理論力學中靜力學公理的平凡與不平凡

霍冰

摘? 要：理論力學是理工類院校的一門重要的專業基礎課，也是學生口中枯燥乏味、深奧難懂的代名詞。如何一改往日刻板形象，使之成為一門生動活潑、深受歡迎的課程，是力學教學改革中的一個重要課題。而合理的課堂設計是上好一門課的核心要素。文章以理論力學中靜力學部分的靜力學公理為例，以一個工程問題為主線，逐一引出并分析每一個靜力學公理及其背后蘊藏的深刻含義，通過講述靜力學公理平凡的內容展現其在解決問題時不平凡的作用。該問題將靜力學各公理串聯起來，加強了公理間的邏輯關系。同時結合雨課堂線上教學互動平臺，發揮學生主觀能動性并對堂課效果進行檢驗。

關鍵詞：高校課程;理論力學;課堂設計;雨課堂

中圖分類號：G640? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）17-0096-04

Abstract： Theoretical Mechanics is an important professional basic course in colleges of science and engineering， but also a label of vapidity and reconditeness. An important issue of educational reform has thus carried out， transforming the Theoretical Mechanics from stereotype into a vigorous and popular course. And anappropriate lesson design is the key element of a successful lesson. Axioms of statics in Theoretical Mechanics are made as an examplein this paper. An engineering problem is raised throughout the text， every axiom is then proposed and the profound implications areanalyzed. The extraordinary roles played by axioms of statics in engineering problem solving are performed through stating their ordinary contents. The engineering problem connectsall the axioms， enhancing the logical relationships among the axioms. Rain classroom is simultaneously applied to stimulate the subjective initiative of students and checkout the learning outcomes.

Keywords： college courses; Theoretical Mechanics; lesson design; rain classroom

理論力學是研究物體機械運動一般規律的科學[1]，是許多后續課程的基礎[2]。而靜力學公理作為理論力學開篇的第一講[3]，尤為重要。靜力學公理研究的是普遍、最一般的力學規律，同時也是最基礎、最簡單的規律，又因學生在中學時積累了一定的力學知識，對靜力學公理有所了解[4-5]，因此在教學過程中往往會將其一帶而過，忽略對該部分內容的深入剖析。然而靜力學公理卻蘊藏著豐富的內涵和強大的功能，所有的衍生定理和推論都建立在靜力學公理基礎之上，掌握靜力學公理的精髓，才能為后續學習打下堅實基礎。

在教學中，單純通過理論知識的講解并不能使學生更深刻地感受到靜力學公理的魅力所在，也很難把握住各公理間的邏輯關系。本文展示了靜力學公理的教學過程，以一道工程例題為主線，通過不斷地引導學生發現問題、解決問題，引出靜力學各公理的學習，最終解決工程問題。使學生感受到力學的魅力，更深入地把握靜力學公理的精髓，對該部分新知識產生認可，也在解決問題中獲得成就感。同時通過雨課堂調動學生積極性，使學生最大程度地參與到課堂中，在此過程，對課堂效果進行檢驗和反饋。

一﹑提出問題

圖1為該節課程的教學設計，以提出問題開始，解決問題結束，其間引導學生主動發現問題，分別引出四個公理和兩個推論的學習，直至解決問題。一堂課的前五分鐘至關重要，要在短時間內迅速引起學生注意并參與到課堂中，就需要一個能夠引發學生共鳴的問題。

首先，問題的選取有技巧，不能太難，否則打消學生的積極性;不能太簡單，否則體現不出新知識的價值。一個常見的、看似簡單的，卻又無從下手的題目適合作為課堂的導入問題。圖2（a）為工程中常見的承重結構，鉸鏈A和B固定在豎直墻面，AC桿與BD桿在C處鉸接，D處懸掛一重物，一旦重物超重，就會造成結構破壞（圖2（b））。因而AC桿的受力至關重要，如何求解AC桿的受力，同時對結構進行優化設計是該節課要解決的問題。顯然AC桿的受力與重物以及桿件的形狀尺寸有關，那它們之間的定量關系是怎樣的？在不具備任何理論力學知識的前提下，只根據中學接觸過的靜力學公理可以解決該問題嗎？

