考慮井阻隨時間變化及徑-豎向滲流下砂井地基固結的解析解及其分析

江文豪，詹良通，楊 策，吳劍軍

(1.浙江大學巖土工程研究所，浙江，杭州 310058；2. 浙江綠農生態環境有限公司，浙江，杭州 310000)

為加快軟土地基的固結排水速率，工程上常打設砂井或塑料排水板作為豎向排水體，通過縮短土體的排水路徑來提高地基的固結速率[1?2]，形成的地基稱為砂井地基。

Barron[3]最早對砂井地基的固結問題展開了研究，并分別基于等應變假定和自由應變假定求解得到了理想砂井地基固結的解析解。Hansbo等[4]在Barron 砂井地基固結理論的基礎上，給出了考慮井阻效應和涂抹效應下更為實用的固結解。謝康和與曾國熙[5]基于等應變假定，推導得到了砂井地基徑向固結的解析解。Tang和Onitsuka[6]考慮到土體具有成層性，對雙層砂井地基的固結問題展開了研究。劉加才等[7]考慮到實際工程中存在砂井未打穿軟土層的情況，分析了未打穿砂井地基的固結性狀。Conte和Troncone[8]考慮了外荷載隨時間的變化，推導得到了變荷載下砂井地基徑向固結的解析解。周煜等[9]考慮到土體中的滲流規律存在非達西定律的情況，對考慮起始水力坡度下砂井地基的固結問題進行了求解。張驛等[10]考慮到實際排水邊界通常為不完全排水邊界，基于連續排水邊界條件推導得到了砂井地基固結的解析解。但上述研究或忽略了砂井的井阻效應，或在考慮井阻效應時假定砂井的滲透系數保持不變。

Bo等[11?13]通過展開場地試驗研究表明，砂井地基固結過程中，砂井滲透系數會逐漸減小，進而降低砂井地基的固結速率，應考慮固結過程中井阻隨時間的變化。Deng等[14]考慮到砂井滲透系數會在固結過程中逐漸降低，推導得到了井阻隨時間變化下砂井地基徑向固結的解析解。郭霄等[15]通過假設砂井滲透系數隨時間和深度的變化，給出了考慮井阻隨時間和深度變化下砂井地基的徑向固結解。張玉國等[16]考慮了井阻隨時間的變化，對真空預壓下砂井地基的徑向固結問題展開了分析。Nguyen和Kim[17]以指數函數規律來考慮砂井滲透系數隨時間的變化，研究了砂井地基的大變形固結問題。

然而，上述相關研究中均未考慮豎向滲流對砂井地基固結性狀的影響。對于砂井地基的固結問題，豎向滲流會影響砂井地基固結過程中超靜孔壓的分布形態，忽略豎向滲流不僅與砂井地基的實際固結過程不相符，且可能會明顯低估砂井地基的固結速率[18?19]。此外，從砂井地基固結理論完整性的角度，對于考慮井阻隨時間變化下砂井地基的固結問題，應考慮豎向滲流對地基固結過程的影響。

為此，本文基于Deng等[14]所提出砂井滲透系數隨時間呈指數函數形式降低的假定，考慮了土體中的徑-豎向滲流，推導得到了砂井地基的固結控制方程，并采用分離變量法求得了該方程的解析解。通過將本文退化解與已有的解析解及本文解析解與有限差分解分別進行對比，驗證了本文解答的正確性。基于本文解答，分析了一些影響因素對砂井地基固結性狀的影響。

1 砂井地基的固結控制方程

1.1 計算簡圖

以單井為研究對象，考慮井阻隨時間變化及徑-豎向滲流下砂井地基固結的計算簡圖如圖1所示。

圖1 砂井地基的計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of sand-drained ground

圖1中，砂井地基的厚度為H；r、z分別為徑向和豎向坐標；qu為作用于地基表面的瞬時均布荷載；rw、rs、re分別為砂井半徑、涂抹區半徑及砂井的影響區半徑；ks、kh、kv、kw分別為涂抹區土體的徑向滲透系數、非擾動區土體的徑向滲透系數、影響區土體的豎向滲透系數及砂井的滲透系數；uw為砂井內任意一點的超靜孔壓；us為影響區土體內任意一點的超靜孔壓；mv為土體的體積壓縮系數；γw為水的重度。這里假定砂井及砂井影響區土體的頂面為排水邊界，底面為不排水邊界。

