基于泰勒展開的航空材料拉伸檢測不確定度研究

王艾倫 尚 進 曹 瑋

（中國航發上海商用航空發動機制造有限責任公司，上海 200000）

1 背景

由實驗室設備檢測得到的試樣的測量值，僅僅是被測量的估計值，測量過程中有很多隨機因素以及系統效應，均會導致不確定度[1-3]。不確定度的評定方法流程主要包含分析不確定度影響因素并建立數學模型、評定測量不確定度、計算合成不確定度、計算擴展不確定度等四個步驟[4]。不確定度描述了測量結果的正確性的可疑程度或不肯定程度。對于金屬材料和非金屬材料的力學理化性能參量進行測量的時候，不論試驗人員、試驗儀器設備、試驗樣品、試驗方法、試驗環境等多方面的因素如何完善，其值的測量結果也會存在不確定性[5-7]。隨著國內外航空航天等高新技術產業的飛速發展，在很多測量過程中，特別是材料性能的測量試驗中，都需要評定試驗結果的不確定度以及其可靠的概率[8-10]。

在實際檢測中，有很多影響因素可能導致不確定度的來源。例如：被測量的復現不理想；對被測量由于環境條件影響認識不足；測量儀器的計量性能的局限性等因素[11]。針對拉伸性能的檢測過程，國內外學者大致將結果的影響因素分為四大類：即重復性引入的測量不確定度；試驗機載荷引入的測量不確定度；待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度以及檢測速率引入的測量不確定度等[12-13]。國內外相關檢測標準針對拉伸檢測的測量不確定度評定均有一定的要求，但都沒有一套完整的方案來進行評定。特別是針對航空材料拉伸檢測測量不確定度的研究較少，目前針對重復性、試驗機載荷以及檢測速率的研究已經有了一定的進展；但針對待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度仍較為困難。本文主要考慮泰勒公式的展開式，進行航空材料拉伸檢測測量不確定度研究。

2 理論分析

2.1 泰勒公式

泰勒公式，主要應用在數學和物理領域，是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。泰勒公式得名于英國數學家布魯克·泰勒，公式如下：

其中f(n)(x0)表示f(x)的第n 階導數，等號右側的多項式稱為函數在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項，是(x-x0)n 的高階無窮小。

2.2 (1-x)-1 的展開式

研究待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度，主要是研究如何將測量設備的尺寸檢測測量不確定度(長度單位，通常為mm)轉化為針對待測樣品的尺寸測量引入的其它檢測測量不確定度(強度單位，通常為MPa 或無量綱單位，通常為%)。由于尺寸的測量值主要集中在數學模型的分母處，例如抗拉強度(MPa)為載荷(kN)與待測樣品的橫截面積(mm2)的比值。因此選擇(1-x)-1的展開式進行后續的研究，(1-x)-1展開式在x 趨近于0 時，其形式如下：

由于測量不確定度本身就是測量過程中的一個極微小的量，該值與被測量估計值的比值基本可以認為是一個趨近于0的數值，二階小量以及后續的余項忽略不計。因此本文研究只考慮展開式的一階項進行后續研究。

3 針對待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度

3.1 抗拉強度

拉伸檢測抗拉強度的數學模型如下公式：Rm=Fm/S0

式中Rm表示抗拉強度，Fm表示試驗過程中載荷的最大值，S0表示待測樣品的原始橫截面積。

應用泰勒公式展開并忽略二階小量后，可以得到：

因此可以得到：

3.2 屈服強度

拉伸檢測屈服強度的數學模型如下公式：R0.2=F0.2/S0

式中R0.2表示抗拉強度，F0.2表示試驗過程中塑性應變為0.2%時的載荷值，S0表示待測樣品的原始橫截面積。由于屈服強度與抗拉強度的數學模型相似程度較高，此處不做推導，給出：

