李婷婷,包玉娥
(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)
關(guān)于模糊映射的可微性問(wèn)題的研究中,有利用模糊數(shù)的H-差運(yùn)算[1]給出的H-可微性概念[2]和利用模糊數(shù)的gH-差運(yùn)算[3]給出的gH-可微性概念[4].2003年,WANG等[5]給出了模糊映射的H-方向可微性概念,研究了凸模糊映射的方向?qū)?shù)的刻劃和存在性問(wèn)題.2013年,BEDE等[4]給出了模糊映射的gH-可微性和LgH-可微性(gH-截可微性)概念及一系列相關(guān)性質(zhì),討論了模糊映射的gH-可微性與積分之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分別討論了區(qū)間值映射的gH-方向可微性和模糊映射的gH-方向可微性問(wèn)題,給出了區(qū)間值映射的gH-方向可微性概念和模糊映射的gH-方向可微性概念,得到了一些有意義的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上,給出了模糊映射的LgH-方向可微、LgH-偏導(dǎo)數(shù)和LgH-梯度的概念,討論了模糊映射的LgH-方向可微性與區(qū)間值映射的gH-方向可微性以及端點(diǎn)函數(shù)的方向可微性之間的關(guān)系,證明了模糊映射的LgH-導(dǎo)數(shù)和LgH-偏導(dǎo)數(shù)均為模糊映射沿坐標(biāo)軸方向的LgH-方向?qū)?shù).
定義1.1[8]設(shè)R為實(shí)數(shù)集,如果模糊集u:R→[0,1]滿足下列4個(gè)條件:
(1)u是正規(guī)模糊集,即存在x∈R使得u(x)=1;
(2)u是上半連續(xù)函數(shù);
(3)u是凸模糊集,即對(duì)任意的x,y∈R,λ∈[0,1],有
(4)u的承集是緊集.
則稱u為R上的模糊數(shù),記?為R上的所有模糊數(shù)構(gòu)成的集合(即模糊數(shù)空間).對(duì)u∈?,u的α-截集(α∈[0,1])是一個(gè)有界閉區(qū)間
對(duì)于u,v∈?及r∈R,模糊數(shù)空間?上的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算定義如下:

對(duì)于u,v∈?,采用的u與v之間的距離公式為

設(shè)M為Rn中的一個(gè)非空子集.將M到?的映射稱為模糊映射,記為F:M→?.對(duì)α∈[]0,1,可以得
到與模糊映射F:M→?相對(duì)應(yīng)的一族區(qū)間值映射x∈M.
其中,(1)[R]表示R上的所有有界閉區(qū)間構(gòu)成的區(qū)間數(shù)空間;
定義1.2[3]對(duì)于u,v∈?,如果存在w∈?,使得u=v+w或v=u+(-1)w,則稱u與v的廣義H-差(即gH-差)存在,記為w=u?gHv.
如果u?gHv存在,則對(duì)α∈[]0,1,有

性質(zhì)1.1[3]對(duì)于,如果ugHv存在,則對(duì)r∈R,有ru?gHrv也存在,且
對(duì)y∈Rn,記ye為y的單位向量.
定義1.3[7]設(shè)為模糊映射,x∈M.如果對(duì)y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)任意h∈()0,δ,有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在,同時(shí)存 在使得

則稱F在x處沿y方向右(左)gH-方向可微,稱u+(u-)為F在x處沿y方向的右(左)gH-方向?qū)?shù),并記為
定義1.4[6]設(shè)f:M→[R]為區(qū)間值映射,x∈M.如果對(duì)y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)任意h∈(0,δ),有且存在,使得

則稱f在x處沿y方向右(左)gH-方向可微,并稱A+(A-)為f在x處沿y方向的右(左)gH-方向?qū)?shù),記為
定理1.1[6]設(shè)f:M→[R]為區(qū)間值映射,.如果f在x處沿y方向gH-方向可微,并且存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有則,其中和分別為和在x處沿y方向的方向?qū)?shù).
定義1.5[4]設(shè)F:(a,b)→?為模糊映射,x∈(a,b)且x+h∈(a,b).如果存在u∈?,使得

則稱F在x處LgH-可微,且u稱為F在x處的LgH-導(dǎo)數(shù),并記為FLgH(x)=u.
定義2.1設(shè)F:M→?為模糊映射,x∈M.如果對(duì)y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在,同時(shí)存在u+∈?(u-∈?)使得對(duì)α∈[0,1]有

則稱F在x處沿y方向右(左)截gH-方向可微(簡(jiǎn)記為L(zhǎng)gH-方向可微),稱u+(u-)為F在x處沿y方向的右(左)截gH-方向?qū)?shù),并記為
定理2.1設(shè)F:M→?為模糊映射,x∈M,y∈Rn.
(1)如果F在x處沿y方向右(左)gH-方向可微,則F在x處沿y方向右(左)LgH-方向可微且
(2)如果F在x處沿y方向gH-方向可微,則F在x處沿y方向LgH-方向可微且
證明(1)設(shè)F在x處沿y方向右(左)gH-方向可微,則對(duì)x∈M,y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在,同時(shí)存在,使得對(duì)α∈[0,1]有


