基于4-UPS/CPC并聯機構的多維調姿隔振平臺設計

張 英 孫 豪 馬帥帥

北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京，100044

0 引言

飛機、船舶、汽車和移動機器人等載運工具在工作過程中會因氣流、波浪或路面的顛簸產生俯仰、橫滾、水平和垂直振蕩的現象，車身的俯仰和橫滾會影響載人載物的穩定性，同時，車身的顛簸會對承載的人員舒適性及儀器的正常工作和使用壽命造成影響。針對此類問題，國內外研究機構和學者設計了不同形式的調姿和減振裝置予以解決。

HILKERT等[1]介紹了采用二軸或三軸串聯機構的慣性穩定平臺技術的概念與原理及其在艦船和坦克上火炮、雷達穩定中的應用；PLATUS等[2]利用兩端受壓桿的結構提供負剛度設計了超低頻隔振器；鄒冀華等[3]將3-RPS機構應用于飛機壁板裝配時的姿態調整；朱大昌[4]采用4-SPS(PS)和Stewart并聯機構對車載雷達天線進行調平；羅二娟等[5]利用3-SRR/SRU機構實現了艦載穩定平臺的聯動補償；SCHIPANI等[6]提出了基于控制系統的剛性六自由度并聯機構的次鏡調姿單元；TANG等[7]使用電纜驅動實現了對500米口徑球面射電望遠鏡(FAST)的精確姿態控制；SELIG等[8]研究了Stewart平臺的振動問題；牛軍川等[9]將3-PRRP4R機構應用于農業生產中的多維隔振；王曉明等[10]研究了基礎激勵下6-UHP并聯平臺的動力學建模與仿真；ZHANG等[11]提出了基于頻域特征的Stewart隔振平臺參數設計方法，通過仿真驗證了隔振平臺的性能和穩定性；LIU 等[12]分析了航天環境下的振動特點，設計了基于并聯機構的隔振系統，分析了其振動響應，并通過仿真驗證了系統的有效性。

本文針對某輪腿式機器人載運車在行走過程中因腿部姿態的變化使車身產生俯仰與橫滾以及路面顛簸引起的車身沿垂向、縱向和橫向五個自由度方向的振動問題，設計了一種最大承載為150 kg的調姿隔振平臺，當車身發生±15°俯仰和±20°橫滾時，能夠使載運車的載物平臺保持水平狀態，同時實現了上述5個方向的隔振。

1 機構選型及分析

1.1 機構選型

為了應對機器人行走過程中產生的俯仰、橫滾以及路況變化給車身帶來的沿垂向、縱向和橫向五個自由度方向的振動，選用4-UPS/CPC五自由度并聯機構[13](U為虎克鉸、P為移動副、S為球副、C為圓柱副)作為多維調姿隔振平臺的基礎機構，下平臺通過4條UPS周圍支鏈和1條CPC中央支鏈與上平臺相連，其中，4條UPS周圍支鏈對上平臺無約束作用，中央CPC支鏈為恰約束支鏈，約束上平臺繞Z軸轉動的自由度[14]。機構的自由度數M可由下式計算得到:

(1)

式中，d為機構階數；n為機構含機架在內的構件數；g為運動副的個數；fi為第i個運動副的自由度數。

為了在調姿的基礎上實現隔振功能，在每條支鏈上串聯彈簧阻尼模塊，圖1為本文提出的多維調姿隔振平臺示意圖。

圖1 多維調姿隔振平臺示意圖Fig.1 Scheme of the multi-dimensional attitude adjustment and vibration isolation platform

1.2 運動學分析

圖2為五自由度4-UPS/CPC機構示意圖，l1、l2、l3、l4、l5為各支鏈長度，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4點分別為上下平臺各鉸鏈點，B1B2∥B3B4∥A3A4∥A1A2；o、O點分別為上下平臺的中心點；上平臺坐標原點建立在o點，x軸平行于B1B2，坐標系記為{So}(oxyz)；下平臺坐標原點建立在O點，X軸平行于A1A4，Y軸平行于A1A2， 坐標系記為{SO}(OXYZ)。

圖2 4-UPS/CPC機構運動簡圖Fig.2 Kinematic sketch of the 4-UPS/CPC mechanism

如圖3所示，下平臺A1A2A3A4為一個面積為2a×2b的矩形，為了避免初始位置奇異，依據Grassmann線幾何理論，將上平臺B1B2B3B4設計為底B1B2、B3B4分別為2d1和2d2的等腰梯形，點B1、B4到y軸的距離分別為c1和c2。

