“三步”求解天體運(yùn)動(dòng)中的比值問(wèn)題

四川

(作者單位：四川省渠縣中學(xué))

對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，很多同學(xué)得分較低，原因包括以下三個(gè)方面：一是未建立起“中心天體圓周運(yùn)動(dòng)軌道模型”；二是“圓周運(yùn)動(dòng)、萬(wàn)有引力、衛(wèi)星”的關(guān)系讓學(xué)生混亂不清；三是涉及綜合知識(shí)的關(guān)系式和物理量眾多，遇到求解比值問(wèn)題，學(xué)生更是毫無(wú)頭緒，要么感覺(jué)計(jì)算繁瑣，直接放棄，要么化簡(jiǎn)時(shí)出現(xiàn)顛倒錯(cuò)誤。天體運(yùn)動(dòng)這一章，歸根到底，考查核心是萬(wàn)有引力提供向心力，需要解決中心天體的質(zhì)量和密度的問(wèn)題，用到的方法有“表面物體法”和“引入衛(wèi)星法”。筆者通過(guò)歸納總結(jié)多屆學(xué)生的錯(cuò)因，提煉出求解天體運(yùn)動(dòng)涉及比值問(wèn)題的“三步法”。該方法能夠簡(jiǎn)化書(shū)寫過(guò)程，讓比值的形式簡(jiǎn)單，節(jié)約時(shí)間，降低出錯(cuò)率，甚至可以遷移至任意求解比值問(wèn)題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)物理的積極性。接下來(lái)通過(guò)例題分析說(shuō)明“三步法”求比值的便利和特點(diǎn)：

第一步：找準(zhǔn)原理式

第二步：求解未知量

第三步：化簡(jiǎn)比例式

一、天體運(yùn)動(dòng)中求比值

【典例1】(2021·河北卷·4)“祝融號(hào)”火星車登陸火星之前，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個(gè)火星日。假設(shè)某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個(gè)火星日。已知一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為

( )

【分析】常規(guī)方法求解：

根據(jù)“引入衛(wèi)星法”及萬(wàn)有引力提供向心力可知：

則有：

(在化簡(jiǎn)求比值時(shí)，由于涉及物理量較多，計(jì)算時(shí)極易出錯(cuò)，并且書(shū)寫用時(shí)較長(zhǎng))

“三步法”求解：

第一步，找原理式，根據(jù)衛(wèi)星圍繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)及題目已知，有：

第二步，求未知量，表示出正比例關(guān)系，故：

第三步，求解比值：

【答案】D

【典例2】據(jù)報(bào)道，最近在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的24倍。不考慮自轉(zhuǎn)效應(yīng)，該行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的6倍，由此可推知，該行星的半徑與地球半徑的比值約為

( )

A.0.5 B.2 C.3.2 D.4

【分析】常規(guī)法求解：

“三步法”求解：

第一步，找原理式：

第二步，求未知量：

第三步，求解比值：

【答案】B

【步驟說(shuō)明】

1.處理第一步時(shí)，即使是多個(gè)對(duì)象，也只需寫出原理式一次即可，這樣就可以少書(shū)寫公式，在天體運(yùn)動(dòng)部分物理量眾多的情況下，更能節(jié)約時(shí)間；

2.在第二步求未知量時(shí)，使用“∝”，巧妙地將兩個(gè)對(duì)象具有相同的物理量以及常數(shù)部分約去(因?yàn)榍蟊戎禃r(shí)，相同物理量和常數(shù)將會(huì)比值為1)，簡(jiǎn)化了比值決定式的形式；

3.第三步求解比值，成正比時(shí)，角標(biāo)正對(duì)應(yīng)，成反比時(shí)，角標(biāo)反對(duì)應(yīng)，巧妙避免處理多個(gè)分?jǐn)?shù)的麻煩，有效降低出錯(cuò)率。

【總結(jié)】很多同學(xué)看到此類試題就不愿意分析，“排斥心理”的逐漸堆積致使求比值成為得分難題。分析原因：一是學(xué)生對(duì)天體部分模型建立不熟悉，感覺(jué)很茫然，不知從何分析；二是即使會(huì)分析和列式子，但涉及到演算，因繁瑣復(fù)雜，易算錯(cuò)，一旦演算不順利，學(xué)生就會(huì)立即放棄。久而久之，很多同學(xué)不再愿意做此類題型，產(chǎn)生排斥心理。

