一類具有飽和傳染率的SEIR傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為

申梅， 薛博文， 李毅偉

1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，山西 太谷 030801;2.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)軟件學(xué)院，山西 太谷 030801

0 引言

回顧歷史,傳染病一直是困擾人類生存的大敵.因此,對(duì)傳染病的研究顯得尤為重要.在現(xiàn)實(shí)生活中傳染疾病的傳播途徑不僅包括接觸方式傳染,還可通過垂直方式傳染.另一方面,為了控制疾病的流行,常常需要對(duì)易感染者注射疫苗,因而許多學(xué)者在傳染病模型中考慮了免疫接種.其次,接觸率在傳染病方面起著關(guān)鍵的作用.通常,采用標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和雙線性發(fā)生率.而飽和發(fā)生率是介于標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和雙線性發(fā)生率之間的,并且更符合實(shí)際.

在這些事實(shí)的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[1]研究了一類具有垂直傳染率的SIS模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[2]考慮了一類具有垂直傳染和預(yù)防接種的SEIRS傳染病模型的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[3～5]研究了一類具有飽和傳染率、免疫接種和垂直傳染的SIR傳染病模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

基于上述考慮,本文討論了一類具有飽和傳染率、垂直感染和免疫接種的SEIRS傳染病模型.

1 模型的建立

(1)S,E,I,R分別表示易感染者類、潛伏者類、染病者類和移出者類的數(shù)量,并且潛伏期的潛伏者是無(wú)傳染力的,則t時(shí)刻總?cè)丝跀?shù)量為N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t).

(2)A是對(duì)總?cè)丝跀?shù)的輸入項(xiàng),并且假設(shè)輸入項(xiàng)均為易感染者;β是傳染率;μ是潛伏者類轉(zhuǎn)化為易感染者類的轉(zhuǎn)化率;γ是恢復(fù)率;c是因病死亡率;m是易感染者類的垂直傳染率.

(3)p是對(duì)易感染者、潛伏者和恢復(fù)者的新生嬰兒及感染者中沒有被母體感染的新生嬰兒進(jìn)行預(yù)防接種的比例.

(5)b,d分別表示自然出生率和自然死亡率,假設(shè)b0.

根據(jù)上面的假設(shè),本文考慮了一類具有飽和傳染率、垂直感染和免疫接種SEIR的傳染病模型:

(1)

由于N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t),則總?cè)丝跀?shù)方程

N′(t)=A+(b-d)N(t)-cI(t)

(2)

結(jié)合(2),系統(tǒng)(1)等價(jià)于系統(tǒng)

(3)

2 平衡點(diǎn)的存在性

N*是方程

證明 令方程組(3)的右端等于0,則有

(4)

(5)

由(5)可得I=0或

(6)

(ii)當(dāng)I≠0時(shí),由(4)和(6)可得

(7)

由(7)的后三個(gè)方程解得

將上面三個(gè)方程代入(7)的第一個(gè)方程可得

定義

因?yàn)閎0,故pb0,d-b>0,所以f′(N)≥0.從而f(N)關(guān)于N是單調(diào)不減函數(shù).又由于

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

記

易知J0的特征值即為B1、B2的特征值,又B2的特征值為λ1=-d<0,λ2=b-d<0,因而只需要討論B1的特征值是否全部具有負(fù)實(shí)部.由于trB1=-(d+μ)-k<0,|B1|=k(d+μ)[1-R0],從而當(dāng)R0<1時(shí),|B1|>0;R0>1時(shí),|B1|<0.所以當(dāng)R0<1時(shí),P0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的.證畢.

定理3當(dāng)R0>1時(shí),地方平衡點(diǎn)P*(E*,I*,R*,N*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)(3)在地方平衡點(diǎn)P*(E*,I*,R*,N*)處的Jacobi矩陣為

特征方程為λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0.其中

a3=kd(d-b)+(d+μ)d(d-b)+[d(d-b)+k(2d-b)+μ(c+2d-b-pbm+γ)]

a4=kd(d-b)(d+μ)+[kd(d-b)+μc(d-pb)+μ(d-b)(d-pbm+γ)]

故H1=a1>0,

H2=a1a2-a3=(2d-b)a2+(k+d+μ)[a2-d(d-b)]

由于

>d(d-b)+(k+d+μ)(2d-b)+k+2d-b+μ

故

a2-d(d-b)-k(2d-b)-μ(c+2d-b-pbm+γ)

>(d+1)(2d-b)+d-mb+μ(1+pbm)(1-μ)(c+γ)>0

所以H2>0,從而H3=a3H2>0,H4=a4H3>0,因此由Hurwitz定理[6]知,矩陣J1的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,所以當(dāng)R0>1時(shí),地方平衡點(diǎn)P*(E*,I*,R*,N*)是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.