一維彈性碰撞二級結論的妙用

郭夢姣 林欽 朱雨洵

摘? ?要：一維彈性碰撞問題是高考的一個熱點。在高中階段解決一維彈性碰撞問題時，常常從動量守恒以及能量守恒方面入手，聯立方程進行計算，計算量較大，學生錯誤率高。教學中可以引導學生基于能量和動量守恒推導出簡單的二級結論，不僅能夠快速分析和解決一維彈性碰撞問題，還能有效幫助學生加深對碰撞模型的理解。

關鍵詞：一維彈性碰撞;動量守恒;二級結論

碰撞作為動量守恒定律的一個重要的應用模型，一直是高考考試的熱點問題。碰撞模型可分為：彈性碰撞和非彈性碰撞。對于彈性碰撞問題，在高中主要從動量守恒和能量守恒的角度去解決問題，由于運算過程繁雜，學生在解決此類問題時，不僅花費時間較多，而且還容易出錯。為解決這個問題，幫助學生進一步理解一維的彈性碰撞，從動量守恒和能量守恒方面出發，推導出一個簡單實用的二級結論。所謂物理二級結論，通常指依據有關物理概念或者物理規律，通過一定的演繹推理對典型的物理問題進行分析得到的具有通用性、普遍性意義的結論[ 1 ]。

1? 理論推導過程

球A和球B在光滑水平桌面上發生一維彈性碰撞，質量分別為m1和m2，碰撞之前兩球的速度分別為uA和uB，碰撞之后兩球的速度分別為vA和vB（如圖1、圖2）。

碰撞前：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?碰撞后：

由動量守恒定律得：

m1uA+m2uB=m1vA+m2vB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

即：

m1（uA-vA）=m2（vB-uB）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

由能量守恒定律得：

m1uA2+ m2uB2=m1vA2+ m2vB2? ?③

③改寫為：m1uA2-m1vA2=m2vB2-m2uB2? ? ? ? ? ? ?④

即：m1（uA-vA）（uA+vA）=m2（vB-uB） （vB+uB）? ? ? ? ? ⑤

將⑤/②，得：

uA+vA=vB+uB ? ? ? ?⑥

即：uA-uB=vB-vA? ⑦

對于彈性碰撞，我們可以得出這樣一個結論：碰撞之前的相互接近的速度（uA-uB）等于碰撞后的相互遠離的速度（vB-vA）。

2? 恢復系數e

上面推導出的結論和大學物理的恢復系數e有關。可以將A、B兩球的碰撞過程分成壓縮（靠近）和恢復（推離）階段，當壓縮階段結束時，就是A、B兩球的速度相等的時刻[ 2 ]。假設碰撞過程中，兩球速度相等時的速度為v，則在壓縮階段，由動量定理得：

-I1=m1v-m1uA ①

I1=m2v-m2uB? ②

在恢復階段，由動量定理得：

-I2=m1vA-m1v ③

I2=m2vB-m2v? ④

牛頓指出，用給定材料做成的兩個小球，不管兩個小球的速度怎樣，恢復沖量I2與壓縮沖量I1之比是一個常數，即=e，這個常數e稱為這兩種給定材料的恢復系數。

由①和②式可得：

I1=（uA-uB）

由③和④式可得：

I2=（vB-vA）

則：e==

恢復系數e的取值介于0和1之間，當e取0時，就是完全非彈性碰撞;當e取1時，就是完全彈性碰撞，則就得出uA-uB=vB-vA[ 3 ]。

3? 結論的應用

【例題1】如圖3所示，兩個小球的質量分別是m1和m2，m1=4 kg，m2=3 kg，兩個小球發生一維彈性碰撞，求碰撞之后的速度？

解析：

設兩個物體碰撞之前的速度分別為u1和u2，碰撞之后的速度為v1和v2

由動量守恒定律得：

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

又因為碰撞之前相互接近的速度等于碰撞之后相互遠離的速度，則：

u1-u2=v2-v1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

聯立①和②式，得：

v1=2.4 m/s

v2=5.4 m/s

【例題2】（新人教版選擇性必修一課后習題） 一種未知粒子跟靜止的氫原子核正碰，測出碰撞后氫原子核的速度為3.3×107 m/s。該未知粒子跟靜止的氮原子核正碰時，測出碰撞后氮原子核的速度是4.4×106? m/s。已知氫原子核的質量是mH，氮原子核的質量是14 mH，上述碰撞都是彈性碰撞，求未知粒子的質量。

解析：與氫核碰撞時，設未知粒子的質量為m，碰撞之前的速度為v0，碰撞之后的速度為v1。

未知粒子與氫原子核發生彈性碰撞時，由動量守恒定律得：

mv0=mv1+mHvH? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

又因為碰撞之前相互靠近的速度等于碰撞之后相互遠離的速度，則：

v0=vH-v1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

由①和②式得：

vH=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③

與氮核發生彈性碰撞時，由動量守恒定律得：

mv0=mv1+mNvN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④

又因為碰撞之前相互靠近的速度等于碰撞之后相互遠離的速度，則：

v0=vN-v1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤

由④和⑤式得：

vN =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑥

則③/⑥得：

=

將題目中的數據代入，得：

m≈1.16 mH

這道試題改編自查德威克發現中子的實驗，若利用能量守恒和動量守恒的方程聯立求解，一方面計算量很大，另一方面物理量的下腳標注多，在計算時很容易出錯，利用彈性碰撞時靠近速度等于遠離速度的結論計算則簡潔清晰。2020年山東卷壓軸題的前面兩問也可以用此二級結論簡化計算。

【例題3】（2020年新高考全國卷Ⅰ物理第18題）如圖4所示，一傾角為θ的固定斜面的底端安裝一彈性擋板，P、Q兩物塊的質量分別為m和4 m，Q靜止于斜面上A處。某時刻，P以沿斜面向上的速度v0與Q發生彈性碰撞。Q與斜面間的動摩擦因數等于tanθ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。P與斜面間無摩擦，與擋板之間的碰撞無動能損失。兩物塊均可以看作質點，斜面足夠長，Q的速度減為零之前P不會與之發生碰撞。重力加速度大小為g。

（1）求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vp1、vQ1;

（2）求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn。

解析：（1）P與Q的第一次碰撞，取P的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：

mv0=mvp1+4mvQ1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

由碰撞前的相互接近的速度等于碰撞后的相互離開的速度得：

vQ1-vp1=v0-0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

聯立①②式得解得：vQ1=v0， vp1=vQ1-0=-v0

第（2）問的解答也可以利用此二級結論簡化計算過程，幫助學生快速得到答案，這里就不再贅述。

4? 結束語

通過典型的例題可以看出，應用二級結論解決一維彈性碰撞的問題，不僅公式容易記憶，而且解題過程中計算量大大減少，提高了計算的效率以及準確率。

參考文獻：

[1]許文. 從高考物理題的求解談二級結論的形成與應用[J]. 教學考試， 2018（49）： 75-78.

[2]閆彩霞，程敏熙，馮彩儀，等.正彈性碰撞速度關系的研究及其在解題中的應用[J].物理教學，2017，39（11）：62-63，67.

[3]梁昆淼. 力學上冊[M]. 第四版.北京：高等教育出版社， 2012：193.