路面不平順激勵下車輛系統振動響應譜矩的簡明封閉解

李創第 李宇翔 葛新廣

摘? 要：工程上常將路面不平順看作具有零均值的平穩隨機過程.針對路面不平順激勵下車輛系統隨機振動響應無封閉解的問題，提出了一種簡明封閉解法.綜合運用復模態法和虛擬激勵法將基于不平順路面譜激勵下的車輛系統的響應功率譜二次正交化，獲得了車輛系統隨機振動響應方差、0—2階譜矩及絕對加速度方差的簡明封閉解.運用本文方法對一類車輛系統的振動進行分析，并與虛擬激勵法進行對比.研究表明本文方法所得方差和譜矩的封閉解法的正確性.

關鍵詞：路面不平順;譜矩;簡明封閉解;功率譜二次正交化

中圖分類號：U461.56? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.03.003

0? ? 引言

工程上將路面不平順作為一種平穩隨機激勵[1-3]，是引起行駛中的車輛系統振動的根源，影響著駕乘人員的舒適度[4-6]，國內外許多學者近年來對此進行了大量的研究[3-4，7].方同等[8]從時域法的角度研究了車輛系統的隨機振動問題，但響應方差的表達式較為復雜.桂水榮等[9-10]將一類車輛系統等效為九自由度彈簧-阻尼-質量模型，運用虛擬激勵法研究了車輛系統隨機振動響應的功率譜.張寶海等[11-12]則是由虛擬激勵法對車輛隨機振動平穩性進行了分析，獲得了響應的功率譜.上述基于虛擬激勵法所獲得的車輛系統振動的功率譜，需要經過數值積分才能獲得車輛系統振動響應的方差和譜矩，存在計算精度不高和效率低下的問題，不易于工程應用.

針對已有方法分析路面激勵下車輛系統響應分析存在的不足，基于功率譜的二次正交化法[13-14]成功獲得了車輛系統振動響應的0—2階譜矩及加速度方差的簡明封閉解法.首先，基于留數定理[15]提出了路面譜的二次正交式;其次，利用復模態方法[3]和虛擬激勵法[16]提出了車輛系統隨機振動響應的頻率響應特征值函數的二次正交式，進而獲得車輛系統響應功率譜密度函數的二次正交式;最后，根據隨機振動理論中譜矩的定義，獲得了車輛系統隨機振動響應的0階、2階和4階譜矩的簡明封閉解.

1? ? ?車輛系統受路面不平順激勵下的統一

頻域解

1.1? ?車輛系統受路面不平順激勵下的振動方程

目前我國于公路行駛的載重車輛主要是二軸、三軸汽車.本文選擇較為常見的三軸民用自卸汽車作為研究對象，考慮車體豎向振動、俯仰翻轉以及車輪的振動，將車輛簡化為5個自由度的振動體系，車輛簡化模型如圖1所示.

圖1? ?整車模型

圖1中車輛各參數的含義如下：

[kf1、kf2、kf3]為車輛前、中、后軸懸架彈簧剛度;[kt1、kt2、kt3]為前、中、后軸車輪剛度;[cf1、cf2、cf3]為車輛前、中、后軸懸架阻尼系數;[ct1、ct2、ct3]為車輛前、中、后軸車輪阻尼系數;[mf1、mf2、mf3]為車輛前、中、后軸懸架系統質量;[Icx]為車廂俯仰轉動慣量;[θ]為俯仰角;[mt1、mt2、] [mt3]為車輛前、中、后輪胎質量;[a、b、c]為前、中、后軸到車輛質心的距離;[zf1、zf2、zf3]為車輛前、中、后軸懸架系統相對于地面的位移;[zcx]為車廂質心相對于地面的位移.

建立五自由度整車模型振動方程為：

[Mz+Cz+Kz=αr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中：[z、z、z]分別為車輛系統各自由度相對于地面的加速度、速度和位移，[M]為車輛系統的質量矩陣，[C]為車輛系統的阻尼矩陣，[K]為車輛系統的剛度矩陣，[r]為路面不平度.其表達式分別為[M=diag（mf1， mf2， mf3， mcx， Icx）]，

1.2? ?車輛系統響應的頻域統一解

引入狀態變量：

[y=zzT]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

可將車輛系統（1）改寫為：

[My+Ky=αr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式中：

[M=01MMC，? K=-M0101K，α=02αT]

其中：[01]為5×5矩陣，其元素均為0;[02]為5×1矩陣，其元素均為0 ;T為矩陣轉置.