1.2 基本假定

在本文的推導過程中，作如下基本假定：

1)等應變條件成立，即砂井影響區范圍內同一水平面上各點的豎向變形是相同的。

2)考慮徑向和豎向滲流，砂井和土體中的滲流規律滿足Darcy定律。

3)考慮砂井的井阻效應，且考慮砂井滲透系數在固結過程中逐漸減小。參考Bo等[11?14]展開的相關試驗和理論研究，可采用指數函數形式來描述砂井滲透系數kw隨固結時間t的變化，即：

式中：kw0為砂井的初始滲透系數；ω為大于0的試驗常數(單位：1/s)。

4)除滲透系數外，涂抹區內土體的其他性質與天然地基相同。

5)固結過程中，砂井地基影響區土體的滲透系數、體積壓縮系數保持不變。

6)在任意深度處，從土體流入砂井的水量等于砂井中向上水流的增量。

1.3 固結控制方程

由于作用于地基表面的外荷載為瞬時荷載，則基于等應變假定可得[10]：

式中，kr(r)為影響區土體的徑向滲透系數，其表達式為：

徑向邊界條件為：

對式(4)進行整理，利用邊界條件式(6)，在式(4)等號兩邊對r進行積分，整理可得：

根據式(5)及邊界條件式(7)，在式(8)等號兩邊對r進行積分，整理可得：

將式(9)代入式(3)，整理可得：

其中，R為一常數，其表達式為[5?6]：

式中，n=re/rw，s=rs/rw， δ=ks/kh。

根據基本假定6)可得：

結合式(1)，利用式(8)和式(12)可得：

利用式(2)，將式(14)代入式(13)可得：

式(15)即為考慮井阻隨時間變化及徑-豎向滲流下砂井地基的固結控制方程。

由于砂井地基的頂面為排水，底面為不排水，則固結控制方程式(15)的上、下邊界條件為：

固結控制方程式(15)的初始邊界條件為：

2 固結控制方程的求解

根據Ch和Cv的表達式，對固結控制方程式(15)整理可得：

當不考慮固結過程中砂井滲透系數kw發生變化時，即ω=0時，則控制方程式(19)可寫為：

將控制方程式(20)與張驛等[10]推導得到的固結控制方程式對比可知，兩者完全完全一致，這驗證了本文固結控制方程的正確性。

結合控制方程式(19)的邊界條件和初始條件，可采用分離變量法預設控制方程的解答為[14]：

式中，M=(2m?1)π/2，m=1,2,3,···。

式(21)已滿足相應的邊界條件式(16)和式(17)，可將式(21)代入初始條件式(18)，整理可得：

可以看出，式(24)為變系數一階偏微分方程。對于任一m，函數Tm(t)為僅與時間t有關的函數。因此，式(24)可以整理為：

為求解式(25)，在式(25)的兩邊分別對時間t和函數Tm(t)進行積分，求解可得Tm(t)的表達式為：

式中，Em為與m相關的常系數。

結合A、B、D的表達式及式(22)，進一步可得到Tm(t)的表達式為：

結合式(21)可得，砂井影響區內任意深度處的平均超靜孔壓uˉs的表達式為：

式中：

因此，結合式(9)和式(14)可得砂井影響區土體內任意一點的超靜孔壓us和砂井內任意一點的超靜孔壓uw的表達式分別為：

3 解析解答的驗證

3.1 與已有的解析解對比

為驗證上述解答的正確性，可將本文解答展開退化研究，并將退化解與已有的解析解進行對比。

當固結過程中砂井滲透系數的變化可忽略時，即ω→0時，則有：

結合B、C及D的表達式可得，砂井地基的平均固結度U可表達為：

該結果與張驛等[10]求解考慮徑-豎向滲流下砂井地基平均固結度的表達式完全一致。

kv=0

當不考慮豎向滲流時，即 時，則有：

因此，砂井影響區內任意深度處的平均超靜孔壓uˉs、砂井內任意一點的超靜孔壓uw和砂井地基的平均固結度U可分別表達為：

結合B及C的表達式，將該結果與Deng等[14]所求結果進行對比可知，該解答與Deng等[14]求解徑向固結的解析解答完全一致。

當不考慮徑向滲流時，即kh=0時，砂井地基則變為了一維固結的軟土地基，有：

結合D的表達式可得軟土地基內任意深度處的平均超靜孔壓uˉs和軟土地基的平均固結度U，分別表達為：

從式(46)和式(47)可以看出，當不考慮徑向滲流時，砂井地基的固結問題變為軟土地基的一維固結問題，本文解答可以退化為經典的太沙基一維固結解。

通過將本文解答展開退化研究可知，不同情況下本文退化解答與已有的解析解完全一致，這從一定程度上驗證了本文解答的正確性。同時，本文解答可退化為多種情況下軟土地基固結的解析解，這說明本文解答具有一定的普遍性，因此具有一定的理論意義和工程實踐意義。