3.3 斷后伸長率

拉伸檢測斷后伸長率的數學模型如下公式：Z=(Lu-L0)/L0

式中Lu表示斷后標距，L0表示原始標距。由于兩個參量均通過尺寸測量設備直接獲得，因此需要分別考慮兩者引入的測量不確定度。

首先計算由原始標距測量引入的測量不確定度，對

應用泰勒公式展開并忽略二階小量后，可以得到：

因此可以得到：

然后計算由斷后標距測量引入的測量不確定度：

因此可以得到：

3.4 斷面收縮率

拉伸檢測斷面收縮率的數學模型如下公式：A=(S0-Su)/S0

式中Su表示斷后橫截面積，S0表示原始橫截面積。由于兩個參量均通過尺寸測量設備直接獲得，因此需要分別考慮兩者引入的測量不確定度。由于斷面收縮率與斷后伸長率的數學模型相似程度較高，此處不做推導，但需要說明的由原始橫截面積測量引入的測量不確定度推導過程與斷后標距測量引入的測量不確定度類似；同樣的，由斷后橫截面積測量引入的測量不確定度推導過程與原始標距測量引入的測量不確定度類似。給出：

并且：

4 數據分析

4.1 拉伸檢測擴展不確定度的求解

本文研究分析拉伸檢測測量不確定度的試驗數據選擇5 組同批次3D 打印合金來進行計算，主要應用位置位于發動機燃油噴嘴處，試驗數據經過修約后列于表1 中，修約規則參考ASTM E8/E8M執行。

表1 同批次3D 打印合金試驗數據

除去尺寸測量因素引入的測量不確定度，本文研究還考慮了其它影響因素，例如重復性、載荷以及檢測速率等，相關參數列于表2 中。根據ASTM E8/E8M的相關要求，本文研究選擇的尺寸測量設備為數顯游標卡尺，經過校準得到其測量不確定度為0.01mm，進一步分析可以發現對于斷后伸長率，ud0（mm）可以看作是L0的高階無窮小，因此原始標距測量引入的測量不確定度忽略不計；同樣的，對于斷面收縮率，2ud0（mm）可以看作是d0的高階無窮小，因此原始橫截面積測量引入的測量不確定度忽略不計。其它影響因素引入的測量不確定度根據表1 試驗數據計算。

表2 拉伸檢測影響因素導致的測量不確定度

通常情況下，取置信概率為95%計算擴展不確定度，此時包含因子k=2。因此得到拉伸檢測擴展不確定度，如表3 所示。

表3 直接計算給出的拉伸檢測擴展不確定度

4.2 拉伸檢測擴展不確定度的分析

本文研究選用同批次多組相同工藝的3D 打印合金試驗數據進行拉伸檢測擴展不確定度的分析。將抗拉強度、屈服強度、斷后伸長率以及斷面收縮率等數據和其所對應的擴展不確定度的上下門限值共同繪制在統一曲線圖中，如圖1 至圖4 所示。

圖1 抗拉強度擴展不確定度與試驗數據分布

圖2 屈服強度擴展不確定度與試驗數據分布

圖3 斷后伸長率擴展不確定度與試驗數據分布

圖4 斷面收縮率擴展不確定度與試驗數據分布

經過觀察可以發現，對于抗拉強度和屈服強度等檢測項目來說，同批次多組相同工藝的試驗數據完全落在了不確定度的上下門限內，本文研究給出的擴展不確定度計算方法和樣本數量對于預測該種材料的抗拉強度和屈服強度的擴展不確定度范圍是可行的。對于斷后伸長率等檢測項目來說，只有少數試驗數據落在了不確定度評定的上下門限內，大部分試驗數據低于不確定度的下限值。對于斷面收縮率等檢測項目來說，約有一半的試驗數據落在了不確定度評定的上下門限內，少部分試驗數據低于不確定度的下限值。分析其主要原因有如下幾點：首先，即便對于同批次多組相同工藝的試樣來說，斷后伸長率以及斷面收縮率受機械加工工藝、材料內部缺陷以及試樣表面狀態等多種不確定因素的影響較大，因此導致結果的分散程度較高；其次，斷后伸長率和斷面收縮率需要手動進行尺寸測量，測量過程的精準程度直接作用于結果的準確程度，人為因素影響較大。而抗拉強度或屈服強度等數值由試驗設備直接給出，幾乎不存在人為因素的干擾；最后，斷后伸長率和斷面收縮率對于計算不確定度所選取的樣本數量較為敏感，應該擴大樣本的數量以得到更為精確的不確定度范圍。綜上所述，本文研究給出的擴展不確定度計算方法和樣本數量選擇對于預測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的測量不確定度范圍較為保守，上下門限值較為接近，為進一步避免人為因素導致的影響，后續可以擴充樣本數量或建立數據庫進行動態計算。

