基于特征模型的力矩受限衛星姿態抗飽和設計

郭瑞科，胡 軍，李毛毛，張 濤

（北京控制工程研究所，北京 100190）

0 引言

航天器技術的發展和航天任務復雜度的提高對控制能力提出了更高的要求，然而航天器姿態控制中執行器所能輸出的控制力矩存在一定限制，也就是存在飽和非線性。如果設計控制器不考慮執行器存在飽和非線性，當執行器發生飽和時，控制器的輸出和被控對象的輸入值不相等，可能會導致航天器姿態控制精度變差或閉環系統不穩定。通過設計抗飽和補償器恢復閉環系統性能或者穩定性，是解決執行器飽和影響控制性能或閉環系統穩定性的一種途徑［1］。

目前，航天器姿態控制抗飽和研究取得一些進展［2-8］。MARCO 等［9］提出了基于線性矩陣不等式（LMI）的線性離散系統抗飽和設計方法，給出了靜態和動態抗飽和補償器的構造算法，尤其是對于靜態或者被控對象同階的抗飽和補償器構造條件可以轉化為凸約束的LMI 條件。于海祥等［10］針對大角度姿態機動衛星存在控制輸入飽和問題，在建立被控對象特征模型的基礎上，設計了基于特征模型的低增益反饋控制器，使得復雜被控對象也可以用低增益的設計方法解決控制輸入飽和問題。王明釗等［11］將LQG 控制方法和基于LMI 抗飽和補償器相結合，保證了控制輸入受限航天器閉環穩定，且滿足最優的L2 指標。李德婷等［12］針對單框架控制力矩陀螺的力矩輸出具有奇異飽和性能的特點，設計了基于平坦微分理論的快速參考軌跡規劃方法和滑模控制器相結合的控制方法，避免出現奇異飽和失效現象。文獻［13］考慮了一類具有狀態獨立的輸入飽和非線性系統，提出了新的控制策略，設計的非線性控制器使得系統是局部漸近穩定的。WADA 等［14］對使用模型預測控制器的線性離散系統設計抗飽和補償器，將抗飽和補償器的求解轉化為LMI 優化問題，保證了存在輸入飽和時的系統穩定性并改善了瞬態響應。然而這些方法都只適用于定常線性離散系統，對于非線性系統或者系統參數不確定時，該方法應用受到限制。

吳宏鑫等［15］提出了根據對象動力學特性、環境特征和控制性能要求相結合來建模的特征建模思想，以期在滿足性能指標的情況下設計出簡單低階控制器。一般情況下，特征模型用慢時變低階差分方程描述，工程和應用研究中使用最廣泛的是二階差分特征模型?；谔卣鹘５狞S金分割控制能保證參數未知定常系統在過渡階段，參數估計未收斂情況下閉環穩定，設計簡單，參數魯棒性好。但基于特征模型的黃金分割控制器所針對的對象模型還沒有考慮過執行器存在飽和的情況。當不考慮執行器飽和現象，常規設計的控制器在執行器發生飽和時將不能保證控制性能或者閉環系統的穩定性。

本文提出將黃金分割控制器和基于LMI 抗飽和設計相結合的控制方法，針對存在控制力矩飽和約束的衛星姿態跟蹤控制問題，首先設計不考慮輸入飽和的定常黃金分割控制器；其次用特征模型取代原被控對象求解抗飽和補償器，將求解抗飽和補償器的約束條件轉化為凸約束的LMI 條件，設計過程保證了整個閉環系統的穩定性。數值仿真驗證了所提出方法對控制力矩受限衛星姿態跟蹤控制的有效性和魯棒性。

1 問題描述

1.1 撓性衛星動力學系統描述

撓性衛星俯仰軸動力學的簡化模型可以寫成如下形式：

式中：J為衛星轉動慣量；ω為俯仰角速度；T為控制力矩；G=[g1g2]T為撓性模態與衛星俯仰運動的耦合系數矩陣；q=[q1q2]T為模態坐標；Λ=diag(Λ1Λ2)為約束模態頻率。

