基于雙弧陣的反卷積波束形成

龐桐桐

(昆明船舶設(shè)備試驗(yàn)中心，云南 昆明 650200)

0 引言

目前世界各大國都致力于水下目標(biāo)定位技術(shù)的研究，可分為主動(dòng)法和被動(dòng)法。主動(dòng)法聲納本身要發(fā)射聲波,它把接收目標(biāo)的反射波作為檢測(cè)與估計(jì)的基礎(chǔ)，主動(dòng)聲納是我國海軍的主力水聲設(shè)備，但主動(dòng)聲納的隱蔽性差。被動(dòng)法聲納本身不發(fā)射聲波，它依靠目標(biāo)輻射的聲波作為檢測(cè)和估計(jì)的基礎(chǔ)。被動(dòng)聲納在偵察過程中具有隱蔽性好、不向外發(fā)波、不易被發(fā)現(xiàn)以及水下連續(xù)工作時(shí)間長等特點(diǎn)，在實(shí)際環(huán)境建設(shè)中起到的作用越來越大。被動(dòng)聲定位的研究主要是對(duì)波束形成算法的研究。波束形成大致可分為兩類:常規(guī)波束形成和自適應(yīng)波束形成[1]。

常規(guī)波束形成實(shí)用性強(qiáng)，受到廣泛的使用，但是其角度分辨力差也是不可避免的原因[2]，因此近些年研究人員對(duì)傳統(tǒng)方位估計(jì)算法進(jìn)行了改進(jìn)。比如：Yang TC受到圖像去模糊處理的反卷積算法的啟發(fā)，將解卷積算法引入到信號(hào)的方位估計(jì)中，該方法基于Richardson-Lucy算法提出，稱為反卷積波束形成[3]。但是此種反卷積求解信號(hào)方位的方式僅用于移不變陣型(均勻線陣、均勻圓陣)，其他陣型并無法使用。在R-L算法之后，研究人員將更多的優(yōu)化方法放在了常規(guī)波束形成方位譜的后續(xù)處理上，比如2019年王悅關(guān)和馬曉川利用陣列響應(yīng)矩陣和半正定規(guī)劃，通過卷積反演的方式將陣列孔徑的有限效應(yīng)消除，在2-范數(shù)約束條件下重構(gòu)空間譜[4]。

雖然反卷積波束形成的理論算法發(fā)展很好，但是陣型的使用局限性限制了反卷積波束形成的實(shí)際應(yīng)用。相對(duì)來說，近些年提出的反卷積波束形成算法都是基于移不變陣型，如何在其他陣型的基礎(chǔ)上使用反卷積波束形成，是解決反卷積波束形成陣型局限性的關(guān)鍵問題。在2016年王瑞革和王法棟提出的基于虛擬陣列變換的共型陣列信號(hào)DOA估計(jì)中，找到了相應(yīng)的解決思路：利用虛擬陣列變換的思想，采用ESRRIT算法和MUSIC算法相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了雙弧陣列信號(hào)二維角度估計(jì)[5]。因此也可以將虛擬陣列變換和反卷積波束形成聯(lián)合應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)反卷積波束形成在雙弧陣上的應(yīng)用。

1 虛擬陣列變換

1.1 雙弧陣陣列模型

隨著探測(cè)目標(biāo)的多樣性，水下機(jī)器人和陣列的組合逐漸成為一種發(fā)展趨勢(shì)，因此共形陣得到了極大的發(fā)展。

為了克服均勻線陣有效輻射角度僅有120°、均勻圓陣布防空間較大的缺點(diǎn)，在不影響水下機(jī)器人水下航行的前提下，采用與水下機(jī)器人配合度更高的雙弧陣，雙弧陣既有線陣分布簡單的特點(diǎn)，又存在圓陣一樣的弧度，一定程度上該弧度可以解決左右舷模糊的問題，具體陣列形狀如圖1所示。陣列放置方式為：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩條圓弧陣對(duì)稱放置，陣元均勻地分布在圓弧上。陣列長度L是雙弧陣的總長度，陣列最大間距D是兩條圓弧間的最大距離。

圖1 雙弧陣陣列模型Fig.1 double arc array model

1.2 虛擬陣列變換

Θ=[θlθl+Δθθl+2Δθ…θr-Δθθr]，

(1)