其次，問題的設計有技巧，即以何種方式提出和設計問題才能快速高效地吸引學生并引發學生思考，最大程度地參與到課堂中來。對于圖2中AC桿的受力，同學們肯定不可能在短時間內得到答案，這樣的問題就不足以高效地調動學生的積極性，同學們就會缺乏相應的思考。因此要對學生進行引導，把問題具體化，如圖3所示，將問題具體在BD桿上并以選擇題的方程呈現，同學們便可以就這個具體問題進行思考并期待和尋求一個正確答案。

二、靜力學公理的引出

對學生進行引導，要想求出AC桿的受力，需對AC桿進行受力分析，而AC桿的受力情況究竟是怎樣的呢？從而引出公理1的學習。

（一）二力平衡公理

剛體上作用有兩個力，則剛體平衡的充分必要條件為：這兩個力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。但凡有力學基礎的學生對以上公理一定不會陌生，不禁會產生疑問，如此簡單的公理可以用來分析桿件的受力嗎？這就需要對該公理的引申含義進行解析。公理1也可以解讀為，若剛體上有且只有兩個力的作用點，則剛體平衡的充分必要條件為：這兩個作用點上的合力，大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。如此便可引導學生對結構進行觀察，該結構中有沒有哪個構件上只有兩個力的作用點，顯然AC桿滿足該公理的條件，因而AC桿上力的作用點A和C上的作用力FA和FC大小相等，方向相反，且作用在同一直線上，即一定沿著AC的連線方向（圖4（a））。此類結構稱為二力構件。

為了檢驗學生是否掌握了二力構件的精髓，通過雨課堂設置問題（圖4（b））。此時AC桿不再是直桿，其受力如何分析呢？啟發學生思考并在雨課堂上進行作答。圖5為不同學院兩個班的雨課堂作答數據，正確率分別為83.6%和83.2%，存在共性，證明絕大部分同學掌握了二力構件的特性。但仍有一部分同學被其他選項所迷惑，尤其是D選項，兩個班選D的同學分別占11%和13%，認為力是沿著桿的方向，而根據公理1，A點和C點的作用力一定是沿著兩個力的作用點，即AC的連線方向（圖4（c）），與桿件形狀無關。

該問題的設置，對于答對的同學來說，可增強同學們的成就感;對答錯的同學可起到提示作用，避免以后出現此類問題;對教師來說，雨課堂的數據可以顯示學生對該問題的掌握程度以及常見誤區，反饋并指導教師要加強該誤區的講解。

由上述分析可知，FA=FC即為我們所要求的AC桿的受力，而FA顯然與重物質量有關，因此需要從重物作用的BD桿著手，而BD桿的受力情況如何分析？這也是課前的投票問題。通過已有知識可以對D點的受力做出判斷，而B點和C點的受力呢？從而引出公理2的學習。

（二）作用和反作用定律

兩個相互作用的物體間，作用力和反作用力總是同時存在，兩個力大小相等，方向相反，沿同一直線，分別作用在兩個物體上。該公理也是學生熟知的定理，如何利用其判斷BD桿的受力呢？引導學生思考，該公理適用于兩個相互作用的物體，那該結構中是否存在相互作用的物體呢？顯然AC桿與BD桿在C處鉸接，圖4（a）中的FC為BD桿對AC桿的作用力，根據公理2，AC桿對BD桿必然存在反作用力F′C，FC和F′C大小相等、方向相反、沿同一直線，分別作用在AC桿和BD桿的C點（圖4（a）和圖6）。

由上述的分析可以得出FC=F′C=FA，欲求F′C和重物P之間的定量關系，還需要明確B點的受力，BD桿在3個力的作用下平衡，如何分析B點的受力是公理3要解決的問題。

（三）加減平衡力系原理及其推論

若剛體上作用的力系為平衡力系，則該剛體平衡，即平衡力系與零力系是等效的。因而加減平衡力系原理為：在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，與原力系對剛體的作用等效。該公理看似十分簡單，但在研究力系等效替換時，該公理有著十分重要的作用。并且在公理3的基礎上，可以推導出兩個十分常用的推論。經過理論推導，可以得到推論1力的可傳性和推論2三力平衡匯交定理。