由復模態法理論可知，存在左右特征向量[V]、[U]和特征矩陣[p]使方程（3）解耦.特征矩陣[p]可由方程（3）的特征值方程解得：

[Mp+K=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

式中，[·]表示行列式.

左、右特征向量也可由式（3）的特征值方程得：

[Mp+KU=0，? Mp+KTV=0]? ? ? ? ?（5）

式中，特征矩陣[p]：

[p=VTKUVTMU]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

引入復模態變換：

[y=Ux]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

將式（7）代入式（3）得：

[MUx+KUx=αr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

簡化得：

[x+px=ηr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

式中：[η=VTαVTMU]，為[10×10]矩陣.

由于[p]為對角矩陣，可得出式（9）的分量形式如下：

[xk+pkxk=ηk，ir（k=1， 2， …， 10）]? ? ? ? ?（10）

式中，[ηk，i]表示[η]矩陣中第[k]行第[i]列的元素.

由虛擬激勵法可以得出式（10）的頻域解如下：

[xk（ω）=ηkpk+jωSr（ω）ejωt]? ? ? ? ? ?（11）

其中：[j=-1].

由式（2）和式（7），車輛系統響應的頻域解：

[z=k=110（Ul，kxk（ω））]? ? ? ? ? ? ? ? ?（12a）

[z=k=110（Ul+5，kxk（ω））]? ? ? ? ? ? ?（12b）

其中：[Ul，k]表示右特征向量[U]第[l]行第[k]列的元素.

從式（12）可知車輛系統響應的位移及速度，可統一表示為：

[D=k=110（Ul，kxk（ω））]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

2? ? 車輛系統頻域響應特征函數

的正交式

由虛擬激勵法，則[D]的響應功率譜為：

[SD（ω）=k=110i=110（Ul，kUl，ixk（ω）x?i（ω））]? ? ? ?（14）

其中：[z?k（ω）]是[zk（ω）]的共軛項，即[z?k（ω）=zk（-ω）].

由式（11）可知， [D]的響應功率譜為：

[SD（ω）=k=110i=110（Ul，kUl，iηkpk+jωSr（ω）×ejωt×]

[ηipi-jωSr（ω）×e-jωt）=Sr（ω）HD（ω）]? ?（15）

式中：

[HD（ω）=k=110i=110（Ul，kUl，iηkpk+jω×ηipi-jω）]? ? ?（16）

由式（16）可知，[H（ω）]與激勵無關，與系統的模態特征值和要分析的響應量的模態參與系數有關，故稱之為系統頻域響應特征函數.

對式（16）簡化為：

[H（ω）=k=110（U2l，kAk）+k=19i=k+110（Ul，kUl，iBi，k）]? ?（17）

式中：

[Ak=xkx?k]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18a）

[Bi，k=xix?k+xkx?i]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18b）

將式（11）代入式（18a）可得：

[Ak=ηkpk+jω×ηkpk-jω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（19）

將式（11）代入式（18b）可得：

[Bik=ηkpk+jωηipi-jω+ηkpk-jωηipi+jω]? ? （20）

對式（20）以下部分進行簡化：

[1pi+jω1pk-jω+1pi-jω1pk+jω=1pi+pk（1pi+jω+1pk-jω+1pi-jω+1pk+jω）=]

[1pi+pk（2pip2i+ω2+2pkp2k+ω2）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

把式（21）代入式（20）則：

[Bik=ηkηipi+pk（2pip2i+ω2+2pkp2k+ω2）]? ? ? ? （22）

把式（19）、式（22）代入式（17），則結構的系統頻域響應特征函數為：

[HD（ω）=][k=110U2l，kη2kp2k+ω2+2k=19i=k+110Ul，kUl，iηkηipi+pk（pip2i+ω2+]

[pkp2k+ω2）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

3? ? 路面譜的二次正交式

由文獻[8]提出的車輛行駛時的空間域譜表達式為：

[Sr（k）=1πV（k20+k2）（k20-k2）2+4V2k2]? ? ? ? （24）

式中：[V=0.1] [s-1]，[k20=0.1] [s-2].