3.2 與有限差分解對比

為進一步驗證本文解答的正確性，可對式(19)展開有限差分，利用相應的邊界條件和初始條件進行有限差分求解，有限差分方法參考文獻[20? 21]，并將本文解答與有限差分解展開對比分析。

為展開對比分析，這里以浙江省蒼南縣濱海新區的吹填土加固項目為工程算例[10]，有關砂井地基的計算參數如表1所示。圖2所示為2種計算方法下砂井地基的平均固結度U隨時間因子Th的變化對比情況(算例中t=283Th(天))。從圖2可以看出，不同井阻因子α下本文解析解與有限差分解所得到的平均固結度曲線均十分吻合，這驗證了本文解析解答的正確性。

表1砂井地基的計算參數Table 1 Calculation parametersof sand-drained ground

圖2 本文解析解與有限差分解的計算結果對比Fig.2 Comparison of the analytical solution and the finite numerical solution

4 固結性狀分析

從上述研究可以看出，本文主要考慮了井阻隨時間的變化和豎向滲流對砂井地基固結過程的影響。因此，以下主要分析井阻因子α及豎向滲透系數kv對砂井地基固結性狀的影響。用于砂井地基固結性狀分析的基準計算參數如下：rw=0.07 m，s=4，n=10，H=10 m，kh=2.0×10?8m/s，δ=0.25，kv/kh=0.8，kw0=1.0×10?4m/s，qu=50 kPa，mv=0.5 MPa?1，α=0.5，γw=9.8 kN/m3(算例中t=5.56Th(天))。

4.1 井阻因子α對固結性狀的影響

圖3和圖4所示為僅考慮徑向滲流和考慮徑-豎向滲流時，井阻因子α對砂井地基平均固結度的影響。從圖3和圖4可以看出，無論是否考慮豎向滲流，砂井地基的固結速率均隨井阻因子α的增大而減小，且井阻的變化對砂井地基固結性狀的影響主要作用在固結后期。此外，當α較小時，井阻的變化對砂井地基固結速率的影響可以忽略。

從圖3可以看出，當僅考慮徑向滲流時，井阻因子α越大，砂井地基的固結過程越早趨于穩定，且穩定后的平均固結度越小[14]。從圖4可以看出，當考慮徑-豎向滲流時，砂井地基在固結后期仍可通過豎向滲流繼續進行固結，從而使得砂井地基的平均固結度達到100%。

圖3 僅考慮徑向滲流下 α對平均固結度的影響Fig.3 Influence of αon averageconsolidation degree when only radial flow is considered

圖4 考慮徑-豎向滲流下 α對平均固結度的影響Fig.4 Influence of αon average consolidation degree when radial-vertical flow is considered

為進一步分析井阻因子α對僅考慮徑向滲流和考慮徑-豎向滲流下砂井地基固結性狀的影響，將式(37)和式(44)中所求的平均固結度相減，兩者之差記為?U。圖5描述了不同α下?U隨時間因子Th的變化。從圖5可以看出，當α較小時，?U始終較小，?U隨Th先增大后減小，且最終趨近于0；當α較大時，?U隨Th先增大后減小，隨后又逐漸增大，這主要是由于砂井滲透系數在固結過程中逐漸減小，砂井地基后期的徑向固結速率很小[14]，考慮豎向滲流使得地基的平均固結度逐漸增大。

圖5 不同 α下平均固結度之差?U隨T h的變化Fig.5 Variation of ?U with T h under different α

圖6和圖7所示為僅考慮徑向滲流和考慮徑-豎向滲流時，井阻因子α對砂井地基平均超靜孔壓的影響。從圖6和圖7可以看出，無論是否考慮豎向滲流，井阻因子α越大，同一時間下砂井地基的平均超靜孔壓值越大，且固結初期，不同α下平均超靜孔壓隨深度的分布曲線幾乎完全重合，這與圖2和圖3中的規律一致。

圖6 僅考慮徑向滲流下 α對平均超靜孔壓的影響Fig.6 Influence of αon average excess pore water pressure when radial flow isconsidered

圖7 考慮徑-豎向滲流下 α對平均超靜孔壓的影響Fig.7 Influence of αon average excess pore water pressure when radial-vertical flow is considered

