細微改變 變出風采

熊賢文

【摘要】本文研究了北師大版數學選修4—5第26頁第10題，2017年高考全國Ⅱ卷不等式選講的第二問，后者題目條件相對前者有了改變，證明方法也發生了一些變化，證法多樣.本文研討了綜合法等四大類共12種方法，給出了不同的解答.對于有些典例，教師可以將題目改變，用多種方法證明，培養學生靈活的思維能力.

【關鍵詞】不等式證明;解法研究;試題變式

一、問題研究

筆者在講北師大版數學選修4—5不等式選講證明方法——反證法一節時給學生布置課后作業第26頁第10題“用反證法證明：已知x，y∈R，x3+y3=2，則x+y≤2. ”

作業反饋時筆者發現大部分學生用的是反證法.證明如下：

假設x+y>2 ，則x3+y3+3x2y+3xy2>8，

∵x3+y3=2，∴xy（x+y）>2，

∵2=x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）≥xy（x+y），

∴假設不成立，∴x+y≤2.

筆者也發現有些學生用其他方法證明，但證明時書寫格式不規范，有的說理錯誤.為此筆者對此題做了較深入的研究，并與2017年全國Ⅱ卷二選一中的不等式選講的題目做了比較，發現高考題只將條件改為正實數.筆者研究發現.條件加強后，證明的方法更多.本文采用四大類共12種不同方法給出高考題的證明，并將其與條件為x，y∈R的題的證明方法進行比較，使學生在做題時能更準確，不會因沒有注意題目條件的限制導致證明錯誤.同時教師帶領學生對試題變化而解法不變的情況進行探究，幫助學生在變化中找到不變，形成以不變應萬變的能力.

下面先研究一題多解，從多解中找到知識的內在聯系，把知識形成知識網、知識樹.

2017年高考題目如下：

已知a>0，b>0，a3+b3=2， 證明：a+b≤2.

（一）綜合法證明

方法1：

∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

=（a+b）[（a+b）2-3ab]，

ab≤（a+b）24，

∴2≥（a+b）（a+b）2-34（a+b）2

=14（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，即證a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用，此法證明的思路是先利用因式分解將a3+b3轉化為（a+b）3-3（a+b）ab，再利用重要不等式 ab≤a+b22轉化，這個不等式對a，b∈R成立，所以證明方法對a，b∈R也適用.

方法2：

∵2=a3+b3

=（a+b）（a2-ab+b2）

a2+b22≥a+b2，ab≤（a+b）24

≥（a+b）（a+b）22-（a+b）24

=14（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，

即證a+b≤2.

此證法對a，b∈R也適用.此法證明的思路是利用已知的兩個不等式.

方法3：

∵4（a3+b3）-（a+b）3=3a3+3b3-3a2b-3ab2

=3（a-b）2（a+b）≥0，

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用.此法證明的思路是作差，因式分解，由題知a+b>0.

方法4：

（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2

=2+3ab（a+b）

≤2+34（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用.

方法5：

∵（a+b）3=a3+b3+3（a2b+ab2），

由排序不等式可得

a3+b3+3（a2b+ab2）≤4（a3+b3），

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用.

方法6：由排序不等式得：

a2b+ab2≤a3+b3，

∴（a+b）3=a3+b3+3（a2b+ab2）≤4（a3+b3） ，

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用.證明方法5和6運用排序不等式進行放縮，排序不等式對任意實數成立.

（二）分析法證明

方法7：欲證a+b≤2，需證（a+b）3≤8，

即證a3+b3+3a2b+3ab2≤8，

即證a2b+ab2≤2，

即證ab（a+b）≤2，

∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） ，a2+b2≥2ab，

∴ab（a+b）≤2，∴結論成立.

此證法對a，b∈R適用.

方法8： 若a+b≤2，則a≤2-b.

∴2=a3+b3≤（2-b）3+b3=6b2-12b+8，

∴6b2-12b+6≥0 恒成立，顯然，該式恒成立，所以結論成立.

此證法對a，b∈R也適用.

分析法是從結論出發尋找結論成立的充分條件.難點在于如何找到條件.

（三）反證法證明

方法9：假設a+b>2 ，則a3+b3+3a2b+3ab2>8，

∵a3+b3=2，∴ab（a+b）>2，

∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b），

∴假設不成立，∴a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用.

（四）構造法證明

方法10： 令a+b=t，則b=t-a，

∵2=a3+b3=a3+（t-a）3

=t3-3at2+3a2t，

∴3a2t-3at2+t3-2=0，顯然方程有實根，

∴Δ=9t4-12t（t3-2）≥-3t4+24t≥0，

∴t3≤8，

即t≤2 ，∴a+b≤2.

