環形電流磁場分布及磁感線基于C++的數值模擬

李 超，洪 倩，楊雪冰,陳 銳,孫彥東,梁來力

(南陽理工學院 數理學院，河南 南陽 473000)

任意形狀的通電線圈產生的磁場原則上都可以根據畢奧-薩伐爾定律進行求解，然而嚴格的解析解往往不能輕易地得到。哪怕對于簡單的環形電流，一般教科書上也只是給出了中軸線上的磁感應強度分布，對于非軸線上的磁場，由于涉及復雜的橢圓積分[1]，很難得到解析解，這個時候借助計算機進行數值計算就顯得非常合適。

1 環形電流的磁場分布

任意形狀的載流線圈總可以等價為若干段電流元的疊加，每一段電流元在整個空間激發的磁場都遵循畢奧-薩伐爾定律[2]：

(1)

圖1 環形電流示意圖

(2)

考慮到環形電流產生的磁場對稱性，選擇柱坐標對電流元進行展開，可以得到：

(3)

空間某一個場點P可以表示為：

(4)

電流元到場點P的矢量可以表示為：

(5)

根據對稱性，P點的磁感應強度分布也具有軸對稱性，即當ρ和z一定時，任意φ角位置的磁感應強度的大小均相等。因此不妨將P點取在oxz平面，即P點的坐標滿足φ=0，則此時根據(1)-(5)式聯立可以解得P點磁感應強度沿x、y、z軸的分量為：

(6)

(7)

(8)

2 磁感應強度的數值模擬

(6)、(7)、(8)式即為任意點P的磁感應強度的分量形式，可以借助計算機輔助進行數值計算，既可以使用成熟的Matlab軟件[3]，也可以使用更為基礎的C++進行編程。

假設環形電流的半徑a=0.1 m，通有的電流強度為I=1A，選擇不同的(ρ,z)根據(6)、(7)、(8)式即可以計算得到不同空間位置的磁感應強度的分量，總的磁感應強度大小可以表示為：