矩陣奇異值分解的應用

范云鵬 郭小娥

摘?要：現在的社會是一個信息社會，每天都產生和傳送各種各樣的信息，尤其隨著互聯網技術的發展，需要處理的信息更是多到不可勝數。而圖像是信息的主要載體，但圖像本身占有巨大的空間，因此圖像壓縮越來越收重視。本文介紹一種有效的圖像壓縮的方法—奇異值分解。該方法最大的優點是在所有的同階分解中誤差最小的。

關鍵詞：奇異值;壓縮;代數特征

現代科學技術發展的速度越來越快，需要掌握的知識越來越多。過去需要幾十年知識的總量才會增加一倍，而現在這個周期已經縮短到幾年。而知識是通過信息傳播的，信息主要是以圖像和視頻的形式存在的，尤其是現在互聯網技術的發展，大大方便了人們的生活。現在看報紙，看書的人越來越少，看電子書和在網上看新聞的越來越多，還可以通過網絡足不出戶買衣服，買菜，直播賣貨和買貨的人也增加了許多，另外現在年輕人白天工作忙，中午沒時間吃飯，可以通過網絡訂餐，大大節省了時間，還有在線上課等，但是，網絡中的信息都是以數字形式存儲和傳輸的。而信息經過數字化以后的數據量占有非常大的空間。我們平常用手機拍的相片都是幾千行幾千列，在網絡剛興起的時候，從網上下載一幅照片都需要幾個小時的時間，而視頻占有的空間更大，因此圖像壓縮受顯得尤為必要。

平常上網看新聞或者購物看電影的時候，經常遇到網絡卡頓的情形，那是由于同一時刻在帶寬上的信息太多。雖然現在隨著互聯網技術的成熟，網速是越來越快，但信息比以前也多得多，現在的網速依然沒有辦法滿足人們的需求。圖像壓縮的目的就是減少圖像存儲的空間，增加圖像的亮度清晰度，從而達到網絡流暢的目的。

原始圖像含有的數據并不是全部都有用，它含有一些多余的無用信息，而且圖像的像素值很多都是非常接近甚至是一樣的，重復的部分也沒必要重復傳輸，這就為圖像壓縮提供了必要性。截至目前，許多專家都投入這一挑戰性課題的研究當中并產生了很多圖像壓縮的方法，主要方法如下：

（1）PCA算法：它采用的是向量模型，需要把二維向量轉化成一維向量。（2）GLRAM：該方法采用的是矩陣模型，進行的是雙邊壓縮，大大提高了壓縮效率，但它的缺點是迭代算法，除此之外還有非負矩陣分解和支持向量機分解也可以實現圖像壓縮，本文介紹一種經典的壓縮方法—奇異值分解。矩陣奇異值分解是一種重要分解。近年來，它在數據建模，最佳逼近問題，實驗數據處理，數字圖像壓縮等領域得到了廣泛的應用。

1?奇異值的定義和分解

為A的奇異值。

定理1：設A為m行n列的矩陣，設mn，A的秩為r，則存在兩個正交矩陣U=[u1，u2…um]∈Rm×m，UTU=I和V=[v1，v2…vn]∈Rn×n，VTV=I，以及對角陣S=diag[λ1，λ2…，λr，0，…0]∈Rm×n，λ1>λ2>…>λr≥0，使得下式成立：

其中λi2為ATA的特征值，ui，vi分別是ATA和AAT對應于λi2的特征向量。我們將對角陣S稱為奇異值矩陣，稱式（1）為A的奇異值分解。

證明：由于ATA是半正定的Hermite矩陣，且rank（ATA）=rank（A），故ATA有如下形式的Schur分解：

其中V=（v1，…，vn）是正交矩陣，σ1…σr>0，σr+1=…σn=0，令V1=[v1，…，vr]，V2=[vr+1，…，vn]，Λ=diag（σ1，…σr）。

則從（2）式可得：

式（3）表明AV1的列是相互正交的;表明AV2的列都是零向量，即AV2=0，因此，令U1=AV1Λ-1則UT1U1=Ir。再取U2∈Cm×（m-r）使U=[U1，U2]是m階正交的，則有：

分解式中的Λ是由A唯一確定的，V的第i列vi稱為A屬于σi的一個單位右奇異向量，U的第i列ui稱為A屬于σi的一個單位左奇異向量。

設A1，A2，A3分別表示三幅圖像，對它們進行奇異值分解：

A1=U1S1V1，A2=U2S2V2，A3=U3S3V3

用第一幅圖像得到的矩陣U1，V1和第二幅圖像的奇異值矩陣相乘后U1S2V1顯示和A1很接近，U1S3V1和第一幅圖也很接近，但U2S1V2和A1相差很大，這說明矩陣U和V里包含圖像的關鍵信息，奇異值矩陣含有很多的無用信息。

2?誤差分析和應用

在泛函分析中，我們學習過范數的概念。范數是一個函數，它定義在賦范線性空間中，它常常被用來度量某個向量空間中的每個向量的大小。滿足一定的條件：（1）非負性;（2）其次性;（3）三角不等式。求A的低秩逼近，就是要找另一個矩陣B，使A-B的范數最小。由奇異值分解定理得知，要找矩陣B，第一步對A做奇異值分解，分解以后A表示成A=UDVT，那么我們把矩陣U的前k列元素組成的矩陣記作Uk，取矩陣V的前k列元素組成的元素記作VK，則當B=Ukdiag（σ1，σ2…σk）Vk時誤差最小，那么B是A的最優逼近，稱之為SVD逼近。我們看下面的定理：

定理2：用SVD把A表示成Ak=UkΛVTk，在A所有的秩為k的近似分解中，Ak是A誤差最小的分解矩陣。

對矩陣奇異值分解后會產生一個m行m列的矩陣U，m行n列的矩陣S，n行n列的矩陣V，其中奇異值在S的對角線上并且是由大到小排列的，一般情況下前10%甚至1%的奇異值就占了全部奇異值之和的99%以上。所以只需要取出矩陣S的前k行k列組成新的矩陣Sk，取矩陣U的前K列元素組成矩陣Uk，矩陣V的前K列元素組成矩陣Vk，用UkSkVk重構圖像，取得k夠小就可以很大程度實現圖像的壓縮。

3?結語

利用奇異值分解進行圖像壓縮，它的優點是誤差小，穩定，但是當矩陣行數和列數非常大的時候，矩陣奇異值的計算是一個難題。所以一般把奇異值分解和其他方法結合起來進行圖像的壓縮，這是進一步需要研究的課題。

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作者簡介：范云鵬（1981—?），男，漢族，陜西西安人，碩士，西安思源學院基礎部教師，從事學校高等數學、線性代數、概率論等課程的教學和科研工作，研究方向：矩陣的優化和最優解。