定積分應用中微元分析法探討

李繼猛

(邵陽學院 理學院，湖南 邵陽 422004)

積分學是微積分學的重要組成部分，在幾何、微分方程、物理、力學、電學、機械工程、自動控制等方面有著廣泛的應用。如何將實際問題轉化為定積分問題或用定積分來解決實際問題，微元分析法為解決這類問題提供了一個非常好的方法。當然，能用定積分來解決的問題必須滿足一個先決條件就是：所求量（或總量）是一個與某區間或區域有關的量并對區間或區域具有可加性。下面我們通過一些實例來進行具體分析。

1 微元分析法的基本思想

定積分的本質就是一類特定和式的極限，即：

其中F(x)為f(x)的一個原函數，上述公式就是著名的“牛頓-萊布尼茲公式”。這個公式把定積分的計算變成了求原函數的運算，揭示了微分與積分是互為逆運算重要關系，提高了定積分理論定位，推廣了定積分的實用范圍，更加突顯出微積分在解決工程技術領域問題的價值。在實際應用中如何把一個具體問題變成定積分問題或得到該問題的定積分表達式呢？一般來說這個問題要具有如下兩個特點：

(1)所求量U（總量）是一個不規則量，但它分布在有限范圍內；

(2)當把總量U 所在范圍分割成若干個小區域時，總量U 也

第三步：總量U 就是個小區間上部分量之和，此處無限累加就是積分

上述求總量U 的積分表達式的關鍵是第二步，這一步得到的表達式就是被積表達式，實質上就是“變與不變”的對立統一規律在具體問題中的應用。也就是說宏觀上在變的量，微觀上看是不變的量，如做變速直線運動的物體，在很短的時間段內可以看成是勻速運動等，通常把用這種觀點來處理問題的思想稱為微積分思想。在數學教學中就是要培養學生具有這種辯證的邏輯思維，并利用這種思維去解決實際問題。

2 微分元素法的實際應用舉例

圖2

注意：此處微功dW 必須分水中dW1和水外dW2分別進行計算。

例3.某建筑工地用人工挖樁，要將井深為20 米重約500 公斤的泥土從井中一次取出，裝泥土的載具自重40 公斤，纜繩2kg/m重。若將泥土以2m/s 的速度上升，在拉升過程中泥土碎塊又以3kg/s 的速度自載具中掉落，試問將泥土提至井口做多少功？

解：在泥土的提升過程中由于泥土的掉落和纜繩的縮短，使得整個系統的重量在減少，因而克服重力所做的功在時刻發生變化，下面用微元分析法來計算。

取井底位置為坐標原點，鉛直向上為x 軸建立坐標系，為了解決問題的方便，可以將總功W 分為三個部分：

此題關鍵之處要把對不同對象所做的功分開處理，然后再用微元分析法處理。

3 微元分析法應用總結

微元分析法在處理幾何、物理、力學等方面的一些應用問題時顯得非常方便、實用，它的中心思想就是“變與不變”的辯證統一，宏觀上看起來在變的量，從微觀上可以看成是不變的量。因此，正確理解和掌握好微元分析法，對加深微積分學的理解，提高數學建模能力具有重要意義。