基于優化概率密度函數的圖像對比增強技術研究

惠學武

（中國人民解放軍海軍大連艦艇學院，遼寧 大連 116018）

圖像采集設備獲取的某些辨識度較低的圖像，嚴重制約計算機視覺識別系統的識別效果。圖像增強技術可以增強圖像的對比度，提高圖像的視覺質量，促進肉眼或計算機對圖像的識別，已經廣泛應用在多個領域［1］。直方圖均衡化HE（histogram equalization）是增強圖像對比度的常用空間域方法，通過將直方圖變換為具有均勻密度分布的直方圖，然后再按照直方圖調整原有圖像以增強圖像對比效果，無需設置參數就可以有效地增加圖像的對比度［2］。但是，鑒于直方圖均衡化只是改變原圖像中同一灰度層上所有像素的灰度，導致均衡化圖像的動態范圍擴大，不可避免存在灰度吞噬現象、最亮的像素點過于飽和、結構信息丟失，圖像過度增強的情況［2－3］。

為了解決這些問題，學者提出了多種優化直方圖均衡化的方法。Kim［4］提出了保持亮度的雙直方圖均衡BBHE（brightness preserving bi-histogram equalization），根據原圖亮度的均值將原圖劃分為2個圖像，然后獨立對每個直方圖進行均衡化。江巨浪等［5］針對傳統的雙直方圖均衡算法不能精確實現圖像亮度保持目標的問題，提出了一種新的雙直方圖均衡算法。Sim等［6］利用圖像均值將原圖劃分為2個子圖像，然后利用子圖像的均值劃分子圖像，提出遞歸子圖像直方圖均衡化RSIHE（recursive sub-image histogram equalization）。但是該方法迭代次數最優值的選擇較為困難，遞歸次數較大時圖像的增強效果會嚴重退化。Mary等［7］發展了遞歸分離加權直方圖均衡均值RSWHE-M（recursive separated and weighted histogram equalization me）。Singh等［8］提出曝光的子圖像直方圖均衡化ESIHE（exposure-based sub-image histogram equalization）可以很好地增強原圖的對比度，但是無法確保圖像的亮度。Ooi等［9］提出平臺受限的雙邊直方圖均衡BHEPL（bi-histogram equalization with a plateau limit）。Jingrui等［10］提出基于強度曝光的雙直方圖均衡化IEBHE（intensity exposure-based bi-histogram equalization）直方圖，但有時該方法會出現圖像對比度不強的情況。Seonhee等［11］基于變分優化的retinex模型LLVORM（low-light image enhancement using variational optimization-based retinex model）增強低亮度圖像對比度。Jingrui等［12］根據圖像中值亮度分割直方圖，得到改進的雙直方圖均衡化方法BHEMHB（bi-histogram equalization using modified histogram bin）。李艷萍等［13］提出了基于限峰分離模糊直方圖均衡化的圖像增強算法。羅強等［14］針對偏暗、低對比度圖像視覺顯著性圖提取效果不理想的問題，提出一種基于改進的直方圖均衡化的圖像顯著性圖提取算法。

大多數自適應直方圖均衡化方法都是局部增強，針對該方法在增強圖像對比度時會出現平均亮度不足、圖像過度增強、失真等問題，本文基于圖像強度的期望值E［Ik］（the expected value of image intensity），構建全局自適應的圖像概率密度函數（an global adaptive probability density function），最后使用累積分布函數（cumulative distribution function，CDF）轉換得到重建的圖像，以保證總體直方圖具有熵最大性質，抑制過度增強，得到最適中圖像的增強。

1 算法設計

提出的優化方法流程如圖1所示，鑒于直方圖均衡化算法可能導致過度增加圖像強度的情況，本文首先選用裁剪閾值的方法裁剪圖像直方圖，然后生成相應的圖像概率密度函數PDF，根據圖像強度期望值E［Ik］和絕對平均誤差（average absolute error metric）得到全局自適應的圖像概率密度函數，經過轉換函數后重新構建圖像，最終輸出處理后的圖像。