4.3 優化后的擴展不確定度計算方法

基于上述章節樣本數量對于斷后伸長率和斷面收縮率計算不確定度所造成的影響，本文研究通過增加樣本數量的方法來進行優化。由于擴展不確定度的計算過程較為復雜，隨著樣本數量的增多，計算量逐步增加；但是其計算過程較為固化，因此考慮引入信息化手段建立數據庫通過動態計算擴展不確定度，來解決上述問題。如圖5 所示，為根據泰勒展開公式編寫的拉伸檢測擴展不確定度計算系統。系統主要設計思路是將本文中拉伸檢測抗拉強度、屈服強度、斷后伸長率和斷面收縮率的計算方法通過代碼嵌入系統中，設計可視化的界面來進行操作。每次輸入的試驗數據可以導入數據庫，并保存下來，作為后續相同批次拉伸試樣的計算樣本；此外通過固化流程，使得計算過程較為便捷準確。

圖5 擴展不確定度動態計算系統界面

拉伸檢測擴展不確定度評定系統軟件主要包含試驗數據模塊、試驗結果計算模塊、參數選擇模塊和擴展不確定度計算模塊等六個模塊。試驗數據模塊主要用于某次試驗結果的輸入，主要通過輸入某次拉伸試驗的測量結果，包含兩個關鍵強度值結果和尺寸測量結果等。試驗結果計算模塊主要用于通過輸入的尺寸測量結果由軟件計算得到兩個關鍵尺寸變化率結果。提示框模塊主要用于通過提示用戶下一步的操作，或是在用戶執行錯誤操作后，給予一定的建議和解決方案。

試驗數據模塊可以實現某次試驗結果的輸入，主要通過輸入拉伸試驗檢測的幾項關鍵數據來進行后續的計算工作，并將試驗數據導入數據庫。該模塊主要包含6 個輸入接口組成。輸入接口包含屈服強度、抗拉強度、初始直徑、斷后直徑、初始標距和斷后標距6 個參數。如圖6 所示，為一個拉伸試樣的擴展不確定度計算的算例。

圖6 擴展不確定度計算算例

借助優化后擴展不確定度計算系統，重新計算同批次多組相同工藝的3D 打印合金斷后伸長率和斷面收縮率的擴展不確定度，結果如表4 所示。對比4.2 章節圖中相關數據，可以發現此時擴展不確定度的上下門限值范圍已經超過20%，顯然已經可以涵蓋所有試驗數據。本文研究給出的優化后的擴展不確定度計算方法和信息化系統對于預測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的擴展不確定度范圍是可行的。

表4 信息化系統給出的拉伸檢測擴展不確定度

5 結論

給出了一種基于泰勒展開的航空材料拉伸檢測測量不確定度計算方法。通過理論分析，得到了針對待測樣品的尺寸測量引入的測量不確定度在抗拉強度、屈服強度、斷后伸長率和斷面收縮率等檢測項目的表達式。該表達式可以直接應用于測量不確定度的計算，對于拉伸檢測等試驗、控制與測試過程具有工程價值。

選取同批次5 組相同工藝的3D 打印合金試驗數據進行拉伸檢測測量不確定度的計算，計算得到了該種航空材料抗拉強度、屈服強度、斷后伸長率和斷面收縮率的擴展不確定度。

通過對比分析多組相同工藝的試驗數據，結果表明本文研究給出的測量不確定度計算方法和樣本數量對于預測該種材料的抗拉強度和屈服強度的測量不確定度范圍是可行的；設計信息化系統通過擴充樣本數量并建立數據庫進行動態計算，得到優化后的擴展不確定度計算方法和信息化系統對于預測該種材料的斷后伸長率和斷面收縮率的擴展不確定度范圍是可行的。