基于擴展有限元法的裂紋擴展問題的研究

蘇毅 陳慶遠 劉攀 王瑤瑤

（鄭州航空工業(yè)管理學院航空工程學院，河南鄭州 450046）

1 概述

任何結(jié)構(gòu)材料和構(gòu)件中不可避免存在著類如裂紋、孔洞和夾雜等這種強弱不連續(xù)間斷，這種間斷的存在和擴展，使工程結(jié)構(gòu)的承載能力降低，尤其是裂紋的快速擴展會嚴重影響結(jié)構(gòu)元件的壽命，最終影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的安全。因此，研究裂紋的擴展規(guī)律，對結(jié)構(gòu)的安全設(shè)計具有重要的意義。

有限元法是目前應(yīng)用最廣、最成熟的數(shù)值分析方法，也常用來研究工程結(jié)構(gòu)中的裂紋問題。但有限元法形函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，而在處理裂紋斷裂問題時，需要特殊處理，特別是為了克服裂紋尖端奇異性問題，在裂尖區(qū)域劃分的網(wǎng)格很細密，隨著裂紋的擴展，要持續(xù)重新劃分網(wǎng)格。這使得有限元在處理不連續(xù)問題計算時很復雜，效率極低。此外，還涉及到網(wǎng)格節(jié)點間的數(shù)據(jù)映射問題。為了克服有限元法在網(wǎng)格上的問題，1999 年，西北大學Belytschko 團隊提出了擴展有限元法（XFEM）[1-3]。相比常規(guī)有限元法，XFEM 在處理強弱間斷問題上，有極大的優(yōu)勢。因此，自其問世以后就得到全世界學者的廣泛關(guān)注，取得了極大的發(fā)展。Fries 等[4]詳細介紹了基于線彈性斷裂力學的擴展有限元法來模擬脆性斷裂問題的方法。底月蘭等[5]探討了影響裂紋擴展的主要因素，并對基于擴展有限元法的裂紋擴展問題進行了綜述。張文東等[6]以ABAQUS 為平臺，利用擴展有限元法功能優(yōu)勢，應(yīng)用PYTHON 開發(fā)了多裂紋擴展包，從而實現(xiàn)裂紋自動擴展，且能夠計算出精確應(yīng)力強度因子。

本文用材料界面函數(shù)作為夾雜界面的增強函數(shù)，用Heaviside 函數(shù)作為貫穿裂紋的增強函數(shù)，各向同性材料裂紋尖端位移場基函數(shù)作為裂紋尖端的增強函數(shù)，而裂紋擴展方向用最大周向拉應(yīng)力準則來判斷，最后用MATLAB 編制相應(yīng)的擴展有限元法程序，從而模擬裂紋在有無孔洞和各異夾雜情況下的擴展軌跡，并對各種情況下裂紋尖端應(yīng)力強度因子進行比較。

2 不連續(xù)位移場

擴展有限元法在有限元法的位移場中引入新的插值函數(shù)，用Heaviside 函數(shù)模擬裂紋的強間斷，用Westergaard 裂紋尖端奇異場函數(shù)的低階項模擬裂紋尖端位移場，而材料界面用材料界面的增強函數(shù)來模擬。如圖1 所示，引入用符號距離函數(shù)來表示域內(nèi)的不連續(xù)的界面表達式如下：

圖1 間斷區(qū)域界面示意圖

3 相互作用積分

應(yīng)力強度因子準確獲取是至關(guān)重要的，它不僅僅能夠表示裂紋尖端的應(yīng)力場強度，在用最大周向拉應(yīng)力判斷裂紋擴展方向時也不可或缺。常用J 積分來求應(yīng)力強度因子，但是J 積分的準確度雖然好，但是對于混合型斷裂問題，很難分解出I 型和II型應(yīng)力強度因子。由J 積分推導出的相互作用積分卻能很方便的獲得混合型斷裂問題的應(yīng)力強度因子。相互作用積分是由實際場和輔助場共同作用的項組成。其表達式為