【典例3】甲、乙兩星球的平均密度相等，半徑之比是R甲∶R乙=4∶1，則這兩個(gè)星球表面的重力加速度之比是

( )

A.1∶1 B.1∶4 C.1∶16 D.4∶1

【分析】“三步法”求解：

【答案】D

【典例4】?jī)蓚€(gè)行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b。衛(wèi)星的圓形軌道接近各自行星的表面。如果兩行星質(zhì)量之比MA∶MB=p，兩行星半徑之比RA∶RB=q，則兩衛(wèi)星周期之比Ta∶Tb為

( )

【分析】“三步法”求解：

第一步，找原理式，根據(jù)“引入衛(wèi)星法”，故原理式為：

【答案】A

二、遷移——求任何比值問(wèn)題

【典例5】如圖1所示，在坡度一定的斜面頂點(diǎn)以大小相同的初速v同時(shí)水平向左與水平向右拋出兩個(gè)小球A和B，兩側(cè)斜坡的傾角分別為37°和53°，小球均落在坡面上，若不計(jì)空氣阻力，則A和B兩小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為

( )

圖1

A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9

【答案】C

【分析】“三步法”求解：

第一步，找原理式，兩球做平拋運(yùn)動(dòng)，涉及豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)和水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，其原理式為：

第二步，求未知量，因兩球的初速度大小相等，故：

第三步，求解比值：

【答案】C

【典例6】?jī)蓚€(gè)電荷量分別為q和-q的帶電粒子a和b分別以速度va和vb射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩粒子的入射方向與磁場(chǎng)邊界的夾角分別為30°和60°，磁場(chǎng)寬度為d，兩粒子同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，已知A、B連線與磁場(chǎng)邊界垂直，如圖2所示，則

( )

圖2

B.兩粒子的質(zhì)量之比ma∶mb=1∶2

C.a粒子帶正電，b粒子帶負(fù)電

D.兩粒子的速度之比va∶vb=1∶2

【分析】“三步法”求解：

作出其中一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖(如圖3)，由選項(xiàng)可知，需求解R、m、v0三個(gè)物理量之比。

圖3

第一步，找原理式，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律以及幾何知識(shí)，故需要的原理式有：

第二步，求未知量，直接求解正比例關(guān)系即可，電荷量相等、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等、相同磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)寬度，故：

第三步，求解比值：

【答案】B

總結(jié)：此題涉及物理量較多，應(yīng)用三步法，使學(xué)生思路清晰、目標(biāo)明確，利用正比關(guān)系，將相同物理量提前約去，讓最終比例式簡(jiǎn)潔明了，降低出錯(cuò)率。

【典例7】如圖4所示，a、b兩個(gè)閉合正方形線圈用同樣的導(dǎo)線制成，匝數(shù)均為10匝，邊長(zhǎng)la=3lb，圖示區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的均強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增大，不考慮線圈之間的相互影響，則a、b線圈中電功率之比為

( )

圖4

A.1∶1 B.3∶1 C.9∶1 D.27∶1

【分析】“三步法”求解：

第一步，找原理式，涉及法拉第電磁感應(yīng)定律、電阻定律和電功率，故需要的原理式有：

第二步，求未知量，因材質(zhì)相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率相等，故：

【答案】D

【典例8】如圖5所示，從離子源產(chǎn)生的甲、乙兩種離子，由靜止經(jīng)加速電壓U加速后在紙面內(nèi)水平向右運(yùn)動(dòng)，自M點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)邊界射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁場(chǎng)左邊界豎直。已知甲離子射入磁場(chǎng)的速度大小為v1，并在磁場(chǎng)邊界的N點(diǎn)射出；乙離子在MN的中點(diǎn)射出；MN長(zhǎng)為l，不計(jì)重力影響和離子間的相互作用。求：

圖5

(1)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；

(2)甲、乙兩種離子的比荷之比。

【分析】第(2)小問(wèn)求比荷之比，利用“三步法”求解：

第一步，找原理式，涉及離子在靜電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)(動(dòng)能定理)和在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(洛倫茲力提供向心力)，故需要的原理式有：

第二步，求未知量，聯(lián)立兩式消去速度v(將②式中的v解出代入①式)，并且兩離子經(jīng)過(guò)相同電場(chǎng)加速和相同磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，故有：