力學特性，還與邊界面模型理論相結合應用于對飽和含泥砂土的單調、循環荷載力學特性分析[22 ?23]。

本文主要內容是基于Bishop單應力變量[24]和Fredlund雙應力變量[25]提出的非飽和黏性土三剪強度準則[26]，采用等量代換法和坐標平移法得到非飽和黏性土的三剪破壞應力比，并將其引入非飽和黏性土的修正劍橋模型以確定其為橢圓形屈服面方程，以橢圓形屈服面作為初始邊界面，采用徑向映射法則確定后續邊界面，根據插值函數得到加載面上的塑性模量，再根據彈塑性理論建立單應力變量和雙應力變量下等量代換法和坐標平移法的4個三剪彈塑性邊界面本構模型。為驗證模型的正確性，采用南昌地區非飽和紅黏土對該模型進行單調壓縮荷載下的三軸排水試驗驗證及真三軸數值模擬，采用非飽和黏質粉土進行循環動三軸試驗驗證及非飽和黃土進行循環真三軸數值模擬。

1 非飽和黏性土的三剪強度準則及三剪破壞應力比

非飽和黏性土的單應力變量和雙應力變量三剪強度準則為[26]：

1)單應力變量

由式(1)和式(2)得等量代換法和坐標平移法的三剪破壞應力比為：

1)單應力變量下采用等量代換法時的三剪破壞應力比為：

2)單應力變量下采用坐標平移法時的三剪破壞應力比為：

3)雙應力變量下采用等量代換法時的三剪破壞應力比為：

4)雙應力變量下采用坐標平移法時的三剪破壞應力比為：

圖1為非飽和黏性土三剪強度理論計算值和文獻[27]對壓實的黏土砂(SP-SC)的柔性真三軸試驗結果比較圖。

由圖1可知，在雙應力變量狀態下，實驗數據與理論計算值基本一致，從而驗證了非飽和黏性土強度理論的正確性。盡管在單個應力變量狀態下的理論計算值有所出入，但是總體趨勢仍然相同。

圖1 非飽和黏性土三剪強度準則理論值與柔性真三軸試驗結果比較Fig.1 Result comparisonsof flexible truetriaxial triple-shear test for unsaturated clays

圖2為非飽和黏性土三剪強度理論計算值和文獻[28]對非飽和黃土的剛柔混合型真三軸試驗結果對比圖。

由圖2可知，實驗數據與理論計算值均吻合良好，驗證了非飽和黏性土三剪強度準則的正確性。在相同條件下，單應力變量狀態和雙應力變量狀態下的理論計算值基本一致。

圖2 非飽和黏性土三剪強度準則理論值與剛柔混合型真三軸試驗結果比較Fig.2 Comparisonsof theoretical valuesof thetriple-shear strength criterion and resultsof rigid-flexible truetriaxial test for unsaturated clays

2 非飽和黏性土的三剪彈塑性邊界面模型

將第1節所得三剪破壞應力比與原有非飽和土屈服面方程相結合得到非飽和黏性土的三剪屈服面方程，再結合邊界面理論建立非飽和黏性土三剪邊界面彈塑性本構模型。最后，結合非飽和黏性土三剪強度準則與邊界面彈塑性理論推導出剛度矩陣各元素的具體表達式。