A=[a(θl)a(θl+Δθ)…a(θr-Δθ)a(θr)]，

(2)

(3)

(4)

根據(jù)式(4)得出變換矩陣Bk表達(dá)式：

(5)

這樣的直接變換有一定的誤差，為了在區(qū)域Θ內(nèi)得到相對(duì)精確的Bk，可以通過計(jì)算變換誤差來確定Bk。變換誤差α表示為

(6)

式中，|·|F表示2-范數(shù)。當(dāng)α足夠小時(shí)，說明就可以接收當(dāng)前的變換矩陣Bk，否則就要對(duì)觀察區(qū)域Θ進(jìn)一步細(xì)分，重新計(jì)算變換矩陣Bk。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2 反卷積波束形成

反卷積是信號(hào)處理中的常見手段，圖2所示的信號(hào)傳輸過程可表示卷積過程，卷積是在已知系統(tǒng)輸入函數(shù)x(t)和系統(tǒng)響應(yīng)h(t)下求解系統(tǒng)輸出函數(shù)y(t)的過程。而反卷積的目的是找到卷積方程的解，反卷積既可作為系統(tǒng)辨識(shí)，即求解h(t)，也可作為信號(hào)檢測(cè)，即求解x(t)。利用時(shí)間采樣和空間采樣的對(duì)偶性，將原本應(yīng)用于處理時(shí)間序列信號(hào)的反卷積技術(shù)應(yīng)用在空間的陣列信號(hào)處理，也就是說，求解目標(biāo)的幅度和角度可以采用信號(hào)檢測(cè)的思路。

圖2 信號(hào)傳輸過程Fig.2 Signal transmission process

圖像去模糊使用的反卷積算法的核心是Richardson-Lucy方法[1]，將圖像去模糊的解卷積方法運(yùn)用到常規(guī)波束形成中，利用反卷積求解信號(hào)方向，一來可以避免方位估計(jì)中穩(wěn)健性差的常見問題，二來可保留常規(guī)波束形成的低旁瓣。

在陣列信號(hào)處理中，陣元接收信號(hào)之間的關(guān)系可以看作是信源發(fā)出信號(hào)的平移，若想要得到輸入信號(hào)有一個(gè)簡單的方式：把每一個(gè)陣元接收到的信號(hào)平移，使之在時(shí)間上對(duì)齊，然后相加[8]。過程如圖3所示。

圖3 時(shí)域信號(hào)卷積過程Fig.3 Time domain signal convolution process

對(duì)比時(shí)域信號(hào)卷積過程(圖3)和信號(hào)傳輸過程(圖2)，相對(duì)應(yīng)圖3中的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為：

(11)

式中，m=0,1,…,M-1，這個(gè)處理器稱為延時(shí)求和波束形成器或常規(guī)波束形成器，根據(jù)信號(hào)模型可知系統(tǒng)函數(shù)可以等效為每一個(gè)角度的陣列指向性函數(shù)。

所以在陣列信號(hào)處理中，陣列的常規(guī)波束形成空間譜可以表示為每一個(gè)角度指向性函數(shù)與該角度信號(hào)源強(qiáng)度乘積之和，用積分表示為：

(12)

式中，P(θ)表示常規(guī)波束形成空間譜；S(?)表示目標(biāo)函數(shù)，包含信源的方向、強(qiáng)度等信息；?表示信源方向；R(θ|?)表示關(guān)于?方向的陣列指向性函數(shù)。

對(duì)比式(11)和式(12)可得到類比關(guān)系：常規(guī)波束形成空間譜P(θ)等效為時(shí)域系統(tǒng)中的輸出信號(hào)y(t)；目標(biāo)函數(shù)S(?)等效為時(shí)域系統(tǒng)中的輸入信號(hào)x(t)；陣列指向性函數(shù)R(θ|?)等效為時(shí)域系統(tǒng)中的系統(tǒng)函數(shù)h(t)，在反卷積中稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)。根據(jù)信號(hào)線性系統(tǒng)移不變的性質(zhì)類比指向性函數(shù)R(θ|?)的移不變性：當(dāng)指向性函數(shù)R(θ|?)滿足空間移不變性，則有R(θ|?)=R(θ-?)，此時(shí)式(12)的疊加積分可以表示為：