其中推論1：作用于剛體上某一點的力可沿其作用線移至該剛體上的任一點而不改變該力對剛體的作用效果。推論2：剛體受不平行的三個力作用而平衡時，此三力的作用線必共面，且匯交于一點。引導學生，三力平衡匯交定理的前提是，平衡的剛體上作用三個不平行的力，而該結構中BD桿剛好滿足推論2的適用條件，根據推論2即可判斷B點的受力方向（圖7）。

至此，課前投票環節中的選擇題得以解決，答案為C選項。那么BD桿平衡時，其上作用的三個力之間究竟存在怎樣的關系呢？從而引出公理4的學習。

（四）力的平行四邊形法則

該公理為力系簡化的基礎，其內容為：物體上同一個作用點上的兩個力，可以合成為一個合力，合力的作用點不變，大小和方向由這兩個力為邊構成的平行四邊形的對角線確定。學生早在中學時就頻繁接觸和利用該公理解決問題，而在該道工程問題當中，如何利用該公理并結合之前的公理和推論來解決問題呢？

引導學生，為滿足公理4的應用條件，可先利用推論1力的可傳性，將F′C和P沿力的作用線方向移至同一作用點F，再根據公理4力的平行四邊形法則，將兩個力合成為合力FR，此時BD桿在兩個力FR和P的作用下平衡，再利用公理1二力平衡公理，可以得出FR=P（圖8），利用正弦定理便可得到AC桿受力F′C和重物P之間的關系，即

（1）

三、解決問題

對于式（1）得到的結果不能置之不理，要對該結果進行利用，從結果中可以得出哪些有用的結論從而對結構進行優化設計，如此可以加深學生的成就感和對新知識的認同感。

從式（1）可以看出：AC桿的拉力與重物的重量成正比，重物越重，AC桿越容易被拉斷;同時AC桿的拉力與BD桿長度成正比，即重物的位置距離墻面越遠，AC桿的拉力越大;不僅如此，AC桿的拉力還與BC桿長度成反比，即AC桿與BC桿的鉸接位置越靠近墻面，AC桿越容易被拉斷;最后，AC桿的拉力與cosφ成反比，即φ越大，AC桿與墻面的鉸接處越靠下，AC桿越容易被拉斷。

最后還應指出，靜力學公理只是解決該問題的其中一種方法，隨著后續課程的展開，我們還會接觸到第二種、第三種方法，且隨著我們知識儲備的增加，該問題的解決會更加輕松簡便。幾節課下來可以讓學生切實感受到自身的進步和新知識的強大功能;同時加強了每節課之間的聯系，使同學們產生“追劇”的愉悅感，每節課后一個“下集預告”，使同學們對后續課程充滿期待。

四、結束語

本文以理論力學開篇第一節課的靜力學公理為例，在教學中力求展現其不平凡的一面。以一道工程實際問題為引線吸引學生，并通過雨課堂使學生參與到課堂的每個環節，通過不斷地引導學生發現問題，從而引出每個公理，并反復利用每個公理進行分析，直至將問題解決。

在整個教學過程中，應突出以下幾點：其一、使學生更深刻地理解和掌握靜力學公理的內涵和精髓，感受其強大的功能和魅力;其二、將四個看似獨立的公理間建立起邏輯關系形成一個整體，方便學生理解和記憶;其三、不借助新的力學知識，僅憑借靜力學公理就可以解決工程實際問題，一方面可以增強學生的成就感，另一方面也可使學生對靜力學公理產生深刻的理解和認可;其四、借助雨課堂線上教學互動平臺，極大調動學生的積極性并參與到課堂中，讓學生做課堂的主人翁。

不僅是靜力學公理，在理論力學的各個教學環節中，都要結合身邊常見的、有趣的力學現象，在極大調動學生的積極性和主觀能動性的同時，展示力學的魅力。讓我們的每一個定理、每一個公式都落在實處、解決實際問題，讓它們不再是一串枯燥的符號，而是一串可以打開經典力學大門的鑰匙。

參考文獻：

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（I）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]崔紅光，朱公志，張本華，等.《理論力學》課程線上線下混合式教學模式實踐研究[J].高教學刊，2019（23）：8-11.

[3]賈啟芬，劉習軍.理論力學（第4版）[M].北京：機械工業出版社，2016.

[4]彭前程.八年級物理（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012.

[5]彭前程，黃恕伯.高中物理必修（第一冊）[M].北京：人民教育出版社，2019.