從圖6可以看出，當僅考慮徑向滲流時，不同α下砂井地基中平均超靜孔壓隨深度分布的差異性隨時間的增長而增大。從圖7可以看出，當考慮徑-豎向滲流時，不同α下砂井地基中平均超靜孔壓隨深度分布的差異性隨時間的增長先增大后減小。

4.2 豎向滲透系數k v對固結性狀的影響

從式(48)和式(50)可以看出，豎向滲流對砂井地基固結速率的影響與地基厚度H直接有關，因此圖8～圖10給出了不同地基厚度H下豎向滲透系數kv對砂井地基平均固結度的影響曲線。

圖8 H=5 m時k v對平均固結度的影響Fig.8 Influence of k v on averageconsolidation degree when H=5 m

從圖8～圖10可以看出，不同地基厚度H下，豎向滲流均加快了砂井地基的固結速率，且隨著豎向滲透系數kv的增大，砂井地基的固結速率增大；但對于不同厚度H，豎向滲透系數kv對砂井地基固結性狀的影響有明顯差異。當地基厚度H較小時(如H=5 m)，豎向滲透系數kv對砂井地基初期的固結性狀影響較大，初期的平均固結度曲線差異大，后期的平均固結度曲線幾乎完全重合；當地基厚度H較大時(如H=20 m)，豎向滲透系數kv對砂井地基后期的固結性狀影響較大，初期的平均固結度曲線幾乎完全重合，后期的固結速率隨kv的增大明顯加快。當H=10 m時，豎向滲透系數kv對砂井地基初期和后期的固結性狀均有一定影響，但其影響均有限。

圖10 H=20 m時k v對平均固結度的影響Fig.10 Influence of k v on average consolidation degreewhen H=20 m

圖11所示為H=10 m時豎向滲透系數kv對砂井地基平均超靜孔壓的影響。從圖11可以看出，在相同時間內，與不考慮豎向滲流(kv/kh=0)相比，考慮豎向滲流下砂井地基的平均超靜孔壓值較小，這與圖9中的規律相符。此外，從圖11可以看出，在固結初期，考慮豎向滲流下砂井地基上部土體的超靜孔壓值明顯比不考慮豎向滲流時小，而在固結后期，考慮與不考慮豎向滲流時的超靜孔壓差值均隨深度的增大而增大。這說明，豎向滲流在加快砂井地基固結速率的同時，也改變了地基中超靜孔壓的分布形態。

圖9 H=10 m時k v對平均固結度的影響Fig.9 Influence of k v on averageconsolidation degree when H=10 m

4.3 討論

從上述分析中可以看出，豎向滲流加快了砂井地基的固結速率。此外，由于砂井的井阻效應會隨砂井地基固結過程的進行而增大，從而降低砂井地基的徑向固結速率，這進一步增大了豎向滲流在砂井地基固結過程中的作用。

當砂井的井阻因子較大或砂井地基的厚度較大時，豎向滲流可明顯加快砂井地基后期的固結速率，增大地基的平均固結度。當地基厚度較小時，豎向固結路徑較短，豎向滲流可明顯加快砂井地基的早期固結速率，縮短固結完成時間，提高砂井地基平均固結度的計算精度。因此，對于考慮井阻隨時間變化下砂井地基的固結問題，應考慮豎向滲流對砂井地基固結性狀的影響。

5 結論

本文通過考慮井阻隨時間的變化及徑-豎向滲流，推導得到了砂井地基的固結控制方程，并求解得到了該方程的解析解。通過將本文退化解與已有的解析解及本文解析解與有限差分解分別展開對比分析，對本文解答的正確性進行了驗證。基于本文解答，分析了井阻因子α及豎向滲透系數kv對砂井地基固結性狀的影響，得到了如下結論：

(1)無論是否考慮豎向滲流，砂井地基的固結速率均隨井阻因子α的增大而減小，且井阻的變化主要對砂井地基后期的固結性狀有著重要影響。

(2)當僅考慮徑向滲流時，α越大，砂井地基的固結過程越早趨于穩定，且穩定后的平均固結度越小；當考慮徑-豎向滲流時，不同α下砂井地基的最終平均固結度均可達100%。

(3)豎向滲流均加快了砂井地基的固結速率，且隨著豎向滲透系數kv的增大，砂井地基的固結速率增大。

(4)當地基厚度H較小時，豎向滲透系數kv對砂井地基初期的固結性狀影響較大；當地基厚度H較大時，豎向滲透系數kv對砂井地基后期的固結性狀影響較大。