式（1）的正交化形式：

[Sr（k）=1πV（k20+k2）（k20-k2）2+4V2k2=1πi=12dik2+k2i]

式中：

[k21=-k21，k22=-k22，d1=V（k20+k21）k21-k22，d2=V（k20+k22）k22-k21，k21=k20-2V2+4VV2-k20，k22=k20-2V2-4VV2-k20]

圓頻率功率譜與空間域功率譜的關系為：

[Sr（ω）=1vSr（k）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

式中：[v]為速度.

則可得出路面不平順激勵下車輛系統的相應功率譜為：

[Sr（ω）=vπ（d1ω2+（vk1）2+d2ω2+（vk2）2）]? ? ? ?（26）

將式（26）和式（23）代入式（15）可知，D的響應功率譜為：

[SD（ω）=k=110（U2l，kη2kp2k+ω2vπ（d1ω2+（vk1）2+d2ω2+（vk2）2））+? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k=19i=k+110（Ul，kUl，iηkηipi+pk（pip2i+ω2+pkp2k+ω2）vπ·]

[（d1ω2+（vk1）2+d2ω2+（vk2）2））]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

4? ? 車輛系統響應譜矩的新解法

由隨機振動理論[3]可知，隨機激勵作用下線性結構位移響應的0階譜矩都與位移響應的方差相等;位移響應的2階譜矩與速度響應的方差相等;位移響應的4階譜矩與速度響應的2階譜矩相等，同時也與加速度的方差相等，而振動加速度是結構舒適度分析的主要參數.位移響應的1階譜矩是基于Markov分布的動力可靠度分析的重要參數之一，為此需要對結構位移響應的0—2階及4階譜矩進行分析.

由隨機振動理論可知，結構動力響應的譜矩的定義：

[αD，q=0∞SD（ω）ωqdω? （q=0， 1， 2）]? ? ? ?（28）

4.1? ?車輛系統響應0—2階譜矩分析

把式（27）代入式（28），則結構響應的[q]階譜矩：

[αD，q=][k=110（U2l，kη2kχk，q）+k=19i=k+110（Ul，kUl，iηkηipi+pk（2piχi，q+2pkχk，q））]

（29）

其中：

[χk，q=0∞Sr（ω）1p2k+ω2dω]? ? ? ? ? ?（30）

對[χk，q]進行積分，可獲得封閉解，推導過程見附錄.

[χk，0=d1p2k-（vk1）π2（1（vk1）-1pk）+d2p2k-（vk2）π2（1（vk2）-1pk）];[χk，1=d121p2k-（vk1）ln（p2k（vk1））+d221p2k-（vk2）ln（p2k（vk2））];

[χk，2=d1π2pk-（vk1）χk，0+d2π2pk-（vk2）χk，0].

4.2? ?車輛系統響應的4階譜矩分析

車橋耦合振動舒適度取決于車輛系統的絕對加速度.由隨機振動理論可知，車輛系統絕對加速度的方差等于車輛系統絕對位移的4階譜矩，而絕對位移的4階譜矩等于絕對位移變化率的2階譜矩.由式（12b）及式（28）可知，車廂豎向位移的絕對加速度可表示為：

[σ2z4=αz4，2=k=110（U9，kU9，kηkηkχk，2）+]

[k=19i=k+110（U9，kU9，iηkηipi+pk（2piχi，2+2pkχk，2））]? ? ?（31）

俯仰轉角的絕對變化率可表示為：

[σ2z5=k=110（U210，kη2kχk，2）+]

[2k=19i=k+110（U10，kU10，iηkηipi+pk×（piχi，2+pkχk，2））]? （32）

由式（28）、式（30）—式（31）可知，本文獲得了車輛系統響應0—2階譜矩和加速度方差的封閉解，在計算響應時無需積分，相對于傳統方法具有良好的計算精度和效率.

5? ? 算例

本文參考文獻[9]選取一輛三軸民用自卸汽車以[40] km/h的速度于某公路上行駛時的情況， 其前、中、后輪質量分別為[mt1]=297 kg、[mt2]=466 kg、? ? [mt3]=466 kg;車廂質量[mcx]=30 542 kg;前、中、后軸距車身的距離和車輛質心的距離分別為[a]=3.4 m、[b]=0.2 m、[c]=1.4 m;車廂側翻轉動慣量為[Icx]=6 893 kg·m2;前、中、后輪的剛度系數分別為[kt1]=3 390 N·mm-1、[kt2]=3 390 N·mm-1、[kt3]=3 390 N·mm-1;前、中、后軸懸架剛度系數分別為[kf1]=7 900 N·mm-1、[kf2]=7 900 N·mm-1、[kf3]=27 300 N·mm-1;前、中、后軸懸架阻尼系數分別為[cf1]=27 300 N·S·mm-1、? ? ? [cf2]=3 800 N·S·mm-1、[cf3]=3 800 N·S·mm-1;前、中、后輪胎阻尼系數均為[0].