圖1 圖像處理流程框圖

1.1 裁剪圖像直方圖

假設灰度圖像I的圖像強度為I0，I1…IL－1，直方圖為H（Ik）。生成圖像的直方圖后，如式（1），選擇圖像直方圖中圖像強度值的中位數作為裁剪閾值，裁剪圖像直方圖。

式中：n（i）是圖像直方圖的灰度級數。

那么，裁剪后的圖像直方圖HC（Ik）表示為：

1.2 直方圖概率密度函數的優化

得到裁剪圖像直方圖后，根據式（3）圖像直方圖的概率密度函數得到不同圖像強度下的圖像直方圖的概率密度值。

式中：k為圖像的強度水平；M×N是圖像中的像素總數。然后，在考慮圖像強度期望值E［Ik］和平均絕對誤差的基礎上對其進行優化。

1）圖像強度期望值E［Ik］

當采用直方圖均衡化的時候，圖像強度值E［Ik］會根據圖像的平均亮度而變化，對于低亮度的圖像其E［Ik］較小，高亮度的圖像E［Ik］則較高，即在某種意義上E［Ik］具有自適應性。另外，期望值E［Ik］也會直接影響增強圖像的處理效果。所以本文利用E［Ik］的自適應性，通過調整E［Ik］值來優化圖像直方圖概率密度函數，提高圖像的對比度，E［Ik］的計算如式（4）所示。

式中：L為圖像強度等級的總數；max（Ik）為圖像的最大強度值。下文將分析E［Ik］值對圖像效果的影響。

2）平均絕對誤差

另外，本文選擇平均絕對誤差來優化概率密度函數，定義誤差為2個不同強度下概率密度函數PDF之間的差。計算平均絕對誤差的具體過程為：

步驟1令圖像的PDF為1×L的行矩陣，其中P0，P1…PL－1為特定灰度下的概率密度值。

步驟2將PDF分為2個子集：PDF1和PDF2，PDF1的范圍為P0～Pi；PDF2為Pi＋1～PL－1。

步驟3設PDF1和PDF2的平均值為PDF1avg和PDF2avg。

步驟4生成大小分別為PDF1和PDF2的2個單位矩陣I1和I2。

步驟5將PDF1avg與I1相乘，PDF2avg與I2相乘得到矩陣M1和M2，M1和M2組成1×L的行矩陣M。

步驟6得到PDF矩陣和M矩陣的絕對差矩陣Di，得到矩陣Di的平均值矩陣Dim。

步驟7從步驟2開始計算從i＝0到255的所有強度值每次迭代得到對應的Dim值，計算完成后得到由Dim值組成的矩陣F。

通過式（5）對F進行歸一化：

得到平均絕對誤差如下：

最后，在考慮圖像強度期望值和平均絕對誤差的基礎上，根據圖像強度值遞歸分割圖像的PDF，得到優化圖像直方圖概率密度函數PDFm（Ik）為：

1.3 基于分布密度函數變換的圖像重建

在得到優化的概率密度函數PDFm（Ik）后，根據式（8）計算分布函數CDF（cumulative distribution function），再根據式（9）轉換函數獲得增強后的圖像。

轉換函數為：

1.4 E［Ik］值對圖像對比度的影響

為了分析E［Ik］對增強圖像對比度效果的影響，選取戰斗機圖像進行分析，如圖2所示，曲線是取不同E［Ik］值時得到優化后的PDF與圖像灰度大小的關系，對應處理后的圖像如圖3所示。通過圖2可以看出E［Ik］對PDF曲線的變化影響較為明顯，可以分為E［Ik］值較大和較小時2種情況討論影響的結果。