(13)

因此，在常規(guī)波束形成空間譜P(θ)和自然指向性R(θ)已知的情況下，反卷積可以得到目標(biāo)函數(shù)S(?)，理想情況下形式為δ函數(shù)，因此反卷積結(jié)果具有高分辨效果。陣列的自然指向性R(θ)是陣列的本身性質(zhì)，不同的陣列自然指向性也不同，自然指向性的移不變性質(zhì)直觀描述為：陣列指向性在θ域上，每一個(gè)?方向?qū)?yīng)指向性函數(shù)圖像都一致。

2.1 基于移不變陣型反卷積波束形成

反卷積波束形成目的是在已知陣列自然指向性函數(shù)和常規(guī)波束形成空間譜的情況下，計(jì)算出目標(biāo)信源的方位和幅度。根據(jù)常規(guī)波束形成空間譜表達(dá)式P(θ)=R(θ)*S(θ)可知，若想要求得目標(biāo)信源S(θ)，需要知道陣列自然指向性函數(shù)R(θ)和常規(guī)波束形成空間譜P(θ)。由此就可以通過反卷積計(jì)算得出目標(biāo)信源的方位[9]。反卷積波束形成是在常規(guī)波束形成的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，因而繼承了常規(guī)波束形成穩(wěn)健性和低旁瓣的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)真實(shí)陣元論陣元位置存在差距時(shí)，只要常規(guī)波束形成可以正常工作，反卷積波束形成就可以成功分辨出信號(hào)的方位。值得注意的是只有自然指向性移不變時(shí)，才能使用反卷積求解目標(biāo)信源方向。

2.2 基于虛擬陣列的反卷積波束形成

由上述內(nèi)容可知，雙弧陣不屬于移不變陣型，所以在一定的變換區(qū)間之內(nèi)將雙弧陣變換為均勻線陣，根據(jù)反卷積波束形成得到該區(qū)間內(nèi)準(zhǔn)確的信號(hào)估計(jì)。基于虛擬陣列變換的反卷積波束形成估計(jì)過程如下：

① 將全空間分割成多個(gè)區(qū)域Θ，并對(duì)每一區(qū)域求解相應(yīng)的虛擬線陣陣元數(shù)M、陣元間距D、變換矩陣Bk、Tk及相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF，并做好存儲(chǔ)；

3 仿真結(jié)果分析

3.1 均勻線陣常規(guī)反卷積波束形成

在仿真實(shí)驗(yàn)中使用的是30元、陣元間距為0.18 m的均勻線陣。入射信號(hào)為遠(yuǎn)場信號(hào)，信號(hào)頻率為4.1 kHz，采樣頻率為30 kHz，信號(hào)的快拍數(shù)為500，噪聲為加性高斯白噪聲。入射信號(hào)的入射角為0°，信噪比分別為5 dB和50 dB，常規(guī)波束形成(CBF)、反卷積波束形成(dCv)以及MUSIC方位估計(jì)對(duì)比如圖4所示。

(a) 信噪比為5 dB

從圖4(a)可以看出,反卷積波束形成得到了一個(gè)主瓣和旁瓣都優(yōu)于常規(guī)波束形成的波束圖，且反卷積波束旁瓣按照常規(guī)波束圖起伏，但是此方法要比MUSIC的主瓣要寬一些，由此說明常規(guī)波束形成比反卷積的能量泄露要多；從圖4(b)可以看出,當(dāng)信噪比增加至50 dB時(shí)，反卷積波束得到一個(gè)主瓣極窄，沒有旁瓣的波形，在此情況下反卷積波束形成的能量泄露極少。綜上可以得出，反卷積波束形成擁有高分辨的能力。

同時(shí)根據(jù)上述的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)反卷積波束形成的主瓣寬度與信噪比有關(guān)，而且波束形成的主瓣寬度本身就與陣元數(shù)相關(guān)，繼而觀察主瓣寬度與信噪比以及陣元數(shù)的關(guān)系，如圖5所示。

