Maple在積分中的應用

賀志英 何金陽 許 涵 刁良正 周宇揚 張志遠

（中國礦業大學（北京）理學院 北京 100083）

0 引言

數學分析是數學類專業的重要主干課程，它在各個學科及相關領域中有著極廣泛的應用，學習數學分析不僅是為了獲取書本上的知識，更是為了鍛煉提高數學的邏輯、抽象思維等。數學分析作為一門基礎必修課程，很大程度上銜接了其他主干課程，例如為常微分方程、復變函數、實變函數、概率論與數理統計等后續課程供必要的基礎知識和應用工具。數學分析是對微積分理論體系的嚴格化和精確化，它具有嚴密的推理、完備的體系、經典的方法、嚴謹的思維等許多特點，而且數學中的許多新思想、新方法、新應用等都起源于數學分析，其理論和方法已經是自然科學思想中不可或缺的重要部分。

因此，數學分析是數學類專業學生學習過程中的重中之重，而積分的內容又是數學分析中不可或缺的部分。定積分、二重積分、三重積分以及線面積分統稱為黎曼積分，學習它們的關鍵是積分的定義與積分的計算，與之密切相關的是由函數、方程確定的空間圖形。本文主要利用Maple軟件求解定積分、重積分、線面積分。

隨著符號計算軟件Maple的不斷發展與完善，越來越多的被引入到數學學科中作為解決實際問題的工具之一。Maple是加拿大Waterloo大學符號計算研究小組于80年代初研發出的一種強有力的符號計算軟件。它具有范圍廣泛的符號計算、數值計算、函數作圖功能，受到眾多數學工作者的青睞。借助Maple軟件強大的圖形繪制技術完成平面積分和空間積分中一些復雜積分區域的繪制，會起到事半功倍的效果。

1 Maple在定積分中的應用

Maple可將積分的每一步驟進行詳細的展示，并且說明每一步具體使用了什么方法。對于定積分的基本積分法：換元積分法、分部積分法，下面我們展示兩個例子說明Maple是如何將詳細步驟展示出來的。

結果如圖2所示。

圖2

結果見圖3。

圖3

2 Maple在重積分中的應用

2.1 積分思想的動態模擬

利用Maple軟件編制程序來模擬二重積分的“分割、近似、求和、取極限”的數學思想。

2.2 繪制復雜的積分區域并計算重積分

在求解二重積分或三重積分相關問題時，積分區域和被積函數的特點是解決問題的關鍵，利用Maple可以快速精確的畫出積分區域，以便直觀觀察。

首先利用Maple畫出圖像（圖4），

圖4

根據曲面面積公式：

3 Maple在線面積分中的應用

曲線積分和曲面積分的積分對象都是函數。函數如果在曲線或者曲面上，則將曲線或者曲面方程代入到被積函數中，之后根據題意選擇合適的投影方式將曲線積分和曲面積分變成普通積分。

3.1 計算曲線積分

曲線做投影時，要考慮曲線的方向和軸正向之間的夾角：夾角為銳角，方向角的余弦取正號；夾角為鈍角，方向角的余弦取負號；夾角為直角，方向角的余弦為0。

3.2 計算曲面積分

曲面投影到平面上，則考慮曲面的法方向和平面的正法方向之間的夾角：夾角為銳角，方向角的余弦取正號；夾角為鈍角，方向角的余弦取負號；夾角為直角，方向角的余弦則為0。