圖2 不同E［Ik］值下戰斗機圖像的PDF曲線

圖3 不同E［Ik］值下戰斗機的增強圖像

1）E［Ik］值較小

如圖2所示，當E［Ik］值為0.001時，圖像的PDF曲線與原始曲線重疊；當E［Ik］值為0.1時，它與原始曲線的變化趨勢基本一致，PDF值略小于原有值。

因此，當E［Ik］的值小于等于0.1時，可以忽略式（7）中的因子E［Ik］*e，將式（7）轉換為：

另外，由于

因此，優化后的PDF等于原有的PDF，即：

如圖3所示，增強后的圖像圖3（d）與原有的直方圖均衡化圖像幾乎沒有差別，圖3（e）與原有直方圖僅有略微的差別。

2）E［Ik］值較大

從圖2可以看出，當E［Ik］為100時，生成的PDF曲線的波動很小，沒有明顯的波峰和波谷。因此，當選擇E［Ik］值大于等于100時，可將式（6）轉換為：

如圖3所示，當E［Ik］＝100時，圖像增強后的效果類似于原始圖像。取E［Ik］＝0.77得到優化的PDF曲線，如圖2中的黑色實線所示，相比于原有的PDF曲線，優化后的曲線增大了原始PDF的最小值，降低了最大值，起到了“削峰填谷”的作用。同時，從主觀上看圖3（c）圖像的增強效果是所有E［Ik］值中最好的。

2 實驗結果與分析

將本文的方法應用于多個灰度圖片，并與HE、BBHE、IEBHE、LLVORM、BHEPL、BHEMHB技術比較。測試圖像取自標準計算機視覺組（CVGUGR）數據庫和柯達無損真彩色圖像套件。

2.1 客觀評價

2.1.1 客觀評價指標

常用的圖像質量客觀評價指標有：熵［15］（image entropy）、峰值信噪比［16］（peak signal to noise ratio，PSNR）、梯度幅度相似性偏差［17］（gradient magnitude similarity deviation，GMSD）、直方圖利用率［18］（histogram utilisation efficiency，UEh）、結構相似度（structural similarity index，SSIM）、平均梯度［19－20］（average gradient，AG）等。其中，結構相似度可度量2幅圖像的相似程度，廣泛的用于圖像的去噪和復原中，不宜通過對比2幅圖像的相似程度評價增強效果的好壞，故不采用該方法。由于圖像的熵和平均梯度均屬于無參考質量評價且都反映圖像的信息量，可以選擇其中一個指標評價圖像增強效果。所以，為了定量比較本方法增強圖像的效果，本研究選擇以下4種評價指標：

①熵是衡量圖像直方圖中均勻分布的情況，可以預測圖像細節的豐富性，熵的定義如下：

式中：p（Ik）是強度級別k的概率值；L為圖像強度等級的總數，圖像的動態范圍為［0，L－1］。熵的值越高，表示圖像的信息量越大，細節越豐富。所以，理論上得到處理后圖像的熵值越大越好。

②峰值信噪比PSNR主要用于計算輸入圖像和處理圖像之間的質量增益，可以表征圖像是否保持自然外觀，PSNR的計算如式（15）所示。

式中：MSE（mean square error）是當前圖像X和參考圖像Y均方誤差；H、W分別為圖像的高度和寬度；t為每個像素的比特數，取8；PSNR單位為dB，其值越高代表圖像失真越少。

③梯度幅度相似性偏差GMSD可以表征圖像的扭曲程度，GMSD的值越小圖像的質量越高。GMSD的數學計算如下：

式中：Y×Z是圖像I的大小。

④直方圖利用率UEh是另一個圖像直方圖的主要屬性。對于一個對比度較好的圖像，在不過多改變圖像直方圖的主要特征的情況下，圖像的直方圖盡可能的規則地散布在整個區域之內，UEh表示為：

式中：NBe和NBO為增強圖像和原始圖像的非零像素數目。由于增強圖像中的非零像素數目比原始圖像中的非零像素數目要少，因此UEh的值小于1。但是，如果該值遠小于1則會破壞圖像質量。所以，該值越接近于1圖像的質量越好。

2.1.2 客觀評價結果分析

利用不同的方法得到各種測試圖像的客觀評價結果如表1～4所示，將表中最優的2個值加粗顯示。

表1 信息熵評價指標

由表1可知，與其他方法相比，本文的方法處理不同圖像后得到的的熵值最高，熵的平均值為6.75也最接近輸入圖像的6.774。因此，該方法體現圖像中的大部分的信息，很好地體現圖像的細節。