2.1 非飽和黏性土的三剪屈服面方程式

根據文獻[29]提出的LC屈服線，將曲線方程改寫為：

故非飽和狀態時土的修正劍橋模型屈服面方程可寫為：

以及飽和狀態時土的應變硬化規律為：

1)單應力變量下及雙應力變量下采用等量代換法時

2.2 非飽和黏性土三剪邊界面彈塑性本構模型

假定屈服面、邊界面和塑性勢面相似，則邊界面方程為：

1)單應力變量及雙應力變量下采用等量代換法

采用相關聯流動法則，即塑性勢面與屈服面重合，進而可知塑性流動方向Rij和加載方向Lij相一致，則有：

采用如下徑向映射法則：

1)單應力變量下及雙應力變量下采用等量代換法時

其中：

1)單應力變量下采用等量代換法時

2)雙應力變量下采用等量代換法時

3)單應力變量下采用坐標平移法時

由邊界面方程一致性相容條件可得：

其中：

1)單應力變量下采用等量代換法時

2)雙應力變量下采用等量代換法時

3)單應力變量下及雙應力變量下采用坐標平移法時

式中：單應力變量下時三剪破壞應力比M(θ,s)=M1(θ,s)、Λ=Λ1；雙應力變量下時三剪破壞應力比M(θ,s)=M2(θ,s)、 Λ=Λ2。

將塑性體積應變增量公式和式(30)中損傷變量增量公式代入式(15)可得出：

將各偏導等式代入式(31)可得出邊界面上像應力點對應的塑性模量如下：

1)單應力變量下采用等量代換法時

2)雙應力變量下采用等量代換法時

3)單應力及雙應力變量下均采用坐標平移法時

式中：單應力變量下時三剪破壞應力比M(θ,s)=M1(θ,s)、Λ=Λ1；雙應力變量下時三剪破壞應力比M(θ,s)=M2(θ,s)、 Λ=Λ2。

已知像應力點的塑性模量求法，對應實際應力點的塑性模量則由塑性模量插值函數[30]確定：

式中：Kp為當前應力點的塑性模量；Kp為像應力點塑性模量；H0為模型參數，通常采用模擬試算方法取值。

式(41)中各分量具體表達式見附錄。

3 非飽和黏性土的三剪彈塑性邊界面模型驗證

3.1 非飽和三軸試驗驗證

為驗證單調荷載下該模型的合理性，用文獻[31? 32]中的南昌非飽和重塑紅土三軸壓縮排水試驗與本文所提本構模型計算結果做了對比。在排水條件下將凈圍壓分別為100 kPa、200 kPa和300 kPa和基質吸力分別為0 kPa、20 kPa、50 kPa和80 kPa的模擬結果與試驗結果均進行對比，限于篇幅且對比結果類似，只列出凈圍壓為100 kPa及基質吸力為50 kPa的對比結果，如圖3所示。

圖3 凈圍壓為100 kPa及基質吸力為50 kPa的對比曲線圖Fig.3 Curve comparisons of the net confining pressure of 100 kPa and the matric suction of 50 kPa

由圖3(a)可知，在單應力變量下，等量代換法和與實驗數據差值最大不超過12%，而坐標平移法與實驗數據差值最大不超過14%。在雙應力變量下，等量代換法和與實驗數據差值最大不超過2%，而坐標平移法與實驗數據差值最大不超過5%。由圖3(b)可知，在單應力變量下，等量代換法和與實驗數據差值最大不超過19%，而坐標平移法與實驗數據差值最大不超過24%。在雙應力變量下，等量代換法和與實驗數據差值最大不超過10%，而坐標平移法與實驗數據差值最大不超過18%。實驗數據與四種模擬數據均符合較好，在軸向應變超過5%左右時，單應力變量下的模擬效果相對較差。與采用單應力變量的模擬數據相比，雙應力變量的模擬數據更符合實驗結果，這是因為單應力變量法只考慮單一的有效應力變量使得無法全面表征非飽和土的力學特性，而雙應力變量法考慮把吸力和凈應力作為應力狀態量能較全面地表征非飽和土的力學特性；與采用坐標平移法得到的模擬數據相比，采用等量代換法得到的模擬數據更符合實驗結果。驗證了所提本構模型在單調荷載作用下的適用性。

3.2 非飽和循環動三軸試驗驗證

為驗證循環荷載下該模型的合理性，用文獻[16]中非飽和黏質粉土在基質吸力分別為50 kPa和100 kPa下的循環動三軸試驗與本文所提本構模型計算結果做了對比。限于篇幅且對比結果類似，圖4為排水條件下基質吸力為50 kPa時的對比結果圖。

由圖4(a)可知，在加載初期，單應力變量法下等量代換法和實驗數據差值最大不超過10%，坐標平移法和實驗數據差值最大不超過16%。在循環荷載過程中，單應力變量法下等量代換法和實驗數據差值最大不超過6%，坐標平移法和實驗數據差值最大不超過9%。由圖4(b)可知，在加載初期，雙應力變量法下等量代換法和實驗數據差值最大不超過20%，坐標平移法和實驗數據差值最大不超過21%。在循環荷載過程中，雙應力變量法下等量代換法和實驗數據差值最大不超過3%，坐標平移法和實驗數據差值最大不超過5%。所建本構模型均能夠較好地描述非飽和黏質粉土在循環動荷載下的應力-應變變化規律。雙應力變量下建立的模型模擬結果相對更接近實驗結果，采用等量代換法建立的模型模擬結果相對更接近實驗結果；循環荷載加載初期時，土體的塑性變形發展相對較快，但隨著加載時間的增加，土體產生的塑性變形逐漸變小。