從圖5(a)可以看出,當(dāng)信噪比達(dá)到10 dB時(shí)，3種算法的主瓣寬度逐漸趨于穩(wěn)定，且主瓣寬度始終呈以下關(guān)系：CBF>dCv>MUSIC；從圖5(b)可以看出,隨著陣元數(shù)的增加、3種算法方位譜的減小，說明陣元數(shù)對(duì)主瓣寬度影響較大。綜上分析可知，反卷積波束形成在高信噪比和多陣元的情況下，主瓣寬度小，分辨性能好。

(a) 當(dāng)陣元數(shù)為30時(shí)，主瓣寬度與陣元數(shù)關(guān)系

3.2 雙弧陣反卷積波束形成

根據(jù)上述雙弧陣模型，假設(shè)陣列采用24元雙弧陣，陣元間距為0.18 m，子陣列最大間距D為0.5 m。仿真實(shí)驗(yàn)使用的雙弧陣陣元位置圖如圖6所示。

圖6 雙弧陣陣元坐標(biāo)仿真圖Fig.6 Element coordinate simulation diagram of double arc array

3.3 雙弧陣反卷積波束形成

3.3.1 單信源雙弧陣反卷積方位估計(jì)

根據(jù)2.2節(jié)描述，對(duì)雙弧陣使用反卷積波束形成進(jìn)行方位估計(jì)，將24元雙弧陣虛擬變換為85元均勻線陣，稱之為虛擬線陣。虛擬變換預(yù)處理的變換區(qū)域?yàn)?°～14°，變化步長為0.001°。單信源雙弧陣方位估計(jì)對(duì)比如圖7所示。表1為圖7信號(hào)方位估計(jì)的具體數(shù)值，由表1可知，3種方法的方位估計(jì)值都比較準(zhǔn)確，尤其是虛擬線陣dCv的方位估計(jì)更貼近真實(shí)值。在85元的虛擬線陣下，3種方法波束的寬度如表1所示。綜上在虛擬變換范圍內(nèi)，反卷積波束形成的波束寬度更小，方位估計(jì)更優(yōu)秀。

圖7 單信源方位估計(jì)譜對(duì)比Fig.7 Spectrum comparison of single source DOA estimation

表1 信號(hào)方位估計(jì)與主瓣寬度的對(duì)比

3.3.2 相干信源雙弧陣反卷積方位估計(jì)

虛擬變換預(yù)處理的變換區(qū)域?yàn)?°～14°，變化步長為0.001°。相干信號(hào)雙弧陣方位估計(jì)對(duì)比如圖8所示。圖8(a)中 T前表示未進(jìn)行Toeplitz解相干，T后表示Toeplitz解相干后。從圖8可以看出，相干信號(hào)解相干前后的區(qū)別在于：dCv一直比虛擬線陣CBF的主瓣寬度小，說明dCv算法的分辨性能好于虛擬線陣CBF。但是有一點(diǎn)值得注意，解相干前后虛擬線陣CBF方位譜幾乎重合，反卷積波束形成方位譜也幾乎重合，說明相干信號(hào)對(duì)CBF的影響較小，而dCv也擁有較為穩(wěn)定的性質(zhì)。對(duì)比表2中數(shù)據(jù)可知，反卷積波束形成方位估計(jì)值更靠近實(shí)際值，說明反卷積波束形成在分辨角度的同時(shí)估計(jì)效果也不錯(cuò)。綜上分析可知，說明在相干信號(hào)的影響下反卷積波束形成依舊可以保持高分辨性能。

(a) 空間信號(hào)方向10°和12°解相干后雙弧陣方位估計(jì)對(duì)比

表2 信號(hào)解相干前后方位估計(jì)值對(duì)比表

3.3.3 多信源實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)于2018年7月在千島湖進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)采用移動(dòng)聲源的方式來改變信號(hào)方位，聲源位于水下30 m，信號(hào)頻率為4.1 kHz，采樣頻率為25 kHz，信號(hào)范圍是[-π ,π]。陣元按照雙弧陣的仿真位置固定在架子上保持不動(dòng)，布放深度30 m，為保證信號(hào)方位，以正北方向?yàn)閰⒖挤较颍趯?shí)驗(yàn)過程中需要對(duì)陣列做方位變換。為驗(yàn)證解相干后反卷積波束形成分辨兩相近信號(hào)的能力，將兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相加構(gòu)造相近信號(hào)。此時(shí)需要說明：① 信號(hào)的真實(shí)方向由GPS測(cè)量獲得，不一定準(zhǔn)確；②在實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集過程中，并沒有記錄信號(hào)的真實(shí)方向；③ 實(shí)驗(yàn)時(shí)并沒有實(shí)時(shí)進(jìn)行陣列校正，而且現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)不了陣元位置的自校正，所以實(shí)驗(yàn)中使用測(cè)量坐標(biāo)進(jìn)行方位估計(jì)。