圖3 4-UPS/CPC俯視圖Fig.3 Top viewport of the 4-UPS/CPC

設x、y、z和α、β、γ分別為上平臺坐標系相對于下平臺坐標系在X、Y、Z軸方向上的位移和繞X、Y、Z軸的轉角，根據4-UPS/CPC機構特性，有γ=0。

設Br(r=1，2，3，4)在{SO}和{So}坐標系中的坐標分別為(BrX，BrY，BrZ)和(Brx，Bry，Brz)，Ar(r=1，2，3，4)在{SO}坐標系中的坐標為(ArX，ArY，ArZ)，且有

[BrXBrYBrZ1]T=T[BrxBryBrz1]T

當結構參數a、b、c1、c2、d1、d2確定時，根據上平臺在{So}坐標系的位姿參數x、y、z、α和β，可求得周圍支鏈ArBr(r=1，2，3，4)的約束方程：

(Brycosα+y-b)2+(-Brxsinβ+Brysinαcosβ+z)2

(2)

圖4中，C1、C2分別為中央支鏈CPC與下平臺和上平臺的交點，s1、s2分別為下平臺和上平臺C副的軸向向量，H5為中央支鏈的方向向量，且有

H5=s1×s2

s1=[0 -1 0]s2=[cosβ0 -sinβ]T

圖4 CPC支鏈機構示意圖Fig.4 Structure diagram of CPC limb

設Π1、Π2分別為s1與H5、s2與H5所確定平面的法向量，且有

Π1=H5×s1Π2=H5×s2

中央支鏈的空間直線方程因此可表達為

(3)

式中，xo、yo、zo分別為o點的x、y、z軸坐標。

過o點沿s2方向的直線方程為

(4)

聯立式(3)和式(4)并令y=0，可得點C2和C1的坐標，進而可得中間支鏈長度約束方程：

(5)

設各支鏈移動副P處的位移和速度分別為

上平臺的位姿(廣義坐標矢量)及速度(廣義速度矢量)可分別表示為

(6)

J=DLL=diag(l1，l2，l3，l4，l5)

其中，J為雅可比矩陣，D為與上平臺位姿參數相關的系數矩陣。由式(6)可求得機構速度的正解和反解。

2 4-UPS/CPC機構的尺寸優化及性能分析

2.1 機構尺寸參數的優化設計

4-UPS/CPC機構的尺寸參數可通過優化方法獲得。為了滿足設計要求，綜合考慮機構的工作空間、靜剛度和靈巧度，并構造目標函數F(x)為

F(x)=w1f1(x)+w2f2(x)+w3f3(x)

(7)

式中，f1(x)、f2(x)、f3(x)分別為與平臺工作空間、靜剛度和靈巧度相關的子目標函數；w1、w2、w3分別為對應的權重系數。

以工作空間散點數評價工作空間大小，子目標函數f1(x)取機構在給定最大轉角位置處工作空間散點總數N的最大值，表示為

f1(x)=max(N)

(8)

子目標函數f2(x)取工作空間各離散點處靜剛度平均值λ1的最大值，表示為

f2(x)=max(λ1)

(9)

k=diag(k1，k2，k3，k4，k5)

式中，j為工作空間散點數；ki(i=1，2，3，4，5)為各支鏈剛度系數。

以雅可比條件數[15-17]為機構靈巧度指標，子目標函數f3(x)取各工作空間各離散點處雅可比條件數平均值λ2的最大值，表示為

f3(x)=max(λ2)

(10)

設計變量包括4-UPS/CPC并聯機構上平臺等腰梯形的尺寸參數c1、c2、d1和d2，記為

x=(c1，c2，d1，d2)

(11)

根據設計要求，確定各設計變量尺寸范圍如下：

(12)

上平臺的轉角是此機構設計中最重要的指標，因此，在總目標函數中，對與工作空間相關的子目標函數f1(x)的權重系數w1取較大值，并取與靜剛度和靈巧度相關的子目標函數f2(x)和f3(x)的權重系數w2和w3相等，即：w1=0.6，w2=w3=0.2。采用MATLAB優化工具箱中的遺傳算法求解上述優化問題，將求得的各設計變量的解列于表1中。