參考文獻［10］，上述撓性衛星俯仰軸動力學模型的特征模型可以用如下形式的二階差分方程表示：

式中：α1(k)、α2(k)、β0(k) 未知，但在已知閉凸集之內［15］。

參考文獻［15］中定理5.1，對式（3）中α1(k)、α2(k)、β0(k)取穩態值，得到

對式（4）設計定常黃金分割控制器，作為系統控制輸入未受限時的標稱控制器，可以保證閉環系統穩定并滿足性能，即

式中：l1=0.382；l2=0.618；為特征模型辨識參數，此處取穩態值。

當被控對象的控制輸入存在飽和非線性時，也就是控制輸入滿足

需要設計線性抗飽和補償器，保證參考輸入w和輸出性能z之間l2增益滿足控制要求。假設設計naw階的抗飽和補償器，naw≥0，定 義q=u?sat(u)，

由被控對象、黃金分割控制器、抗飽和補償器組成的閉環系統示意圖如圖1 所示。

圖1 抗飽和閉環系統Fig.1 Anti?windup closed?loop system

1.2 控制律變換

為了便于設計抗飽和補償器，需要將定常黃金分割控制律寫成狀態空間形式。基于誤差的黃金分割控制律為

若被控對象存在控制輸入飽和，加入抗飽和補償器輸出的控制律為

1.3 閉環系統

為便于求解抗飽和補償器，將式（4）寫成狀態空間形式，得

2 抗飽和補償器構造

2.1 抗飽和補償器存在性線性矩陣不等式條件

定理1給定被控對象（15）、控制器（13），當且僅當存在正定對稱的矩陣R11、S，矩陣Z，正數γ，使得下述線性矩陣不等式可行時，被控對象（15）、控制器（13）組成的閉環系統在控制輸入滿足式（7）飽和非線性約束時，使閉環系統適定且保證局部二次型l2性能的抗飽和補償器（7）存在［8］。

下文中對矩陣X，He(X)=X+XT，

2.2 抗飽和補償器的構造方法

前述定理給出了與被控對象同階的抗飽和補償器可行性線性矩陣不等式條件。然而在抗飽和設計中，需要求解出抗飽和補償器的系數矩陣，因而下面給出具體的構造方法［16］：

3 實驗仿真

考慮文獻［10］中的對象，對稱撓性帆板衛星的俯仰軸動力學，采樣時間Ts=0.1 s，模型參數如下：

控制輸入u限制為±30，可以設計被控對象同階的抗飽和補償器，通過固定參考輸入yr的l2增益s，求得最優γ，以實現閉環穩定和局部的性能指標。

抗飽和補償器與被控對象同階（naw=2），取s=0.29，可求得γ=349.06，抗飽和補償器系數矩陣為

控制輸入未受限時，所設計的控制律可以很好地跟蹤參考輸入，控制量最大值為978.9。當控制輸入的幅值限值在±30 時，閉環系統受到飽和影響，可以看到控制性能明顯變差，輸出難以跟蹤參考輸入，控制輸入在±30 多次振蕩，如圖2 和圖3所示。

圖2 不存在與存在輸入飽和時的閉環響應Fig.2 Closed-loop responses without and with input saturation

圖3 不存在與存在輸入飽和時的控制量Fig.3 Control inputs without and with input saturation

3.1 被控對象同階抗飽和補償器(naw=np=2)

根據2.2 節步驟設計的被控對象同階抗飽和補償器控制結果如圖4 所示。圖中可見，采用被控對象同階抗飽和補償器之后，閉環系統的輸出能較好地跟蹤參考輸入，相比較與飽和系統控制效果有明顯提升。通過圖5 所示的幾拍bang-bang 控制能夠很快地恢復不受限的閉環響應，說明這種動態抗飽和補償器是有效的。需要注意的是，在初始跟蹤階段，跟蹤性能還是有較小的損失，這也是抗飽和補償器在保證飽和性能同時，不可避免地損失小信號時的閉環響應性能。

圖4 采用動態抗飽和補償器的閉環響應Fig.4 Closed-loop responses with dynamic anti-windup compensator

圖5 采用動態抗飽和補償器時的控制量Fig.5 Control input with dynamic anti-windup compensator

3.2 黃金分割控制器與低增益飽和控制器對比仿真

此處進一步對比了定常黃金分割控制律和文獻［10］中所采用低增益控制律時，閉環系統響應和控制量的不同。如圖6 所示，控制輸入受限時，采用兩種控制器的閉環系統都在瞬態響應有輕微的性能損失，但采用動態抗飽和補償器的黃金分割控制相比低增益飽和控制器能更好地跟蹤參考信號，同時采用定常黃金分割控制的控制量只有較少的振蕩，變化較平滑，如圖7 所示。

圖6 采用動態抗飽和補償器和低增益控制器的閉環響應Fig.6 Closed-loop responses with dynamic anti-windup compensator and low-gain controller

圖7 采用動態抗飽和補償器和低增益控制器的控制量Fig.7 Control input with dynamic anti-windup compensator and low-gain controller

4 結束語

本文將黃金分割控制器和基于LMI 抗飽和設計相結合，首先設計不考慮輸入飽和的定常黃金分割控制器；其次用特征模型取代原被控對象來求解抗飽和補償器，將求解抗飽和補償器的約束條件轉化為凸約束的LMI 條件。設計過程保證了整個閉環系統的穩定性，解決了存在控制力矩飽和約束的衛星姿態跟蹤控制問題。數值仿真驗證了所提出方法對控制力矩受限衛星姿態跟蹤控制的有效性和魯棒性。