所以,根據(jù)定義2.1可得F在x處沿y方向右(左)LgH-方向可微且
(2)設(shè)F在x處沿y方向gH-方向可微,則有.又 由(1)知.于是有.所以,F(xiàn)在x處沿y方向LgH-方向可微且
定理2.2設(shè)F:M→?為模糊映射,x∈M,y∈Rn,α∈[0,1].
(1)如果F在x處沿y方向右(左)LgH-方向可微,則區(qū)間值映射Fα:M→[R]在x處沿y方向右(左)gH-方向可微且
(2)如果F在x處沿y方向LgH-方向可微,則區(qū)間值映射Fα:M→[R]在x處沿y方向gH-方向可微且
證明(1)設(shè)F在x處沿y方向右(左)LgH-方向可微,則對(duì)x∈M,y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有且gH-差存在,同時(shí)存在,使得對(duì)α∈[0,1]有

由定義1.2有

所以,根據(jù)定義1.4可得區(qū)間值映射Fα在x處沿y方向右(左)gH-方向可微且
(2)設(shè)F在x處沿y方向LgH-方向可微,則對(duì)x∈M,y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有,且gH-差存在,同時(shí)存在,使得對(duì)α∈[0,1]有

由定義1.2有

所以,根據(jù)定義1.4可得區(qū)間值映射Fα在x處沿y方向gH-方向可微且
定理2.3設(shè)F:M→?為模糊映射,
(1)如果F在x處沿y方向右LgH-方向可微,并且存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),α∈[0,1]有,則區(qū)間值映射Fα的兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)和在x處沿y方向的右方向?qū)?shù)均存在,并且,其中和分別為和在x處沿y方向的右方向?qū)?shù).
(2)如果F在x處沿y方向左LgH-方向可微,并且存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),α∈[0,1]有,則區(qū)間值映射Fα的兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)和在x處沿y方向的左方向?qū)?shù)均存在,并且,其中和分別為和在x處沿y方向的左方向?qū)?shù).

(3)如果F在x處沿y方向LgH-方向可微,并且存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),α∈[0,1]有則區(qū)間值映射Fα的兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)和在x處沿y方向的方向?qū)?shù)均存在,并且,其中和分別為和在x處沿y方向的方向?qū)?shù).
證明(1)設(shè)F在x處沿y方向右LgH-方向可微,則對(duì)x∈M,y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有x+hye∈M且gH-差存在,同時(shí)存在,使得對(duì)α∈[0,1]有

由定義1.2及性質(zhì)1.1有


(2)和(1)的證明相同,從略.
(3)設(shè)F在x處沿y方向LgH-方向可微,則對(duì)x∈M,y∈Rn,存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有x+hye,x-hye∈M且gH-差存在,同時(shí)存在,使得對(duì)α∈[0,1]有

定理2.4設(shè)F:(a,b)→?為模糊映射,則F在x處沿y=1方向LgH-方向可微當(dāng)且僅當(dāng)F在x處LgH-可微且FLgH(x)=FLgH(x,1).
證明必要性 設(shè)F在x處沿y=1方向LgH-方向可微,則存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有x+h,x-h∈(a,b)且gH-差存在,同時(shí)存在FLgH(x,1)∈?使得對(duì)α∈[0,1]有

由于

于是有

從而有

所以,根據(jù)定義1.5可得F在x處LgH-可微且
充分性 設(shè)F在x處LgH-可微,則存在,使得對(duì)α∈[0,1]有

即存在δ>0,使得對(duì)h∈(0,δ),有x+h,x-h∈(a,b)且gH-差存在,由必要性的證明過(guò)程可知
于是有

從而有

所以,根據(jù)定義2.1可得F在x處沿y=1方向LgH-方向可微且
定義2.2設(shè)F:M→?為模糊映射,.如果模糊映射在xi處LgH-可微,則稱F在x0處關(guān)于xi的LgH-偏導(dǎo)數(shù)存在,記為,且
定理2.5設(shè)F:M→?為模糊映射,.如果F在x0處沿ei方向LgH-方向可微,則F在x0處關(guān)于xi的LgH-偏導(dǎo)數(shù)存在,且
證明設(shè),則對(duì)α∈[0,1]有

由F在x0處沿ei方向LgH-可微,則有

于是有

所以,根據(jù)定義2.2有F在x0處關(guān)于xi的LgH-偏導(dǎo)數(shù)存在,且
定義2.3設(shè)F:M→?為模糊映射,.如果F在x0的鄰域內(nèi)關(guān)于xi的所有LgH-偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù),則稱F在x0處LgH-可微,且其LgH-梯度為

推論2.1設(shè)F:M→?為模糊映射,.如果F在x0處LgH-可微,則

證明設(shè)F在x0處LgH-可微,則

所以,根據(jù)定義2.3可得F在x0處的LgH-梯度可記為

模糊映射的可微性是模糊分析學(xué)的重要概念之一,對(duì)模糊優(yōu)化問(wèn)題及模糊微分方程的研究起著關(guān)鍵的作用.對(duì)模糊映射的LgH-方向可微性問(wèn)題進(jìn)行了研究,討論了模糊映射的LgH-方向可微性與區(qū)間值映射的gH-方向可微性以及端點(diǎn)函數(shù)的方向可微性之間的關(guān)系,得到了模糊映射LgH-方向可微的幾個(gè)必要條件.將在接下來(lái)的研究工作中繼續(xù)討論模糊映射的gH-可微性及其在模糊規(guī)劃中的應(yīng)用問(wèn)題.