圖4 凈圍壓為100 kPa及基質吸力為50 kPa時偏應力與軸向應變關系試驗與計算結果對比圖Fig.4 Comparisons between experimental and calculated resultsof the deviatoric stressvs. the axial strain at the net confining pressureof 100 kPa and the matric suction of 50 kPa

4 本構模型的真三軸模擬

4.1 單調壓縮荷載下的真三軸模擬

模擬施加的應力路徑：1)首先對六面體單元的三個方向同時施加最小主應力σ3，固結排水；2)固結完成后，一個方向應力σ3保持不變，其余兩個方向應力增至中間主應力σ2，固結排水；3)一個方向應力σ2繼續保持不變，另一個方向應力由σ2逐漸增加，即為最大主應力σ1，在σ1增大過程中，對土樣進行排水數值模擬。限于篇幅且結果類似，只列出了雙應力變量下等量代換法本構模型對南昌非飽和紅黏土在不同中間主應力影響系數下的模擬結果，如圖5所示，其中凈圍壓和基質吸力分別為100 kPa和50 kPa。

由圖5(a)可知，中間主應力影響系數b=0時與b=0.25時模擬結果差值最大為2%，b=0時與b=0.5時模擬結果差值最大為5%，b=0時與b=0.75時模擬結果差值最大為10%，b=0時與b=1時模擬結果差值最大為12%；由圖5(b)可知，中間主應力影響系數b=0時與b=0.25時模擬結果差值最大為2.5%，b=0時與b=0.5時模擬結果差值最大為5%，b=0時與b=0.75時模擬結果差值最大為7.5%，b=0時與b=1時模擬結果差值最大為10%。在真三軸單調加載初期，剪應力與體應變增長較快，并最終趨于穩定狀態；同等條件下，隨著中主應力影響系數b值增大，剪應力與體應變也隨之增大，表明中主應力影響系數與土體抗剪強度為正相關關系。

圖5 凈圍壓為100 kPa及基質吸力為50 kPa時中間主應力影響曲線圖Fig.5 Influence curves of the intermediate principal stress when the net confining pressure is100 kPa and thematric suction is50 kPa

圖6為基質吸力50 kPa、中主應力影響系數b=0.5和凈圍壓100 kPa時四種本構模型的真三軸模擬結果。

由圖6(a)可知，單應力變量坐標平移法與單應力變量等量代換法模擬數據差值最大不超過5%，單應力變量坐標平移法與雙應力變量等量代換法模擬數據差值最大不超過17%，單應力變量坐標平移法與雙應力變量坐標平移法模擬數據差值最大不超過21%；由圖6(b)可知，單應力變量坐標平移法與單應力變量等量代換法模擬數據差值最大不超過6%，單應力變量坐標平移法與雙應力變量等量代換法模擬數據差值最大不超過21%，單應力變量坐標平移法與雙應力變量坐標平移法模擬數據差值最大不超過27%。相同應力變量下，采用等量代換法和坐標平移法的模擬差異很小；土體在雙應力變量下的模擬抗剪強度相對單應力變量下較大。

圖6 四種本構模型的真三軸模擬對比結果圖Fig.6 Comparisons of the truetriaxial simulated resultsof thefour constitutivemodels

4.2 循環壓縮荷載下的真三軸模擬

模擬施加的應力路徑：1)首先對六面體單元的2個側向和1個豎向同時施加主應力σ3，固結排水；2)固結完成后一個水平側向應力σ3保持不變，其余兩個方向應力增至σ2，固結排水；3)另一個側向應力σ2繼續保持不變，豎向施加以σ2為初始值的循環荷載σ1，固結排水。限于篇幅且雙應力變量等量代換法建立的模型模擬結果相對更接近實驗結果，故本文圖7～圖9主要列出雙應力變量下采用等量代換法的模型模擬結果來分析最小主應力、中間主應力以及應力幅值變化時對土體產生的影響，其余模型規律與之相似。圖7～圖10的計算參數引自文獻[33? 34]中的非飽和黃土動三軸試驗。圖7是幅值為75 kPa、σ3=25 kPa、σ2分別為40 kPa和50 kPa的模擬結果；圖8是幅值為75 kPa、σ2=50 kPa、σ3分別為15 kPa和25 kPa的模擬結果；圖9是σ2=50 kPa、σ3=25 kPa、幅值分別為75 kPa和100 kPa的模擬結果。

