激光跟蹤儀測量回轉軸定位精度的誤差分析

李 鋒，董 浩，王 堅，周興彪，李高進

（1. 上海外高橋造船有限公司，上海 200137；2. 上海船舶工藝研究所，上海 200032）

0 引言

在多軸數控加工或檢測設備的研發、制造和維護過程中，經常會遇到檢測直線軸或回轉軸定位精度的問題。通常，回轉軸的定位精度檢測由于受空間布局和測量精度的影響，相對來說適用的測量儀器比較少，檢測方案也比直線軸復雜。

激光跟蹤儀（Laser Tracker）是一種利用球面坐標定位原理，通過測量1個徑向距離和2個角度來實現空間三維坐標測量的高精度檢測設備，測量范圍可達數十米[1]。由于其靈活便攜，安裝使用方便，適用范圍廣，所以激光跟蹤儀越來越多地被用來檢測數控設備的幾何精度或定位精度。然而，激光跟蹤儀也有局限性，其2個角度的測量誤差相對而言大于徑向距離的測量誤差，這一特點對回轉軸精度測量影響較大。因此，本文對使用激光跟蹤儀測量回轉軸的誤差進行了分析和計算，探討如何確定檢測方案具有足夠高的測量精度，避免出現超出預期的測量誤差。

1 激光跟蹤儀的工作原理和測量誤差

1套激光跟蹤儀測量系統通常包括1臺激光跟蹤儀和1個配套的球形反射鏡（SMR），以及配套的傳感器和電腦等設備。激光跟蹤儀內部的主要組成部分有：激光源、2個伺服跟蹤旋轉軸、光學器件、旋轉編碼器和環境（氣壓、濕度等）檢測傳感器等等。

檢測時，SMR放置在目標位置，激光源發射出激光到SMR上，SMR再將光線反射回激光跟蹤儀內，通過光學器件和傳感器，測出球形反射鏡的絕對或相對距離R（絕對距離指球形反射鏡到激光跟蹤儀原點的距離，相對距離指球形反射鏡移動前后兩點間的距離）。當球形反射鏡的移動方向偏離激光方向時，激光跟蹤儀能及時檢測到偏離的角度，控制2個伺服旋轉軸作出相應旋轉動作，使激光的方向始終跟蹤對準球形反射鏡，避免光路斷掉，同時通過2個旋轉編碼器讀出激光的方位角φ和仰角θ。直線激光和2個旋轉編碼器測出的數據構成1個球面坐標系位置（R,θ,φ），再轉換得到目標位置的直角坐標（x,y,z）。

影響激光跟蹤儀測量誤差的主要因素有：

1）環境因素。大氣的溫度、壓力和相對濕度對光線折射率會產生影響，材料也會因為溫度變化產生熱變形等，這些因素往往要根據具體的檢測環境進行評估，本文不對此進行討論，文中的分析和計算不考慮溫度等環境因素影響。

2）結構因素。由于激光跟蹤儀的激光源是安裝在2個旋轉軸上的，并且在測量過程中會被旋轉軸帶動旋轉，因此旋轉軸的機械結構特性如剛性或制造裝配誤差等，必然會影響到測量結果R的穩定和精確。另外，方位角φ和仰角θ是通過旋轉編碼器在2個旋轉軸上測量出來的，旋轉編碼器的測量誤差也會直接影響到方位角φ和仰角θ的測量精度。

由于角度測量系統（旋轉軸和編碼器）產生的測量誤差比較大，所以用激光跟蹤儀時，通常希望各個測量目標點的位置盡量與激光源在一條直線上，以減小旋轉角度的測量誤差。但是在實際應用中，又往往需要利用激光跟蹤儀全方位檢測空間坐標點的優勢，比如對于檢測回轉運動，測量的目標點繞回轉中心旋轉，不可能在一直線上，因此激光跟蹤儀在測量過程中必然會發生轉動，無法避開角度測量系統的誤差影響，這種情況下激光跟蹤儀的測量誤差會比較大，需要仔細計算評估才能確認是否滿足測量目標的精度要求。

根據國家計量標準JJF 1094—2002第5.3.1.4條，測量儀器誤差的擴展不確定度U95（置信概率95%）與被測量指標的最大允許誤差（絕對值）MPEV應滿足以下要求[2]：

式中：U95為95%的置信概率下儀器的測量結果會落在±U95的范圍內，U95值越小則測量的結果越可信。在沒有實測數據的情況下激光跟蹤儀的U95可以根據制造商給出的MPE公式進行評定計算。

激光跟蹤儀的最大允許誤差不是一個確定的值，通常制造商會給出1組計算公式（以某常用的激光跟蹤儀型號為例）。

式中：R為激光跟蹤儀到測量目標的直線距離；e為測量的徑向誤差（沿激光方向），μm；eR0為激光跟蹤儀原點到球形反射鏡原始位置（TMR）的誤差（儀器自身的結構尺寸誤差），eR0＝16 μm；eT為測量的橫向誤差（垂直于激光方向），μm/m。

標準ISO 10360-10的附錄E給出了測量2個目標點的間距時最大允許誤差的計算方法[3]，根據該算法類推，當測量2個非常接近（幾乎重合）的目標點時最大測量誤差Emax為：