表1 設計變量的優化結果

2.2 工作性能分析

2.2.1工作空間

基于表1中數據，建立4-UPS/CPC機構模型，根據運動學反解，采用工作空間搜索算法，可得到上平臺的可達工作空間和在α=20°、β=-15°，α=20°、β=15°，α=-20°、β=15°和α=-20°、β=-15°四種極限姿態下的工作空間點集，如圖5所示。由圖5可知，上平臺在給定的極限姿態下均存在工作空間點集，這表明上述設計的4-UPS/CPC機構能夠滿足動平臺繞X軸轉動角度±20°、繞Y軸轉動角度±15°的調姿要求，且其可達工作空間范圍滿足要求。

(a) 機構可達工作空間

2.2.2靜剛度

由圖5還可以看出，機構的各極限姿態均在zo=340 mm處存在工作空間點集，因此，取點o(0， 0， 340 mm)為上平臺的初始平衡位置。

為保證整個機構性質的各向同性，需使各支鏈具有相同的剛度系數k(即k1=k2=k3=k4=k5=k)，根據負載情況，取k=20 N/mm，計算可得上平臺在其平衡位置及兩個極限位置處的靜剛度，如圖6所示。可以看出，整個上平臺在不同位置處的靜剛度均能滿足調姿隔振系統的承重要求。

(a) 平衡位置(α=0°，β=0°)

2.2.3靈巧度

雅可比條件數的值越小，機構的靈巧度越好，圖7所示為機構在平衡位置處的定姿態條件數分布，圖8所示為機構在水平姿態、zo=340 mm處的定位置條件數分布。

(a) 條件數κ(J1)

(a) 條件數κ(J1)

由圖7和圖8可以看出，在整個工作空間內定姿態條件數和定位置條件數的κ(J1)和κ(J2)值均較小，且變化平穩，無突變，這表明所設計的機構具有良好的靈巧度，滿足設計需求。

3 調姿功能的實現

上平臺的調平通過調節各支鏈長度來實現，考慮到位姿反饋、數據處理、控制輸出等過程的耗時以及機械慣性造成的滯后，計算各支鏈長度時增加預測環節。具體過程如下：

(1)根據機器人足端曲線得到車體在水平理想路面行走時的偏轉角，綜合路面不平度模型得到載運車在不同等級路面行走時車體的偏轉角(姿態)；

(2)采用預測算法得到保持上平臺水平時各支鏈的預測長度；

(3)求解上平臺相對下平臺的預測姿態，將其與行走時的姿態作差，得到上平臺姿態角誤差ε；

(4)若|ε|>1°，則在下一周期預測過程中進行補償。

3.1 基于路面不平度的偏轉角

參考文獻[18]的方法，繪制車速為10 km/h時的C級路面不平度曲線(圖9)，進而可得到輪腿載運車在C級路面上行走時車體繞X軸和Y軸的偏轉角(圖10)。

圖9 C級路面不平度曲線Fig.9 Roughness curve of C-level road

圖10 C級路面上車體角度變化曲線Fig.10 Angular variation curves of the carrier body on the C-level road

3.2 預測算法

根據車體繞X軸和Y軸的偏轉角變化情況，本文采用差分預測算法預測各支鏈長度，具體過程如下。

(1)以Δt為采樣間隔，檢測并記錄上平臺在t-3Δt、t-2Δt、t-Δt和t時刻的位移B(t-3Δt)、B(t-2Δt)、B(t-Δt)和B(t)。

(2)采用差分法對t時刻的速度進行估計，其計算表達式如下：

(13)

進一步，可得到t時刻的加速度

(14)

(3)根據v(t)和a(t)預測t+Δt時刻的位移，其計算表達式如下：

B(t+Δt)=B(t)+v(t)Δt+0.5a(t)Δt2

(15)

設采樣頻率為20 Hz，采用上述差分預測算法可得到輪腿機器人在C級路面行走時使上平臺保持水平的支鏈長度預測值，如圖11所示。

圖11 預測支鏈長度變化曲線Fig.11 Variation curves of the predicted length of the limbs

3.3 調平仿真

在ADAMS軟件中建立多維調姿隔振平臺模型，如圖12所示。

圖12 ADAMS仿真模型圖Fig.12 ADAMS simulation model diagram

按照圖10所示的車體傾斜角度變化規律給定下平臺傾斜角，并使各支鏈長度按照圖11所示的預測桿長變化，通過仿真可得到在不同時刻下上平臺繞X軸和Y軸的轉角(即上平臺相對水平面的橫滾角α和俯仰角β)，分別如圖13和圖14所示。

圖13 調平后上平臺相對水平面的橫滾角Fig.13 Roll angle of the upper platform relative to the horizontal plane after leveling