此證法對a，b∈R適用.此法運用構造方程的思想，考慮關于變量a的方程有實根的條件，由判別式得到關于a+b的不等式，解此不等式即可.

方法11：令f（x）=x3-3x+2，f′（x）=3x2-3=0， 得兩根x 1=-1，x 2=1 ，所以f（x） 在（-∞，-1），（1，+∞） 上單調遞增，在（-1，1） 上單調遞減.當x>0 時，f（x） min=f（1）=0，所以x>0時，f（x）≥0，即x3-3x+2≥0，

所以，a3-3a+2≥0， ①

b3-3b+2≥0 ②

①+②，得a3+b3+4≥3（a+b），

∴a+b≤2.

此證法對a，b∈R不適用.

方法12： 構造函數f（x）=x3，x>0，

∵f′（x）=3x2，f″（x）=6x ，當x>0 時，f″（x）>0，

∴f（x） 在（0，+∞） 上下凹.

∴對于a，b∈（0，+∞） ，a3+b32≥a+b23 ，

又∵a3+b3=2，∴（a+b）3≤8，即a+b≤2.

此證法對a，b∈R不適用.

方法11和12都是構造三次函數，利用函數x>0? 時的最小值和凹凸性證明，這對學生知識的綜合能力要求很高，由于定義域有范圍限制，因此對a，b∈R不適用.

我們通過對本題的研究可以發現，改變題設中一個小的條件，證明的方法不盡相同.在教學中教師要引導學生重視題設條件，做好解題反思.有時教師也可以將題目變為不同形式，引導學生用相同的方法解決，使學生鞏固解題思路.

我們下面研究變題而不變解法的例子.

已知x>0，y>0，且x+y=1，求u=1x+2y的最小值.

這類題的解法很多，但最簡單的方法是“1”的代換.

u=1x+2y=1x+2y·1=1x+2y·（x+y）

=1+2+yx+2xy≥3+22，

當且僅當x=2-1，y=2-2時取等號.

變式1 已知x>0，y>0，且2x+y=1，求u=1x+1+2y+3的最小值.

將條件2x+y=1變為2（x+1）+（y+3）=6，即13（x+1）+16（y+3）=1，用“1”的代換就可求最值.

變式2 已知x>0，y>0，且x+y=1，求u=1x+3y+22x+y的最小值.

令a=x+3y，b=2x+y，則x=-a5+3b5，y=2a5-b5，

1=x+y=a5+2b5，利用“1”的代換可求最值.

變式3 已知x>0，y>0，且3x+2y=3，求u=1x+x2y的最小值.

由3x+2y=3得3x+2y3=1，將“1”代入u=1x+x2y即可.

變式4 已知x>0，y>0，且1x+1+2y+3=1，求u=2x+y的最小值.

令a=x+1，b=y+3，則x=a-1，y=b-3.

u=2（a-1）+b-3=2a+b-5=（2a+b）·1a+2b-5，用均值不等式即可得解.

試題的變式涉及換元、整體代換、化歸與轉化等數學思想，教師教學時要鼓勵學生多研究，自己改編一些同類題型，對于同一類題目在不同背景下的表述和特征，抓問題的本質，優化解題方法.這樣學生在再次遇到這類題目時就能很快找到解決的辦法.

二、教學思考

1.教師層面

一題多解體現了數學解題的靈活性和多樣性，有助于培養學生的發散思維能力.學生在實際的教學過程中進行訓練，能夠真正培養其數學學習能力，促進其數學學習.同時，教師在教學中更應該注意，將題設的條件適當改變，然后引導學生探究證明方法是否也發生變化，這樣可以提升學生的變式能力，培養學生的思維嚴密性.

教師在教學中自己要多研究、多思考，發現典型例題時可將其融入平時的教學過程中，給學生起引領的作用，在作業和練考中發現學生的不同想法，歸類整理提升形成方法，引導學生用所學的知識解決問題，在此過程中既幫助學生鞏固了基礎知識，又可幫學生完善知識結構，同時滲透數學思想方法，使學生在研究過程中領悟基礎知識的重要性，養成良好的思維品質.

2.學生層面

學生在學習的過程中，應重視解題反思，通過對解題過程的再思考，再發現，形成良好的解題習慣，發現解題過程不完備時，及時糾正.學生在學習過程中可以利用寫小論文的方式進行一題多解，一題多變的訓練，使自己在多解中鞏固所學，在多變中形成思維.

總之，學生學習、教師教學沒有定法，但養成研究的習慣對于數學學習很關鍵，學生可以在自己已有知識的基礎上通過對題目的引申、變化、發散，揭示問題的本質，提升解題思維能力.