式中：α數值見圖1；O為激光跟蹤儀的原點，A是測量目標所在位置，OP垂直于2個測量目標點的連線。α＝∠POA。

圖1 夾角α 的幾何意義

計算出Emax后，根據均勻分布的方差公式[4]可以得到標準不確定度u為

在實際測量工作中往往還要考慮其它因素產生的不確定度影響，因此需要先計算出這些因素的合成標準不確定度uc后再按下式算出擴展不確定度U95

2 回轉軸的精度測量方案和誤差分析

由于各種數控設備的回轉軸結構差異很大，所以在實際工作中，利用激光跟蹤儀檢測回轉軸精度會有很多種方案，但是這些方案的基本原理大致是一樣的。下面以水平轉臺為例說明測量原理，見圖2。

圖2 激光跟蹤儀測量水平轉臺示意圖

由圖2可知，現有一水平轉臺需要檢測回轉定位精度，轉角的最大允許誤差指標MPE＝±0.1°。為檢測此精度指標，制定檢測方案如下：球形反射鏡（SMR）安裝固定在轉臺邊緣，激光跟蹤儀固定在轉臺上方；轉臺從0°開始，每轉動一定角度停一下，通過激光跟蹤儀讀出并記錄SMR所在位置的坐標值，全周往復旋轉若干次；激光跟蹤儀記錄的這些坐標點呈圓周分布，用配套軟件內置的算法擬合出所有坐標點的旋轉圓心，然后就可以得到各個坐標點與初始點（0°）的夾角，算出與目標角度的誤差。

激光跟蹤儀到回轉平面的垂直距離H＝1 000 mm、到回轉中心軸的垂直距離L＝1 500 mm。球形反射鏡（SMR）固定安裝在轉臺靠近邊緣的A點位置，A到轉臺回轉中心C的距離（即回轉半徑）r＝200 mm。轉臺從零度開始旋轉，每間隔45°檢測1次SMR的坐標，轉到360°時改變回轉方向，如此全周往復回轉3個循環，每個循環有正向和反向各8個坐標數據，根據測量到的坐標數據用軟件擬合出回轉中心并計算各測量點坐標對應的回轉角度及偏差。

該方案的測量不確定度計算如下：假定檢測過程中環境溫度變化很小，可忽略溫度變化導致的不確定度，下面只考慮激光跟蹤儀的測量誤差導致的不確定度。已知回轉角度θ（單位：弧度）、回轉半徑r和SMR經過的弧長s符合以下關系：

式中：us和ur分別是SMR回轉圓周切向和徑向2個正交方向上的測量標準不確定度。圖3是轉臺回轉角度θ＝45°時（SMR位于A1位置）的簡圖。

圖3 轉臺回轉角度θ＝45°時，SMR 與激光跟蹤儀原點的幾何關系

Ai（i＝0～7）是轉臺回轉1周范圍內SMR所在的8個檢測位置，CAi＝r＝200 mm。O是激光跟蹤儀的原點，O到回轉平面的投影點為B，OB＝H＝1 000 mm。B到回轉中心C的距離BC＝L＝1 500 mm。

圖3(a)中PA1是圓的切線且OP⊥PA1，圖3(b)中CQ過A1點和圓心C且OQ⊥CQ。只要計算出激光跟蹤儀原點O到檢測位置A1的距離R、∠POA1的角度α、∠QOA1的角度β，再根據公式（2）～式（5），便可算出激光跟蹤儀測量誤差在A1位置的切向標準不確定度us和徑向標準不確定度ur。其它各Ai點位置均可按此方法計算。

根據幾何關系推導可得出：

計算各檢測位置對應回轉角度的合成標準不確定度如表1所示（由于點A5～A7與點A3～A1對稱，計算結果相同，故表1中不列出）。

表1 各回轉角度的合成標準不確定度計算表

表1中，e、eT為激光跟蹤儀自身的徑向和橫向測量誤差，由式（2）、式（4）計算可得；Esmax、Ermax為測量圓周上各檢測點的最大誤差（s為切向、r為徑向），由式（5）計算（計算徑向最大誤差Ermax時，用β代替公式中的α）可得；us、ur為測量圓周上各檢測點的標準不確定度（s為切向、r為徑向），由式（6）計算（切向和徑向分別用對應的最大誤差Esmax、Ermax計算）可得；uc為測量回轉角度的合成標準不確定度（切向us與徑向ur的合成），由式（9）計算可得。

由表1可知，最大的合成標準不確定度出現在A4位置，即轉臺轉角180°的時候，根據式（7）計算出此時的擴展不確定度U95＝0.034 4°。

由于此設備的誤差指標MPEV＝0.1°，而測量方案的U95略大于MPEV的1/3，不滿足式（1）的要求，說明測量結果可信度偏低，需要調整測量方案。根據前述計算分析可知，調整SMR到回轉中心的半徑r，且激光跟蹤儀相對于轉臺的位置H和L3個參數可以有效合理地降低測量的不確定度。

3 結論

激光跟蹤儀使用靈活方便，測量范圍大，廣泛地用于各種直線軸和旋轉軸定位精度的測量工作中，但是由于其角度測量誤差較大，如果不進行誤差分析，很可能會因為測量誤差太大導致最后測出的結果不可信。

因此，在制定測量方案時，需要根據激光跟蹤儀、球形反射鏡與回轉軸的相對幾何位置關系，計算出激光跟蹤儀在不同方向上的最大測量誤差，再據此算出回轉角度測量的不確定度U95并與檢測指標MPEV進行比較，如果不滿足U95≤MPEV/3，則應調整測量方案，改變激光跟蹤儀或球形反射鏡的位置，再重新進行誤差分析和不確定度評定，直到滿足檢測指標的精度要求。

本文給出的誤差分析和不確定度評定方法，雖然是以水平轉臺為例，但是對于其它方向的回轉軸定位精度檢測也具有參考價值，應用時需要根據不同的運動轉軸方向和差異化的機械空間結構進行有針對性的調整。