從不同角度證明一道粒子運(yùn)動(dòng)題

安徽

(作者單位：安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校安徽省阜陽市教育科學(xué)研究所)

本文采用三種不同方法對(duì)2020年全國高考物理卷Ⅰ中的一道選擇題目的推理依據(jù)進(jìn)行邏輯論證；將解決問題的方法推廣到一般情形，給出這道選擇題目的多個(gè)變式并進(jìn)行求解。

一、原題呈現(xiàn)

( )

圖1

即，該題目的正確選項(xiàng)是C。

圖2

由于這道題目是選擇題，作答時(shí)無需寫出推理過程，所以，從應(yīng)試的角度考慮，根據(jù)作圖的“直觀”感受進(jìn)行選項(xiàng)的判斷無疑是最省時(shí)同時(shí)又最“省勁”的方法。那么其正確性如何進(jìn)行證明呢(很多學(xué)生是憑作圖結(jié)果進(jìn)行選擇的，因?yàn)樗麄儧]有找到證明的方法，這不能不說是一種僥幸)？

二、C選項(xiàng)正確性的證明

1.運(yùn)用求導(dǎo)方法進(jìn)行證明

圖3

∵2m2-4m+3>0

2.運(yùn)用余弦定理進(jìn)行證明

易知，當(dāng)r=R時(shí)，cosθ最小，此時(shí)θ最大(證畢)

圖4

3.運(yùn)用直線與圖形的位置關(guān)系進(jìn)行證明

如圖5所示，⊙A下方的半圓是磁場的邊界，由P點(diǎn)按題目要求射出的很多速率不同的粒子在磁場中沿圓弧軌跡運(yùn)行之后與圓形磁場邊界的交點(diǎn)分別是B、C、D…，設(shè)某粒子的軌跡和磁場邊界的交點(diǎn)與P點(diǎn)的連線與PA的夾角為α，軌跡圓弧所對(duì)的圓心角為θ，易知θ=180°+2α，顯然，當(dāng)α最大時(shí)θ最大，由圖5可知，在P與⊙A上各點(diǎn)的連線中，其中過P點(diǎn)的切線與PA的夾角最大，而PA的長度是⊙A半徑的2倍，所以軌跡圓的半徑與磁場邊界圓的半徑相等時(shí)，P與兩圓交點(diǎn)的連線剛好是軌跡圓的切線，此時(shí)軌跡圓弧所對(duì)的圓心角最大，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長。

圖5

三種證明方法相比，顯然方法3是最簡便易懂的方法。

應(yīng)該說，采用方法三，很容易從眾多大小不等的圓形軌跡中，確定在磁場中按題目所給條件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的帶電粒子運(yùn)行時(shí)間最長的軌跡。實(shí)際上，方法三不僅限于解決這一個(gè)問題，而是可以解決跟例題1類似的同一類型的不同問題。我們不妨看下該方法在解決類似問題中的應(yīng)用。

三、該高考題目的多個(gè)變式及解析

圖6

【解析】如圖7所示，設(shè)正十邊形的中心為O點(diǎn)，邊DC的延長線交直線AB與M，我們先判斷粒子的射入點(diǎn)P相對(duì)M的位置。

圖7

圖8

【變式2】一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖9中虛線N-A-C-M所示，其中曲線AC段為拋物線的一部分，C為拋物線的頂點(diǎn)，磁場邊界的其余部分為直線。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從P點(diǎn)垂直于PA射入磁場，這些粒子具有各種速率。已知拋物線的水平弦長AB=8，拋物線頂點(diǎn)C到AB的距離也為8，PA=1，不計(jì)粒子之間的相互作用，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間(結(jié)果可保留反三角函數(shù))。

圖9

【解析】如圖10所示，從粒子的發(fā)射點(diǎn)P作拋物線的切線，設(shè)切點(diǎn)為E，以E為頂點(diǎn)作∠PEF=∠EPB，角的另一邊交AB與F，由以上分析可知，PE與PB的夾角∠EPB是P點(diǎn)與拋物線上各點(diǎn)連線中與PB夾角最大的角，所以，從E點(diǎn)射出的粒子在磁場中運(yùn)行的時(shí)間最長，這時(shí)點(diǎn)F為運(yùn)行時(shí)間最長的軌跡圓的圓心。

圖10

四、結(jié)語