4 裂紋擴展方向

確定裂紋擴展方向至關(guān)重要，本文采用最大周向拉應(yīng)力理論作為裂紋擴展理論即裂紋沿最大周向應(yīng)力的方向進行擴展[7]。

5 模型

圖2 帶圓形夾雜的裂紋板

5.1 考慮有無孔洞的情況，夾雜半徑R 為1.5cm，孔洞的坐標為（6cm，9cm），半徑R1 為1.5cm

圖3 裂紋擴展的軌跡

如圖3 所示，當沒有孔洞的時候，夾雜為軟夾雜，裂紋擴展軌跡偏向于夾雜，這是因為夾雜的地方強度低于平板的強度，裂紋擴展軌跡趨向往弱的地方擴展，而夾雜的彈性模量越小，偏向的趨勢越明顯；而夾雜為硬夾雜時，裂紋擴展軌跡偏離于夾雜，而夾雜的彈性模量越大，偏離的趨勢越明顯。當有孔洞的時候，夾雜為軟夾雜，孔洞的地方強度是整個平板最弱的地方，裂紋擴展軌跡偏向于孔洞的地方，夾雜的彈性模量越大，偏向孔洞，偏離夾雜的趨勢越明顯。

圖4 隨裂紋長度時，無量綱應(yīng)力強度因子的變化

如圖4 所示，當無孔洞的時候，圓形夾雜為硬夾雜時，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強度因子變化先減小后增大再減小，在1 附近波動，這是因為裂紋尖端附近的應(yīng)力場受到夾雜的影響，彈性模量越大對應(yīng)力強度因子的影響越大，但是影響并不明顯；圓形夾雜為軟夾雜時，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強度因子先增大后減小再增大，夾雜彈性模量越小對應(yīng)力強度因子的影響越大；有孔洞，無夾雜和無孔洞，夾雜的彈性模量為=10-3時，對裂紋尖端的無量綱應(yīng)力強度因子影響規(guī)律基本相同；當有孔洞的時候，不管是硬夾雜還是軟夾雜，對于裂紋尖端無量綱應(yīng)力強度因子的影響，還是孔洞的存在影響最大，當有孔洞且軟夾雜彈性模量最小的時候，裂紋尖端應(yīng)力場強度變化最突出。當裂紋擴展大大的遠離孔洞和夾雜時，裂紋尖端的應(yīng)力場才不會受到影響。

5.2 考慮無孔洞，夾雜半徑R 為1.5cm，1.7cm 兩種情況

圖5 裂紋擴展的軌跡

如圖5 所示，當夾雜半徑為1.7cm 時，彈性模量越大，對裂紋軌跡的偏離作用越明顯，彈性模量越小，對裂紋軌跡的吸引作用越明顯；當夾雜半徑為1.5cm 時也符合這種規(guī)律；夾雜半徑越大，對裂紋軌跡的影響越明顯；當有孔洞時，對裂紋軌跡的吸引作用最明顯。

圖6 隨裂紋長度時，無量綱應(yīng)力強度因子的變化

由圖6 所示，當夾雜為硬夾雜時，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強度因子變化先減小后增大再減小，在1 附近波動，這是因為裂紋尖端附近的應(yīng)力場受到夾雜的影響，夾雜半徑越大，彈性模量越大對應(yīng)力強度因子的影響越大；當圓形夾雜為軟夾雜時，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強度因子先增大后減小再增大，這是因為裂紋尖端的應(yīng)力場受到軟夾雜的影響，孔洞的半徑和夾雜半徑相同時，彈性模量為E pE＝10E-3時，無量綱應(yīng)力強度因子影響規(guī)律相同。

6 結(jié)論

本文介紹了擴展有限元法在裂紋擴展問題上的應(yīng)用。算例表明，孔洞和夾雜對裂紋的擴展軌跡和裂紋尖端的應(yīng)力強度因子有一定的影響。在工程應(yīng)用上，可以善于孔洞和夾雜的作用，避免裂紋迅速擴展，從而改善構(gòu)件的力學性能和可靠性。