Kalman濾波算法研究及其在高鐵沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

焦雄風(fēng) 譚社會 張獻(xiàn)州 陳 錚 鄭旭東

(1.西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院,成都 611756; 2.中國鐵路上海局集團(tuán)有限公司,上海 200071; 3.西南交通大學(xué)高速鐵路運營安全空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室,成都 611756)

1 概述

近年來,隨著運營高速鐵路逐漸增多,如何對其沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)有效的分析是目前許多學(xué)者研究的問題。Kalman濾波是一種處理實時動態(tài)數(shù)據(jù)的線性遞推算法,其特點是能減少數(shù)據(jù)中存在的隨機(jī)誤差,還原數(shù)據(jù)中包含的有效信息。馬龍將Kalman濾波算法應(yīng)用在運營高速鐵路重點地段變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析中,探究Kalman濾波在數(shù)據(jù)降噪方面的效果[1];雷孟飛等研究自適應(yīng)Klaman濾波在北斗衛(wèi)星數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用,為處理分析衛(wèi)星獲取的運營高速鐵路變形監(jiān)測數(shù)據(jù)提供思路[2];楊保岑將Klaman濾波集成于大跨橋梁監(jiān)測系統(tǒng)中,為運營高速鐵路在橋梁段的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析提供參考[3]。運營高速鐵路沉降變形受多種隨機(jī)干擾因素影響,如風(fēng)速、溫度及建成時間等[4]。針對不同隨機(jī)干擾因子,應(yīng)建立具體對應(yīng)的kalman濾波模型,以分析不同環(huán)境下的運營高速鐵路沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)。

通過設(shè)置不同的隨機(jī)干擾因子,建立Kalman靜態(tài)、常速、加速濾波模型,并將其應(yīng)用于運營高速鐵路初期,中期、趨于穩(wěn)定期狀態(tài)下的沉降監(jiān)測中,通過平均絕對誤差、均方根誤差等[5]相關(guān)模型精度評價指標(biāo),對濾波值進(jìn)行評估。

2 算法原理

2.1 Kalman濾波工作原理

Kalman濾波的動態(tài)方程及觀測方程為

式中,xk為(n×1)初值參數(shù)矩陣;zk為(m×1)監(jiān)測參數(shù)矩陣;wk為(n×1)動態(tài)噪聲;vk為(m×1)監(jiān)測噪聲;Φk/k-1為(n×n)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Hk為(m×n)觀測矩陣;Bk/k-1為(n×r)控制參數(shù)的增益矩陣;uk-1為(r×1)控制參數(shù)矩陣,下標(biāo)k表示第k時刻在某一時刻的估值。X可進(jìn)行如下遞推演

估計誤差協(xié)方差矩陣一步預(yù)測為

測量誤差為

測量誤差協(xié)方差為

最優(yōu)卡爾曼增益為

更新的狀態(tài)估計為

更新的協(xié)方差估計為

若給定初值狀態(tài)參數(shù)以及在k時刻下的觀測值Zk,就能得到在k時刻下目標(biāo)狀態(tài)的一步預(yù)報值^xk/k-1和估值xK。算法流程如圖1所示。

圖1 Kalamn濾波算法原理

2.2 隨機(jī)干擾因子的設(shè)置

靜態(tài)模型隨機(jī)干擾因子設(shè)置:只注重觀測點的位置X為狀態(tài)參數(shù),監(jiān)測點位置瞬間變化看作隨機(jī)干擾[6]。初值X0取第一期監(jiān)測數(shù)據(jù),而初始方差陣P0、Rk取第一期監(jiān)測數(shù)據(jù)對應(yīng)的方差陣[7],其大小依據(jù)不同監(jiān)測項目的監(jiān)測方法和精度確定;過程噪聲Qk可根據(jù)經(jīng)驗計算確定[8]。

常速模型隨機(jī)干擾因子參數(shù)設(shè)置:將監(jiān)測點的位置和變化速度速率作為狀態(tài)參數(shù),瞬間加速度視為隨機(jī)干擾[9]。取第一期平差后測點位置X0作為監(jiān)測點初始位置;取第一期、第二期的平均變形速率?X0作為觀測點初始變化速率[10],即

Rk的設(shè)定與靜態(tài)模型初值設(shè)置相同,過程噪聲Qk可設(shè)置為

q根據(jù)文獻(xiàn)[11]設(shè)置;初始協(xié)方差矩陣P0可設(shè)置為

加速模型初值參數(shù)設(shè)置:將觀測點的位置X、變化速率、加速度作為狀態(tài)參數(shù),加速度的瞬間變化率視為隨機(jī)干擾,即

觀測噪聲Rk取第一期監(jiān)測數(shù)據(jù)的相應(yīng)方差陣,過程噪聲Qk隨著時間間隔的不同而發(fā)生改變,可以表示為

初始協(xié)方差矩陣P0可設(shè)置為

式中,DX?0=

Kalman濾波初始狀態(tài)的參數(shù)選擇應(yīng)考慮變形體建成時間,以及周期觀測頻率[12]。若變形體處于建成初期,變形相對較快,觀測數(shù)據(jù)波動大,Kalman加速濾波模型能顧及觀測點的變化速率和變化加速率;若變形體處于變形趨穩(wěn)期,波動性較小,Kalman常速濾波模型可顧及觀測點的變化速率;若變形體處于變形后期,即變形穩(wěn)定期,可僅將監(jiān)測點位置作為狀態(tài)參數(shù),可參考Kalman靜態(tài)濾波模型的參數(shù)設(shè)定進(jìn)行分析。