5.1? ?路面譜的等效形式驗證

圖2為本文所提路面譜的二次正交式與其有理式的差值趨勢圖，[ΔS（ω）]值很小，可忽略不計且逐漸趨近于0，驗證了本文所提二次正交式的正確性.圖3為本文方法的路面功率譜與傳統的虛擬激勵法的路面功率譜的對比，由圖3可知，功率譜基本重合，從而可知本文方法的功率譜的正確性.

5.2? ?本文方法的驗證

虛擬激勵法分析結構響應方差和譜矩時需對功率譜密度函數在[0， ∞）區間進行積分，常采用在顯著頻率范圍內進行數值積分，而顯著頻率范圍是隨著激勵和結構振動特征有關，為了達到精度要求，常需要對顯著區間進行試算.積分步長越小，積分上限越大，虛擬激勵法越準確.為此，通過虛擬激勵法的積分區間和積分步長對精度的影響進行分析來驗證本文方法的正確性.

5.2.1? ?積分區間對虛擬激勵法精度的影響分析

虛擬激勵法的積分區間分別取[0， 2] rad/s、? [0， 5] rad/s、[0， 25 ]rad/s，計算車輛系統隨機振動位移的譜矩并與本文方法進行對比，如圖4—圖7所示.從各圖可知，隨著積分步長的增加，虛擬激勵法所得結果逼近本文方法，從而說明本文方法為封閉解.

從圖4可知，對于0階譜矩，虛擬激勵法的積分區間取[0， 5] rad/s，即可達到很高的精度;對于結構響應1—2階譜矩、加速度方差，從圖6和圖7可知，虛擬激勵法的積分區間取[0， 25] rad/s才可以達到很高的精度.

5.2.2? 積分步長對虛擬激勵法的影響

根據4.2.1的分析可得，積分區間為[0，25] rad/s時，虛擬激勵法與本文方法在計算譜矩時完全吻合.為了分析虛擬激勵法積分步長對其精度的影響，分別取3種積分步長為1.000 rad/s、0.100 rad/s、0.001 rad/s.圖8—圖11所示為不同積分步長下虛擬激勵法分析譜矩與本文方法的對比圖.從圖中可以得出，隨著積分步長的減小，計算結果與本文方法越接近，由此可以驗證本文方法的正確性.

6? ? 結論

本文研究了基于方同路面譜的車輛隨機振動響應0—2階譜矩及加速度方差的簡明封閉解，獲得如下結論：

1）本文綜合運用復模態法和虛擬激勵法將基于不平順路面譜激勵下的車輛系統的響應功率譜表示成系統復模態振動特征值與頻率自變量平方和的倒數的線性組合，即響應功率譜的二次正交化，為車輛系統結構響應0—2譜矩及加速度方差的封閉解奠定基礎.

2）利用本文方法可以方便獲得結構位移、結構位移變化率的統一顯式簡明表達式，并得出了車輛系統隨機振動位移的0階、2階和4階譜矩的封閉解析解，與虛擬激勵法進行比較，從而驗證了本文方法的正確性.

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Concise closed-form solution of vibration response spectral moment of vehicle system under road irregularity excitation

LI Chuangdi， LI Yuxiang， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Aiming at the problem that there is no closed-form solution for the random vibration? ? ? ? ? ?response of vehicle system under the excitation of road roughness， a concise closed-form solution is proposed. Pavement irregularity is often regarded as a stationary stochastic process with zero mean? ?value in engineering. In this paper， the complex mode method and virtual excitation method are used to orthogonalize the response power spectrum of vehicle system based on spectrum excitation of uneven pavement. The simple closed-form solutions of variance of random vibration response， 0-2 order? ? ?spectral moment and absolute acceleration variance of vehicle system are obtained. The vibration of a kind of vehicle system is analyzed by using this method and compared with the virtual excitation? ? ?method. The results show that the closed-form solution of variance and spectral moment obtained by this method is correct.

Key words： road roughness; spectral moment; concise closed-form solution; quadratic orthogonalization of power spectrum