圖8 幅值為75 kPa、σ2=50 kPa、σ3分別為15 kPa和25 kPa的模擬結果Fig.8 Simulated results with amplitude of 75 kPa,σ2=50 kPa and σ3 of 15 kPa and 25 kPa,respectively

由圖7～圖9可知，非飽和黃土的塑性變形先期發展較快，后逐漸減小；若僅分別增加最小主應力或中間主應力，均會使土體的抗剪強度增大；應力大小不變，最小和中間主應力不變，荷載振幅增大，非飽和黃土的應變隨之增大。

圖7 幅值為75 kPa、σ3=25 kPa、σ2分別為40 kPa和50 kPa的模擬結果Fig.7 Simulated results with amplitude of 75 kPa,σ3=25 kPa and σ2 of 40 kPa and 50 kPa,respectively

圖9 σ2=50 kPa、σ3=25 kPa、幅值分別為75 kPa和100 kPa的模擬結果Fig.9 Simulated results with σ2 =50 kPa,σ3= 25 kPa and amplitudesof 75 kPa and 100 kPa, respectively

圖10為荷載幅值、σ3和σ2分別為75 kPa、25 kPa和50 kPa時4種彈塑性本構模型的真三軸循環荷載模擬結果。

由圖10(a)可知，雙應力變量等量代換法與雙應力變量坐標平移法滯回圈模擬數據差值最大不超過5%，雙應力變量等量代換法與單應力變量坐標平移法滯回圈模擬數據差值最大不超過7%，雙應力變量等量代換法與單應力變量等量代換法滯回圈模擬數據差值最大不超過12%；由圖10(b)可知，雙應力變量等量代換法與雙應力變量坐標平移法模擬數據差值最大不超過3%，雙應力變量等量代換法與單應力變量坐標平移法模擬數據差值最大不超過7%，雙應力變量等量代換法與單應力變量等量代換法模擬數據差值最大不超過12%。相同應力變量下，采用等量代換法和坐標平移法的模擬差別并不大；在單應力變量下模擬非飽和黃土的塑性變形大于雙應力變量下非飽和黃土的塑性變形。

圖10 四種模型在真三軸條件下的模擬對比結果圖Fig.10 Simulated comparisons of the four models under the true triaxial conditions

5 結論

提出了非飽和黏性土的三剪強度準則，并采用等量代換法與坐標平移法推導了三剪破壞應力比。結合邊界面理論建立了非飽和黏性土的三剪彈塑性邊界面本構模型并對其做了單調和循環壓縮荷載試驗驗證。結論如下：

(1)所提出的三剪破壞應力比有效克服了原修正劍橋模型中破壞應力比為定值的不足，另外還能反映非飽和黏性土黏聚力與全應力狀態下土體的應力-應變特性的影響。

(2)所建立的三剪邊界面模型均能較好反映非飽和黏性土中間主應力效應、拉壓差效應和區間效應，可用于非飽和黏性土在單調和循環荷載作用下的彈塑性分析。

(3)以南昌地區非飽和重塑紅黏土為試驗研究對象進行非飽和三軸試驗驗證，并采用文獻中的非飽和黏質粉土進行非飽和循環三軸試驗，結果表明本文所提模型在單調、循環荷載下均有較好的預測能力。其中雙應力變量等量代換法與實驗結果較為接近，在單調荷載下與實驗結果差值最大不超過10%，在循環荷載下與實驗結果差值最大不超過3%。

(4)對南昌地區非飽和重塑紅黏土和文獻中非飽和黃土分別進行單調、循環荷載下真三軸模擬試驗驗證，結果也表明在真三軸條件下本文所提模型均能較好地模擬單調、循環荷載下的力學特性。其中在單調加載模擬試驗中，中主應力影響系數或基質吸力均與非飽和土體抗剪強度呈正相關關系；且雙應力變量下的模擬抗剪強度相對較大；在循環加載模擬實驗中，最小主應力或中間主應力均與土體的抗剪強度呈正相關關系；荷載振幅與非飽和土體的應變成正比；土體在單應力變量下模擬產生的塑性變形相對較大。

1)單應力變量下采用等量代換法

2)雙應力變量下采用等量代換法

3)單應力變量下及雙應力變量下采用坐標平移法

G、L具體表達式如下：

1)單應力變量下及雙應力變量下采用等量代換法

2)單應力變量下采用坐標平移法

3)雙應力變量下采用坐標平移法

其中：