2.3 模型精度評價指標(biāo)

根據(jù)上述參數(shù)設(shè)定,理論上濾波精度不會出現(xiàn)失真現(xiàn)象[13]。實踐中,噪聲因子以及真實數(shù)學(xué)模型往往很難確定[14],故引入單位權(quán)方差[15](σ2)、均方根誤差(RMSE)[16]、平均絕對誤差(MAE)來進(jìn)行具體濾波精度評價,均方根誤差(RMSE)能具體反映估值與監(jiān)測值之間的偏差,其值越小表明其濾波模型抗干擾能力越好;單位權(quán)方差σ2、平均絕對誤差(MAE)能反映估值誤差的實際情況,其值越小,表明濾波模型擬合程度越高。這三者常作為模型預(yù)測結(jié)果量化的準(zhǔn)則之一[17],有

式中,n為觀測期數(shù);νk為監(jiān)測值與預(yù)報值的差值。

3 實例分析

某高鐵沉降監(jiān)測地段全長1.5km,位于平原地區(qū),年度降雨量較充沛。該段共布設(shè)33個監(jiān)測斷面,每個斷面設(shè)7個監(jiān)測點,取3個不同斷面上的監(jiān)測點累計沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,基本信息見表1。

表1 實例數(shù)據(jù)基本信息 mm

從表1可以看出,監(jiān)測點1～監(jiān)測點3沉降數(shù)據(jù)分別呈現(xiàn)出趨于穩(wěn)定、來回波動、快速變形的走勢,其所在的高鐵線路變形監(jiān)測要求按精密水準(zhǔn)測量等級技術(shù)執(zhí)行,水準(zhǔn)測量精度為±0.3mm/km,按2.2節(jié)對各模型濾波初始參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。3個監(jiān)測點的對應(yīng)的各模型濾波結(jié)果見表2～表4;濾波值與監(jiān)測值的差值見圖2～圖4;濾波精度評估指數(shù)見表5、表6。

圖2 監(jiān)測點1的 Kalman濾波與監(jiān)測值之差

圖4 監(jiān)測點3的 Kalman濾波與監(jiān)測值之差

表2 監(jiān)測點1的Kalman濾波結(jié)果 mm

表4 監(jiān)測點3的Kalman濾波結(jié)果 mm

表5 單位權(quán)中誤差統(tǒng)計 mm

表6 濾波值精度評價 mm

表3 監(jiān)測點2的Kalman濾波結(jié)果 mm

圖3 監(jiān)測點2 的Kalman濾波與監(jiān)測值之差

由上述圖表可知:①常速和加速模型的濾波殘差值皆遠(yuǎn)小于靜態(tài)模型,兩者殘差最大值分別為0.749mm、0.0181mm,而靜態(tài)模型的殘差最大為8.28mm;②靜態(tài)模型的單位權(quán)方差σ2最大為 94.0330mm2,而常速和加速模型的最大單位權(quán)方差σ2分別只有0.7256mm2,0.3213mm2;③三者的評價指數(shù)RMSE、MAE的值呈數(shù)量級式變化,靜態(tài)模型的RMSE、MAE最大值分別為2.5911mm、1.7600mm,常速模型RMSE、MAE最大值分別為0.0536mm、0.0364mm,加速模型RMSE、MAE最大值分別為0.0076mm、0.0066mm。上述評價指標(biāo)都顯示濾波擬合效果排序為:加速模型最優(yōu),常速模型次之,靜態(tài)模型最差。綜合而言,Kalman加速濾波模型能更好地擬合變形體變化趨勢,濾波值較監(jiān)測值而言精度更高。

4 結(jié)論

運營高速鐵路沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)是動態(tài)的,Kalman濾波作為變形監(jiān)測動態(tài)數(shù)據(jù)分析的常用模型之一,能有效剔除觀測數(shù)據(jù)中的噪聲因子,快速改善運營高速鐵路沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的質(zhì)量,提高運營高速鐵路沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的精度。然而,上述卡爾曼濾波模型都是基于固定參數(shù)進(jìn)行設(shè)定,當(dāng)實際噪聲不滿足白噪聲設(shè)定時,如何自動改變系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置,以達(dá)到自適應(yīng)的效果,還需要進(jìn)一步研究。