圖14 調平后上平臺相對水平面的俯仰角Fig.14 Pitch angle of the upper platform relative to the horizontal plane after leveling

由圖13和圖14可知，當各支鏈長度按預測桿長調節時，上平臺相對水平面的橫滾角α在-0.01°～0.01°范圍內變化，俯仰角β在-1°～1°范圍內變化；雖然在圖中A、B點由于機器人兩腿切換而導致曲線出現波動，但是上平臺相對水平面的偏轉角度仍在±1°范圍內，滿足設計要求。

4 隔振功能的實現

平臺的隔振功能是通過在4-UPS/CPC機構各支鏈上添加彈簧阻尼模塊實現的，本節進行機構隔振模塊的設計及振動響應分析。

4.1 系統剛度矩陣與阻尼矩陣

將上平臺上受到的外載荷等效為作用在其中心點o的力F和力矩T，表示為

(16)

式中，FX、FY、FZ分別為沿X、Y、Z軸受到的力；TX、TY分別為繞X、Y軸轉動受到的力矩。

將各支鏈移動副P處的驅動力表示為

(17)

根據虛功原理，上平臺所受外力與各支鏈驅動力滿足:

τTΔl=FTΔq

(18)

Δl=[Δl1Δl2Δl3Δl4Δl5]T

Δq=[ΔxΔyΔzΔαΔβ]T

其中，Δl、Δq分別為支鏈移動副P處的虛位移矢量和上平臺的虛位移矢量，且有

Δq=JΔl

(19)

將式(19)代入式(18)可得

F=(J-1)Tτ

(20)

在多維隔振平臺中，各支鏈移動副P處的驅動力τ與其剛度k滿足：

τ=kΔl

(21)

綜合式(16)～式(21)，可得

F=[(J-1)TkJ-1]Δq

(22)

從式(22)中可得系統剛度矩陣K為

K=(J-1)TkJ-1

(23)

同理，可得系統阻尼矩陣C為

C=(J-1)TcJ-1

(24)

c=diag(c1，c2，c3，c4，c5)

式中，ci(i=1，2，3，4，5)為各支鏈彈簧阻尼模塊的阻尼系數。

4.2 振動方程及求解

在不計阻尼并忽略支鏈質量的情況下，隔振平臺的振動模型可表示為

(25)

M=diag(m，m，m，IX，IY)

無阻尼振動的固有頻率與剛度矩陣K和質量矩陣M存在如下關系：

|K-λM|=0

(26)

求解式(26)可得五自由度隔振系統的特征值λi和固有頻率ωni(i=1，2，3，4，5)，進而可求得各特征值所對應的主振型ui及由其構成的振型矩陣U=[u1u2u3u4u5]。

由于并聯機構上平臺各運動之間存在耦合，因此，為解耦以方便運算，對各主振型ui進行正則化處理，求出與之對應的正則振型為

進一步，可求得正則振型矩陣為

UN=[uN1uN2uN3uN4uN5]

考慮系統阻尼的情況下，隔振平臺受迫振動微分方程為

(27)

e=[eXeYeZθXθY]

使用正則振型矩陣UN可計算出正則質量矩陣MN、正則剛度矩陣KN和正則阻尼矩陣CN，即

(28)

(29)

(30)

式中，I為單位矩陣；kNi(i=1，2，3，4，5)為各支鏈的正則剛度。

工程上，一般將阻尼矩陣C表示為

C=pM+hK

(31)

其中，p、h為正常數。將式(31)代入式(30)，并對每一個振型引入一個阻尼項，可得

CN=diag(2ξ1ωn1，2ξ2ωn2，2ξ3ωn3，2ξ4ωn4，2ξ5ωn5)

式中，ξi(i=1，2，3，4，5)為第i階振型的阻尼比。

引入新坐標向量η和μ，使

(32)

并組成陣列

η=[η1η2η3η4η5]T

μ=[μ1μ2μ3μ4μ5]T

(33)

i=1，2，3，4，5

由于路面激勵可分解為若干簡諧振動的疊加，因此，在分析多維隔振系統的振動響應時，將下平臺受到的外界激勵等效為簡諧激勵，記為

(34)

將式(34)代入式(33)，可求得解耦的5個固有振型方程及各自由度方向的振動響應，即

(35)

設上平臺的振動響應幅值和相位差分別為bi和φi，由式(35)可求得

(36)

(37)