由表2中的PSNR值可知，與其他方法相比，本方法處理戰斗機、長發和短發女士圖像后得到PSNR的最大值，處理其余圖像得到的PSNR值相對不是最大值，但本方法得到PSNR值的平均值最大。這表明本文的方法的魯棒性較好，可保持不同類型圖像的質量，適用于不同類型的圖像。

表2 峰值信噪比PSNR

從表3可知，本方法處理除愛因斯坦圖像外所有圖像的GMSD值是所有方法最小的，且總的平均值明顯小于其他算法的均值，說明本方法可以在失真非常小的情況下增強圖像的對比度。

表3 梯度幅度相似性偏差GMSD

從表4可以看出，相比于其他方法，本方法處理除愛因斯坦圖像外所有圖像后得到的UEh值都是最高，平均值最大且明顯高于大部分方法，說明方法在增強對比度的同時保持了圖像基本特征。

表4 直方圖利用率UEh

2.2 主觀評價

為了驗證本文方法的效果，本節采用主觀的視覺評估方法，由于篇幅限制分別選取2組黑白圖像圖4、5，2組彩色圖像圖6、7進行增強效果的對比和分析，實驗結果如圖4～7所示。

圖4 愛因斯坦圖像的增強

圖6 短發女士圖像的增強

圖4顯示了7種方法處理愛因斯坦圖像的結果。其中，HE和BBHE方法過度增強了圖片的亮度，圖像發黑，失真較為明顯。BHEPL方法導致了圖像模糊，略有些過亮。MMBEBHE方法在增強圖像后導致圖像失真。IEBHE和LLVORM方法增強圖像對比度的效果較好。雖然BHEMHB方法增強了圖像，但不是很平滑。相比較而言，本文的方法處理圖像后視野相對清晰，增強效果較好。

圖5顯示了長發女士圖像的結果。采用HE、BBHE方法增強圖像后出現幾乎相同的過度增強效果。IEBHE方法處理后圖像亮度整體較暗。BHEPL處理后的圖像有些失真。LLVORM和BHEMHB方法在增強圖像對比度的同時也很好地保持了圖像的原有特點。本文的方法增強效果略好于LLVORM和BHEMHB方法且圖像較為自然。

圖5 長發女士圖像的增強

圖6顯示了7種算法對短發女士彩色圖像處理的結果，可以清楚地看到，經HE和BBHE處理后的圖像出現了一定程度的扭曲和噪聲，圖像失真嚴重。IEBHE生成的圖像亮度太高。BHEPL方法的增強效果較好。LLVORM和BHEMHB增強了圖像的對比度，但扭曲了圖像的顏色。本文的方法很好地增強了短發女士的對比度，很好地保留了圖像的細節，但圖像的背景較暗，整體來看處理效果較好。

圖7顯示了各方法處理窗子圖像的結果。原圖的亮度較為暗淡，經過HE、BBHE和BHEPL方法處理后，圖像變得明亮且清楚，但都丟失了原圖的某些自然特征，有些失真。IEBHE、LLVORM和BHEMHB方法過度增強了圖像的亮度。本文方法在保留原有圖像自然的外觀的同時很好地增強了圖像的對比度。

圖7 窗子圖像的增強

由上述對比結果可以得出，本文提出的改進算法增強強度適當，沒有出現由于過度增強而發黑的現象，由圖4、6可以看出，本文算法的細節保持能力更強，相比于其他的方法處理黑白和彩色圖像的能力都能更勝一籌，說明適用的范圍更廣。

3 結論

為了改進目前直方圖均衡化局部增強方法的不足，基于圖像強度的期望值，構建了全局自適應的圖像概率密度函數，提出了一種新的圖像對比度增強技術，改進了目前直方圖均衡化在增強圖像對比度方面的不足。對比實驗證實了本文方法能有效解決其他直方圖技術中存在圖像失真、對比增強效果不好等問題，在熵值、峰值信噪比、梯度幅度相似性偏差和直方圖利用率方面優于其他方法，主觀上也顯示其魯棒性優于現有的方法。