舉例對(duì)分辨信號(hào)能力進(jìn)行分析，相鄰的兩個(gè)信號(hào)的方位譜及相加后的方位譜如圖9所示。

(a) 信號(hào)S1方位譜

圖中標(biāo)出兩個(gè)相鄰的信號(hào)，角度估計(jì)分別是111.4°和114.6°，而兩信號(hào)相加后CBF和MUSIC算法的估計(jì)角度為113.1°，說明CBF和MUSIC算法無法分辨這相差3°的信號(hào)。

根據(jù)本文給出的虛擬線陣解相干和反卷積波束形成的方式對(duì)上述合成信號(hào)進(jìn)行方位估計(jì)，方位估計(jì)譜如圖10所示，圖中“V”表示虛擬陣列變換，“T”表示Toeplitz解相干后。為分辨上述信號(hào)將虛擬變換區(qū)間設(shè)置為10°，從圖10(b)可以看出，虛擬線陣的常規(guī)波束形成(V-CBF、V-CBF-T)可以分辨兩信號(hào)，但是信號(hào)估計(jì)值不夠準(zhǔn)確，而反卷積波束形成算法(dCv和dCv-T)是可以準(zhǔn)確分辨這兩個(gè)相鄰信號(hào)，即分辨出相鄰信號(hào)111.4°和114.6°，說明該算法可以有效的分辨相鄰兩信號(hào)。

(a) 信號(hào)S1+S2反卷積波束形成方位譜

因此可以看出，當(dāng)存在兩個(gè)相鄰信號(hào)時(shí)，解相干前后的虛擬線陣都是失效的，無法使用；而反卷積波束形成在常規(guī)波束形成的失效的情況下依然可以準(zhǔn)確分辨相鄰兩信號(hào)，雖然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)多途信號(hào)，但并不影響對(duì)信號(hào)方位的估計(jì)和分辨，為水下定位奠定基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

反卷積波束形成是建立在常規(guī)波束形成上的算法，所以常規(guī)波束形成方位估計(jì)的性能決定了反卷積波束形成的方位估計(jì)性能。移不變陣型使用傳統(tǒng)的反卷積波束形成；對(duì)于移變陣型經(jīng)過虛擬陣列變換預(yù)處理后，再用傳統(tǒng)的反卷積波束形成。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：

① 基于移不變陣列反卷積波束形成有下列優(yōu)點(diǎn)：反卷積波束形成的波束寬度比常規(guī)波束形成小的多；陣列越長，反卷積波束形成波束寬度越小。

② 基于雙弧陣反卷積波束形成在虛擬陣列變換的預(yù)處理之后，性能變好，而且解相干處理之后可以準(zhǔn)確分辨相鄰2°的信號(hào)。

③ 對(duì)于多信源實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過虛擬陣列變換預(yù)處理，解相干和反卷積波束形成效果較好，而且對(duì)環(huán)境的包容性較好，算法的穩(wěn)定性也高，雖然出現(xiàn)多途信號(hào)，但是并不影響算法的分辨性能和估計(jì)準(zhǔn)確性。

綜上分析，經(jīng)過虛擬陣列變換預(yù)處理的雙弧陣反卷積波束形成繼承了常規(guī)波束形成的穩(wěn)健性同時(shí)，還擁有窄主瓣、低旁瓣的優(yōu)良性能，因此雙弧陣反卷積波束形成有較好的信號(hào)方位估計(jì)分辨力。后續(xù)研究的重點(diǎn)應(yīng)該放在兩方面：解決當(dāng)雙目標(biāo)位于不同的虛擬陣列變化區(qū)域Θ時(shí)，反卷積波束形成該如何方位估計(jì)；是否可以將反卷積波束形成直接應(yīng)用于雙弧陣或者其他任意陣型。