隔振效果用振動傳遞率Θ(即上平臺振動響應幅值與下平臺振動響應幅值之比)來衡量，Θ值越小，隔振效果越好。振動傳遞率的計算表達式如下:

(38)

4.3 理論與仿真隔振效果

為保證整個機構性質的各向同性，使各支鏈彈簧阻尼模塊的剛度系數k1=k2=k3=k4=k5=k，阻尼系數c1=c2=c3=c4=c5=c。根據負載質量，取k=20 N/mm，c=5 N·s/m。

在ADAMS軟件環境中，在下平臺沿X、Y、Z軸及繞X、Y軸旋轉5個自由度方向分別添加幅值為5 mm、頻率為20 Hz的正弦激勵信號，通過振動響應分析，可得上平臺和下平臺在其5個自由度方向上的振動響應曲線見圖15，與之相應的振動傳遞率的仿真值及理論計算值如表2所示。

(a) 沿X軸方向

表2 多維調姿隔振平臺的振動傳遞率

由圖15及表2數據可以看出，本文所設計的多維隔振平臺在各自由度方向上振動傳遞率的仿真值與理論計算值相吻合，且均小于43%(即隔振率均在57%以上)，具有較好的隔振效果。

5 實驗

根據優化所得結構參數設計并制作多維調姿隔振平臺樣機，搭建隔振實驗系統，用以檢驗其隔振效果。如圖16所示，實驗系統包括多維調姿隔振平臺原型樣機，激振器、信號發生器、功率放大器組成的振動發生裝置，加速度傳感器、信號采集器組成的加速度數據采集系統。

圖16 多維調姿隔振平臺實驗系統Fig.16 Experimental system of the MDAA&VIP

由激振器在下平臺的X、Y和Z方向上分別施加幅值為5 mm、頻率為20 Hz的正弦激勵信號，通過加速度傳感器采集上平臺的振動信號，分析可得上下平臺在X、Y和Z方向上的振動響應，如圖17所示，進而計算多維調姿隔振平臺的振動傳遞率，如表3所示。

(a) X軸方向

表3 多維調姿隔振平臺振動傳遞率實驗值

由圖17及表3數據可以看出，實驗樣機在X、Y、Z方向上的振動傳遞率均小于50%(即隔振率均大于50%)，其中，Z方向上的振動傳遞率最小，驗證了本文所設計并聯平臺的隔振性能。

對比表3與表2數據可以發現，振動傳遞率的理論計算值和實驗值存在一定的差距，其中，在Z方向上的差值最大。分析原因，振動傳遞率的理論值和實驗值差距產生的原因主要是來自三個方面：一是樣機彈簧阻尼模塊中彈簧和阻尼的實際剛度系數和阻尼系數與計算值之間存在的誤差；二是隔振平臺的非完全對稱結構有可能使實驗中上平臺受力中心發生變化而產生偏載力矩，導致動態阻尼變化，在一定程度上使振動加劇，從而造成實驗值與計算值之間的差距；三是樣機整體的加工裝配誤差。Z方向差值最大的原因分析如下：隔振平臺各支鏈的裝配結構使其在X、Y和Z方向對以上誤差的敏感度不同，Z方向為最大，以彈簧阻尼模塊中彈簧和阻尼的工作行程方向的誤差為例，根據結構尺寸，可計算得其在Z方向的分量約為其余兩方向分量矢量和的1.6倍，最終造成振動傳遞率在該方向上的實驗值和理論值之間產生的差距明顯大于其他兩個方向。

6 結論

本文設計了一種基于4-UPS/CPC并聯機構的集調姿與隔振于一體的多維調姿隔振平臺，以滿足輪腿式機器人載運車在行走過程中對載運臺位姿和隔振的雙重要求。

(1)對4-UPS/CPC并聯機構進行了尺寸及結構的優化設計，數值計算結果表明，優化所得并聯機構能夠滿足多維度姿態調整要求，且具有較好的靈巧度和靜剛度。

(2)基于將機器人足端軌跡與路面不平度模型相結合所得的載運車在C等級路面行走時車體的姿態，以并聯機構上平臺保持水平為目標，采用差分預測算法對各支鏈長度進行了預測，并通過仿真驗證了預測值的正確性，能夠使上平臺的姿態滿足相對水平面的偏轉角度在-1°～ 1°的設計要求。

(3)通過在并聯機構支鏈上添加彈簧阻尼模塊，在調姿的基礎上實現多維隔振。理論、仿真及實驗結果均證明了本文所設計的調姿隔振平臺具有良好的隔振效果。